Calcolo differenziale e derivate

Calcolo differenziale

Come si frequenta il comportamento della funzione

Ho la funzione f, il punto x₀ appartenente a I(>) qui insieme di definizione ci fa domandare: “Vicino ad x₀ qual è la retta che meglio approssima la funzione f?”

L'equazione della retta passante per x₀ e x₁ è:

Se x = x₀ ⇒ (y - f(x₀))/(g(x₁) - g(x₀)) = 0

Quindi: y = f(x₀)

Se x ≠ x₀ ⇒ (y - f(x₀))/(g(x₁) - g(x₀)) = 1

Quindi y - f(x₀) = g(x₀) - g(x₁) ⇒ y = f(x₁)

y = ^{{f(x₁) - f(x₀)} x - x₀} + x^{x₀ - f(x₁) - f(x₀) = x₀}

Calcolo differenziale

Com'è frequente il comportamento della funzione

y = f(x)

Considero la retta passante per i punti x₀ e x₁

y = ax + b

Ho la funzione f, il punto x₀ appartiene a ΠP₀; insieme di definizione e la domanda è:

Vicino ad x₀, qual è la retta che meglio approssima la funzione f?

f(x₀) = ax₀ + b

f(x₁) = ax₁ + b

L'equazione della retta passante per x₀ e x₁ è:

Se x = x₀ → (y - f(x₀))/(x - x₀) = 0

Quindi: y = f(x₀)

Se x = x₁ → (y - f(x₁))/(x - x₁) = 1

Quindi: y = f(x₁)

y = [f(x₁) - f(x₀)]/(x₁ - x₀) ⋅ x - f(x₀) ⋅ [f(x₁) - f(x₀)]/(x₁ - x₀) ⋅ x₀

Se preso due punti del grafico di f, (_{x0, f(x0)}) e (_{x1, f(x1)}) la retta passante per i due punti è quella descritta prima e marcuisce il tratto più o meno curvo del grafico della funzione vicino a x₀, tale retta tangente al grafico della funzione vicino a x₀ (e altre curve) chiamata approssimazione del grafico della nuova funzione g vicino al punto (_{x0, g(x0)}).

Se le rette secanti hanno equazione y = g(x₁) + (g(x₀)-g(x₁))/(x₁-x₀) . (x-x₀), la retta tangente avrà equazione

y = g(x₀) + Δ (x-x₀) dove

Δ = lim_x1→x0(g(x₁)-g(x₀))/(x₁-x₀)

Nomenclatura

Rapporto incrementale = (g(x)-g(x₀))/(x-x₀) relativo a x₁ e x.

Derivata di f nel punto x₀ = lim_x1→x0(g(x₁)-g(x₀))/(x₁-x₀) se esiste ed è finito.

Algebricamente

lim_x1→x0(g(x₁)-g(x₀))/(x₁-x₀)

Derivata geometricamente

È il coefficiente angolare della retta tangente al grafico, nel punto (_x0,g(x0)) e approssima la funzione g vicino x₀.

• Quindi può non esistere?
• In quali situazioni esiste?

I^o caso

→ NB: Le derivate non esistono in x₀=0

g(x)=3√x x₀=0

y=ax+b definisce tutte le rette tranne le quelle verticali.

lim_x→x0 (x-x₀)/|x-x₀| x^2/3/^1/3

Tende a ∞ ma non è finito.

II^o caso

→ NB: Le derivate non esistono in x₀=0

g(x)=|x| x₀=0

lim_x→x0 |x-1|/|x-x₀| limite finito.

Proprietà funzioni

Derivata

La derivata non è altro che un'estensione del concetto di differenza es.: f'(x₀) = lim x→x₀ (g(x) - g(x₀)) / (x - x₀) ovvero come si comporta la funzione all'istante x₀, ottengo una valutazione istantanea.

Bisogna tener conto anche del valore temporale, senza la differenza perde di significato in quanto tempo x è diminuito o di quanto.

Gli istanti in cui è “misurata” una derivata sono istanti equidistanti infiniti. Discrete, se prendo in considerazione 2 estremi della funzione.

Interpretazione geometrica

Inclinazione della retta di migliore approssimazione del vicino alla funzione istante x₀ → pendenza retta di tangente → definisce l'errore E₀(x) = (x₀(x - x₀)²)

Funzione f' quando il suo limite esiste ed è finito ha una sua connotazione geometrica molto semplice, ovvero l'inclinazione della retta tangente.

Equazione retta tangente: y = g(x₀) + f'(x₀)(x - x₀) ovviamente pendenza è retta.

Antuscia funzioni è però alla di x₀ e crescente è positiva se x₀ è crescente è curvatura negativa se x₀ è decrescente f'(x) + f'(x)(x - x₀)+(c)(x - x₀) + f'(x)(x - x)₀+ (g - f)(x)

Se si osserva nel grafico, quando x si avvicina a x₀, E₀ tende a diventare sempre più piccola proprio più velocemente.

Tabella identificativa delle varie derivate

Dimostrabili tramite limiti.

Se α è una costante (x^α), quindi x⁰=1, x¹=1, x²=2x

Unica funzione che coincide con la sua derivata.

Goniometriche inverse.

Formule di prostrarere ➔ limiti che dimostrano la potenza, l'esponenziale e il logaritmo con le relative derivate:

Potenza: (a^t+1 - 1)/t ➔ lge a

Esponenziale: a^t-1 ➔ 1/t ➔ lge a (R.I. nell'origine)

Logaritmo: lge (x+t) - 1

Dimostrazione che x^a ➔ dx^a-1

f(x)=x^α ➔ derivata per lim f(x)g'(x)

Attenzione: se vogliamo mettere un numero s: x si avvicina a x₀

scrive x=x₀+b

Quindi x ➔ per qualcosa (b) che diventa piccolo (b➔0)

g è la funzione x^a (in questo caso)

lim_(h→0) (x_o + a)^x - x_o^x = x_o^{([x_o+a]/x_o)x]}-1x_o D([x_o+a]/x_o)^x]

lim_(h→0) [1+h/x_o]^x - 1x_o = una costante e non dipende da h, quindi per portare fuori dal limite il x_o dividendo e moltiplicando il termine h per x_o

Pongo h/x_o → t e ottengo x_o lim_(t→0) (1+t)^x - 1= x_o^x * D ([x_o+a]/x_o)^x] x_o^x ·t è un qualunque oggetto che va a 0.

Calcolo delle derivate

Somma

Se ho 2 funzioni la derivata è la somma delle due derivate.

D [f(x) + g(x) + k · h(x)] = D [f(x)] + D [g(x)] + D [k(x)]

Esempio:

y = 3x² + x - 4x³

D (3x²) = D (x) - D (4x³) = 5 · 2 · x^-1 + (-2 · x^-1) · 4 · 3 · x^3-1 = 6x = 2/x² - 12x² =

Prodotti per una costante k

k · f(x) = k · D (g (x))

Esempio:

y = 5x²

y^¦ = D (5x²) = 5 · 2 · D (1x²) = 10 · 2x

Prodotto

D [f(x) · g(x)] = D [f(x)] · g(x) + g(x) · D [g(x)]

Esempio:

y = x² · lin x

y^¦ = D (x² · lin x + x · 2(D ln x) = 2x · lin x + x ·1/x = 2x lin x + x = x (2 ln x + 1)

Rapporto

D [f(x)/g(x)] = [D [f(x)] · g(x) - f (x) · D [g(x)]]/[g(x)]²

Esempio:

y = x² · x + 1

y^-1 = D (x² + 1) D (x³) - (x² - 1) D (x³) =2 (x (x² - 1) (x²))3x(2 · x + 3) = 2x₄ + 6x₂ + 2(2_x+3)²

Derivate composte

g(f(x)) → Derivata = g'(f(x)) . g'(x)

È la derivata della funzione più esterna, per la derivata di quella interna.

Esercizi

I funzione:

g(x) = log_e(1+x²)

y₁(x) = log_et → D(log_e(x)) = D(log_et) • 1/t

g₂(x) = 1 + x² → D[g₂(x)]•DC(1 + x²) = 2x

Quindi:

g'(x) = f'(g₂(x)) • f'₂(x) → 1/f_g(x) • f'₂(x) = 2x/(1 + x²)

II funzione:

g(x) = sin(√x)

g(x) = √x = sin t → f₁(t) = cost

g₂(x) = √x → g'(x) = 1/(2√x)

g'(x) = f'(g₂(x)) • g'₂(x) → cos f₂(x) • 1/√_x = cos√x/2√x

III funzione:

g(x) = e^x2•g(x)

g₁(x) = e^x = f₁(t) = e^t

g₂(x) = x² → f'₂(x) = 2x

g'(x) = f'(g₂(x)) • g'₂(x) = e^g₂(x)(-2x) = -2xe^2x

IV funzione:

g(x) = 2^1+x3

g₁(x) = e^t = f₁(t) = e^tlge2

g'(x) = f'(g₂(x))•g'₃(x) = f'(g₃(x))•g'₂(x) = f₁(x)

Funzione composta a una nota.

g₁(t) = t/lgg

g₂(x) = 1 + x³

Quindi:

g'(x) = f'(g₁(x)) • f'(g₂(x)) − f'(g₃(x))(lge2)

Funzione arctg

Si tratta della funzione inversa della tangente ed è ristretta sull'intervallo (−π/2, π/2).

Ponga che f_g(x) sia invertibile e f₁(x) = π/√x

f'(g₂(x)) = → Proprietà delle funzioni inverse

f'(g₂(x)) = cos√ → g₂(x) = 1/f'(g(x))

Derivazione funzione inversa

_{g(f(x)) = x} la funzione _g(x) è l'inversa di _f(x) se esiste.

f^'(g(x)) · g^'(x) = 1 ⇒ g^'(x) = 1 / f^'(g(x)) purché f^'(x) ≠ 0.

Quindi:

se _f(x) è derivabile in un intervallo _I con derivata diversa da ₀ e anche continua, allora _g(x) è invertibile e la sua inversa _g(x) è derivabile sull'inverso e vale la relazione:

g^'(x) = 1/f^'(g(x)).

Funzione tg

f(t) = tg(t) con intervallo _{I = t ∈ I ⇒ I = ( -π/2 , π/2 )}

f(t) = 1 + tg²t che è maggiore di 0, perché 1 + qualcosa al quadrato che è sempre positivo.

La funzione inversa della tangente è l'arc tg, quindi:

g(x) = arctg x a cui derivata è:

g^'(x) = 1 / 1 + tg²(arctg x) = 1 / 1 + x²

Per definizione di funzione inversa tg(arctg x) = x

Funzione sin^-1

f(t) = sin(t) con intervallo _{I = t ∈ I ⇒ I = [-π/2 , π/2 ]}

f(t) = cost

La funzione inversa del seno è l'arc seno, quindi:

g(x) = arcsin x a cui derivata è:

g^'(x) = 1 / cos( t = arcsin x) = 1/√( 1 - (sin(arcsin x))²) = 1/√( 1 - x²)

cost = √( 1 + 1 - sin²t), t: arcsin x

Per scegliere se ± devo controllare l'intervallo della funzione. In questo caso ho il seno compreso nell'intervallo _I e il seno varia quindi tra -1 e 1 e la funzione inversa è quindi l'arcsin. Se il contrario poiché ha valori compresi tra ^π/2 e ^-π/2 e il seno re non è mai positivo. Ecco perché scelgo il segno ± prima della radice....a determinare se la retta è crescente o decrescente

Definizione

Sia \(f\) una funzione definita in un intervallo \(A\) a valori in \(\mathbb{R}\): \(f: A \rightarrow \mathbb{R}\), si dice che \(f\) è crescente nell'insieme \(A\) se comunque scelti \(x_1, x_2\) ∈ \(A\) con \(x_1

Si dice che \(f\) è decrescente nell'insieme \(A\) se comunque scelti \(x_1, x_2\) ∈ \(A\) con \(x_1

Teorema

Supponiamo di avere la funzione \(f\) definita in un intervallo \(I\).

\(f: I \rightarrow \mathbb{R}\) con \(f\) derivabile e tale che \(f'(x)>0\) per ogni \(x \in I\). Allora \(f\) è crescente in \(I\). Inversamente se \(f'(x)

Esempio

\(f(x) = \frac{x+1}{x+1}\)

\(y(x) = ?\)

\(f(x)= \frac{(x+1)(x+2+1)-(x+1)(x+1)}{(x+1)^2} = \frac{x^2+4x+2x+(x+1)^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+1+2x+2x-x}{(x+1)^2}\)

Solo il numeratore mi dice se la funzione è crescente o decrescente.

Analizzo il numeratore e ne studio il segno:

• \(1 - 2x - x^2 - (\frac{2x+1}{x+2+1})\) ponendo \(x^2+2x+1\) uguale a \(0\):
• \(-x^2+2x+1=0\) Ne trovo le due soluzioni:

\(- \pm \frac{\sqrt{1-4\cdot (-1)}}{2}\) ↔ \(-2 \pm \frac{\sqrt{8}}{2}\) =

\(-\frac{2 \pm \sqrt{2}}{2}\)

\(-1 \pm \sqrt{2}\)

\(x+2x \geq 0\) se \(x\) \(-1-\sqrt{2} \vee x > +\sqrt{2}\) positiva

\(x^2+2x+1 \leq 0\) se \(-1 - \sqrt{2}

Poiché la funzione assume esattamente un segno nei vari archi:

La funzione è crescente in \(-\sqrt{2}\) e decrescente agli estremi.