Calcolo Automatico delle Strutture

Calcolo automatico delle strutture

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Proff. Stefano de Miranda – Giovanni Castellazzi

1 Introduzione

Dalle parole di Robert D. Cook riguardo le conoscenze e le abilità da conseguire: la modellazione agli FE è molto più di preparare una mesh e preprocessare; capire come la struttura si comporterà e come gli elementi si comporteranno; un analista che non riesce a fare un’analisi con carta e penna di un problema, probabilmente non sa abbastanza per risolverlo con un software.

Davanti al programma, dovremmo sempre prevedere i risultati che devono uscire, e comunque dovremo sempre avere a conoscenza cosa e come il software è in grado di fare.

1.1 Metodo agli elementi finiti

Se si vuole calcolare la lunghezza della circonferenza (senza conoscere la formula), sperimentalmente con un metro curvo si ottiene una buona approssimazione, ma lo strumento è molto sofisticato. In alternativa si può usare un semplice metro lineare, più semplice ma più rozzo: si divide la circonferenza in diversi tratti rettilinei (elementi) e la loro somma è una stima della lunghezza.

Nella realtà è molto difficile trovare la soluzione ai problemi in forma chiusa; una soluzione è l’utilizzo degli elementi finiti. Si suddivide il problema in sottoproblemi e invece di usare strumenti sofisticati se ne usano di più semplici che forniscono dei risultati approssimativi. Ogni sottodominio è governato da leggi molto semplificate che legano azione e risposta meccanica: sono così semplificate che da equazioni differenziali diventano equazioni algebriche. L’errore che si ottiene con i metodi semplificativi è funzione della discretizzazione, cioè con elementi piccoli l’errore sarà piccolo.

1: si devono anticipare i calcoli e il comportamento fisico. Ipotizzare cosa ci si aspetta dal software e come verificare i risultati.

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La parte arancione è la parte operativa, l’input che si inserisce nel programma.

1.2 Approcci classici

I metodi classici, per la risoluzione manuale sono il metodo delle forze (forze generalizzate incognite), da utilizzare solo per strutture poco iperstatiche, e il metodo degli spostamenti (spostamenti generalizzati incogniti), come le equazioni di equilibrio e quelli iterativi (Cross), da limitare ai telai piani.

Le soluzioni computazionali permettono nuove possibilità, e si basano sul metodo degli spostamenti, che sono le incognite, e dai quali ricaverà le altre quantità. L’algoritmo deve essere in grado di sviluppare una procedura ripetitiva capace di risolvere qualsiasi problema, riducendo il problema ad un numero finito di gradi di libertà (discretizzazione) così da poter utilizzare la formulazione algebrica e l’uso della notazione matriciale.

1.3 FE, passaggi adottati dal metodo

Si ha la struttura (dominio) soggetta a carichi, da verificare. Inizialmente si dovrà discretizzare, creando dei sottodomini composti da aste e nodi, che diventeranno poi elementi (finiti) e nodi. Si passa da una modellazione 2D ad una 1D: prima approssimazione.

In seguito si cerca di determinare la soluzione solo nei nodi (come gli spostamenti); ci si accontenta di conoscere la soluzione in alcuni punti finiti e non su tutta la struttura. Per ottenere la soluzione nei nodi si deve conoscere il legame che c’è tra gli stessi: questa interferenza è a piacere; l’ipotesi più semplice, come spostamento trasversale per un elemento a 4 nodi si assume la forma di un iperboloide (interpolazione).

Passando da un continuo ad un discreto si semplifica il problema, che da differenziale diventa algebrico, assumendo ipotesi e trovando approssimazioni. Per ogni sottodominio si risolve il problema con il metodo degli spostamenti.

Infine si assemblano tutti gli elementi: si riconoscono i nodi in comune con gli elementi e si confrontano gli spostamenti generati dai gradi di libertà dei nodi. Si creeranno delle nuove equazioni le cui incognite saranno, questa volta, gli spostamenti nodali totali.

Dopo l’assemblaggio, risolvendo le equazioni, si ottiene la risposta della struttura. Dagli spostamenti si ricavano anche tutte le grandezze secondarie a livello di elemento, come deformazione e sollecitazione.

I passi del metodo possono essere schematizzati come:

• Decomposizione della struttura continua in elementi (discretizzazione)
• Definizione delle incognite (e.g. spostamenti) solo in un numero finito di punti (nodi)
• Interpolazione dei valori nodali a livello di elemento (approssimazione tramite le funzioni di forma)
• Assemblaggio degli elementi nella struttura intera
• Soluzione del sistema di equazioni nelle variabili primarie (e.g. spostamenti)
• Calcolo delle variabili secondarie a livello di elemento.

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2 Analisi matriciale delle strutture

L’analisi FEM segue la procedura di risoluzione dell’analisi matriciale; si affrontano le strutture reticolari, strutture più semplici. Gli elementi hanno il nome di o (corrispondono alle bielle che rispondono al bar truss solo sforzo normale). (deformazione) (tensione normale [Pa]) (sforzo assile [N])

Nel diagramma di Tonti si evidenziano, con una rappresentazione grafica, le variabili che governano il problema e le equazioni che legano le variabili.

Dove le caselle gialle sono i valori incogniti e quelli arancioni sono i dati forniti dal problema.

Come esempio di cerca di risolvere il caso rappresentato nella figura di seguito; dalla realtà si passa ad un’idealizzazione di rappresentazione, con nodi ed elementi lineari, più o meno preciso.

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La rappresentazione come una reticolare costituisce già una discretizzazione: si studiano singolarmente le aste, che corrispondono poi agli elementi, si assemblano nuovamente tutte le aste, si risolve la struttura e valuteremo tutte le variabili che ci interessano.

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2.1 Il concetto di rigidezza

Simbolicamente la rigidezza è rappresentabile da una molla soggetta ad una forza che S, provoca uno spostamento u. Il rapporto tra S e u rappresenta la rigidezza k.

Per una struttura con più gradi di libertà (e.g. con più aste), la relazione scalare S = ku diventa una relazione matriciale, perché si hanno più spostamenti e più forze: la relazione tra i vettori è una matrice, e unisce gli n gradi di libertà degli spostamenti con le n forze.

Nella colonna i-esima della matrice di rigidezza si ha una distribuzione di forze che si devono applicare sulla struttura per avere uno spostamento unitario i-esimo e tutti gli altri i-esimi nulli. La matrice può essere realizzata in questo modo, imponendo uno spostamento unitario ad ogni singolo nodo e calcolare le forze che provocano appunto questo spostamento. Lo studio in genere non lo si fa su tutta la matrice ma sulla singola asta.

Si considera una barra (rappresentata in nero) collocata nello spazio in un generico sistema di riferimento xy identificata dagli estremi 1 e 2, che a seguito di uno spostamento u₁ o v₁ si troverà nella posizione deformata rappresentata in blu.

Potendosi muovere nello spazio, l’asta ha 2 gradi di libertà per nodo, quindi 4 gdl. Essendo una biella, ogni spostamento è dato da una forza agente nella direzione dello spostamento: H per gli spostamenti orizzontali e V per quelli verticali. Per calcolare la matrice di rigidezza si studiano le forze necessarie per avere uno spostamento unitario in una sola direzione di un solo nodo.

Per la prima colonna si impone uno spostamento orizzontale unitario del nodo 1: nello stesso nodo si ha una forza positiva, mentre nel nodo 2 si avrà una reazione nel nodo di pari entità ma diretta nella direzione opposta, quindi negativo EA/L. Per la seconda colonna si ha uno spostamento unitario verticale nel nodo 1: poiché la biella reagisce solo a sforzi assiali, non ci sarà una forza di reazione, e quindi tutta la colonna sarà nulla. Allo stesso modo si ottengono anche le altre colonne, e la matrice è completa.

La matrice di rigidezza K di dimensioni 4x4 (come i gradi di libertà) ha rango pari a 1: il numero di autovalori nulli nella matrice definisce di quanto la matrice non ha rango pieno e rappresenta il numero di moti rigidi; il numero di autovettori non nulli rappresenta il numero dei moti deformativi. In questo caso la biella ha 3 moti rigidi (traslazione orizzontale e verticale e rotazione) e uno deformativo (allungamento).

La matrice di rigidezza K appena calcolata è esatta, cioè è stata calcolata utilizzando equazioni matematiche senza introdurre approssimazioni: di conseguenza anche la soluzione trovata è esatta. In alcuni casi si possono trovare matrici di rigidezza in via approssimata.

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2.2 Esempio di reticolare

Si vuole studiare ora un semplice caso di una reticolare vincolata con un carrello e un appoggio. Si danno le lunghezze e rigidezza delle aste, e i gradi di libertà dei nodi. La struttura ha 6 nodi, e quindi nel complesso ha 6 gdl.

Si applicano ora i carichi, presenti solo nel nodo 3, sia orizzontale che verticale. Le condizioni di ogni asta possono essere scritti sia in termini di forze (come il nodo 3) che in termini di spostamenti (come nel nodo 1). Per il nodo 2 si ha spostamento verticale nullo e azione orizzontale nulla. I 6 gdl saranno rappresentati nel vettore u come spostamenti; parallelamente per ogni spostamento si hanno delle forze f, nel mezzo la matrice di rigidezza che lega i vettori.

Come detto in precedenza, ora si discretizza la struttura per calcolare le singole aste: si passa ad un sistema di riferimento locale e la matrice di rigidezza ora avrà dimensione 4x4 come i gdl della biella. I sovrassegni indicano che ci si riferisce al sistema di riferimento locale dell’asta, mentre in precedenza era il sistema globale governato dagli assi xy. In questo nuovo sistema di riferimento si ha l’asse x equivalente a quello dell’asta, mentre l’asse y è ortogonale.

Come prima, la matrice di rigidezza della singola asta è uguale a quella studiata sopra, dove il elemento k-esimo è definito dalle dimensioni geometriche e dalle caratteristiche del materiale: k = EA/L. Per l’elemento si ottiene dunque la matrice di rigidezza locale.

Nota la relazione S = Kq, si può calcolare l’energia di deformazione dell’asta, pari a 1/2 q^TKq.

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Cioè spostamento moltiplicato per forza, ed essendo due vettori si ottiene uno scalare. Avendo definito in precedenza il vettore delle forze S si ottiene ora:

Per valutare gli autovalori si risolve la relazione Kq = λq. Se si hanno degli autovalori nulli si dimostra che q₀ rappresenta un moto rigido: infatti si ottiene Kq = 0 e l’energia, dalla relazione appena calcolata, risulta nulla.

Si può quindi scrivere che se q_rig, dove q è l’autovettore associato all’autovalore.

Creata la matrice di rigidezza locale, gli elementi al suo interno devono essere riferiti al sistema globale: con l’asse x ruotato di un angolo φ nel sistema locale rispetto quello globale, si cerca la relazione di rotazione tra i due sistemi.

Dove c è il coseno dell’angolo mentre s è il seno. In forma compatta matriciale si può scrivere come segue:

Dove i vettori segnati sono gli spostamenti locali, e l’apice e indica che ci stiamo riferendo all’elemento finito.

Molto più utile è la relazione che lega le forze nei due sistemi di riferimento:

Il passaggio tra le forze e tra gli spostamenti nei due SdR avviene tramite la stessa matrice di rotazione T e la sua trasposta; rappresenta la dualità statica – cinematica. Per dimostrare questo legame si passa per l’energia: che chiaramente indica che l’energia di deformazione nel SdR locale è uguale a quello globale. Dalla relazione di sopra si ottiene: e quindi la relazione che lega le forze.

Dalle due relazioni che legano le forze e gli spostamenti nei due SdR, si cerca il legame che trasforma la matrice di rigidezza per riportare tutte le dimensioni riferite al SdR globale. Da, si ottiene la matrice di rigidezza nel SdR globale da utilizzare per tutte le aste:

Di conseguenza la matrice di rigidezza globale la si ottiene, a partire da quella locale, dalla relazione = che in forma matriciale estesa risulta:

Si deve ora assemblare la struttura, unendo le aste e risultando, da 12 gdl totali dati dalle aste disassemblate, a 6 gdl della struttura. L’assemblaggio deve rispettare due condizioni: la compatibilità, cioè gli spostamenti dei nodi appartenenti a diverse aste ma che coincidono nello spazio devono essere gli stessi, e l’equilibrio, cioè le forze sul nodo derivante dalle singole aste devono avere determinante nullo o essere in equilibrio con la forza esterna applicata.

Nella prima fase si deve definire, per ogni asta, i suoi nodi a quali corrispondono nel sistema globale, passando dalla matrice del SdR locale 4x4 a quella globale 6x6. Dato il vettore degli spostamenti, con 2 direzioni di spostamento per ogni nodo, le singole matrici di ogni asta andranno a collocarsi nella matrice globale in corrispondenza degli spostamenti nel sistema globale.

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Quello che si è ottenuto ora sono matrici relative alle singole aste ma riferite al sistema globale; non si ha la sovrapposizione degli effetti perché le matrici sono ancora separate per ogni asta.

Effettuato l’assemblaggio si deve trattare l’equilibrio: in ogni nodo si hanno le forze derivanti dalle singole aste e le eventuali forze esterne. L’equilibrio del nodo si scrive come F_esterno e S⁽¹⁾, S⁽²⁾, S⁽³⁾ sono le forze che arrivano dalle aste. In alternativa si può scrivere S F – S – S – S = 0.

Si sostituisce ora il vettore S con le equazioni trovate sopra in giallo, e quindi nella matrice estesa significa:

Ora è completato anche l’assemblaggio, dove su ogni nodo si ha anche la sovrapposizione degli effetti derivante dalle forze agenti sulle singole aste. La matrice non è invertibile, non ha rango pieno, ma ha 3 autovalori nulli (corrispondenti ai moti rigidi); per renderla invertibile si devono introdurre le condizioni al contorno riassunti come per gli spostamenti e come per le forze.

Nella scrittura estesa si sono riquadrati i termini noti; ciò che resta fuori sono gli spostamenti incogniti e le forze in corrispondenza degli spostamenti imposti, cioè le reazioni vincolari. Per proseguire se eliminano righe e colonne associate ai gradi di libertà degli spostamenti imposti (prima, seconda e quarta riga e colonna).

Quello che resta è: che compatto si può scrivere come dove i cappelli indicano il riferimento alla scrittura ridotta. Ci si aspettava una matrice di rango 3 per avere una matrice invertibile, e così è; se la struttura fosse stata labile allora si sarebbe ottenuta una matrice non invertibile con rango non pieno. Trovati i valori degli spostamenti ancora incogniti, si sostituiscono nel vettore degli spostamenti e lo si completa:

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Si risolve ora l’operazione matrice per colonna e si trovano anche i rimanenti elementi delle forze, le reazioni vincolari:

L’ultimo passo è il calcolo degli sforzi nelle aste, percorrendo la strada appena fatta a ritroso. Dato il vettore q degli spostamenti di tutta la struttura secondo il SdR globale, si ritorna al SdR locale per ogni singola asta. Per l’asta i-esima si estraggono gli spostamenti relativi ai nodi dell’asta (vettore 4x4), si trasformano per riferirli al SdR locale (! #" "$"); dagli spostamenti delle estremità dell’asta si può calcolare la variazione di lunghezza dell’asta ( ) e quindi lo sforzo normale vale .

Quello che il software fa con gli elementi finiti si basa esattamente su questi passaggi matriciali.

2.3 Vincolo cedevole

Si studia la stessa struttura vista in precedenza, ma questa volta con un cedimento vincolare nell’appoggio con un abbassamento di 0.5 e un innalzamento del carrello di 0.4. Le condizioni al contorno, per quanto riguarda gli spostamenti, sono . La matrice di rigidezza è la stessa trovata in precedenza perché la struttura e le aste non cambiano.

Questa volta nel vettore degli spostamenti q si devono inserire tutti i dati ricevuti in partenza.

Si ipotizza di permutare la matrice e i vettori in modo da avere tutti gli spostamenti incogniti u₁ sopra e tutti gli spostamenti noti u₂ sotto; di conseguenza nelle forze si avranno i termini noti f₁ sopra e quelli incogniti f₂ sotto. I termini all’interno dalla matrice K_ij 3x3 rappresentano le sottomatrici provenienti dalla matrice globale, in particolare la sottomatrice K₂₁ = K₁₂^T. ) K K=21 12% &' ( % &)

Si può effettuare il prodotto righe per colonne e ottenere un sistema in 2 equazioni: * )* ))

Dalla prima equazione si trovano gli spostamenti u₁ essendo noti gli altri spostamenti u₂ e le forze f₁, e quindi . Nella seconda equazione è quindi possibile ricavare le reazioni vincolari, ultimo sottovettore rimasto incognito.

Mentre prima si sono eliminati righe e colonne degli spostamenti assegnati, questa volta è come se si fossero eliminate solo le righe; la scrittura più generale capace di risolvere sia questa tipologia di vincolo che quella più generale precedente è quindi: