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Calcolo dell’integrale sul tetraedro

Sia V il tetraedro di vertici (0, 1, 0), (0, −1, 0), (1, 0, 0) e (0, 0, 1). Calcolare

∭V (x + y3) dx dy dz.

Soluzione

Anzitutto, per simmetria, si ha

∭V y3 dx dy dz = 0;

inoltre

∭V x dx dy dz = 2∭V+ x dx dy dz,

dove V+ = {(x, y, z) ∈ V : y ≥ 0}. Sia T il triangolo nel piano z = 0 di vertici (0, 1, 0), (1, 0, 0) e (0, 0, 0). Osserviamo che V+ = {(x, y, z) ∈ V : (x, y) ∈ T, 0 ≤ z ≤ 1 − x − y}. Dunque si ha

∭V x dx dy dz = 2∬T (∫01 − x − y x dz) dx dy = 2∬T x(1 − x − y) dx dy =

= 2∫01 (∫01 − x (x − x2 − xy) dy) dx = 1/12.

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Integrali: Calcolare [math] \int_{{{V}}}{\left({x}+{y}^{3}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} [/math] Pag. 1
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Sintesi

[math] \int_{{{V}}}{\left({x}+{y}^{3}\right)}{\left.{d}{x}\right.}{\left.{d}{y}\right.}{\left.{d}{z}\right.} [/math]

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