Bipoli impulsivi

Comportamento dei bipoli dinamici in presenza di ingressi impulsivi

Lo studio di circuiti dinamici nei quali siano presenti generatori impulsivi può essere semplificato considerando il comportamento “limite” esibito da condensatori e induttori in tali circostanze.

• +

In particolare si può mostrare che, nell’intervallo di misura nulla (0^-, 0⁺), il condensatore può essere sostituito con un corto circuito:

i C- +C (0^-, 0⁺)i ⇒ CC vCvC

e l’induttore può essere sostituito con un circuito aperto:

L - + i,0 )(0i L⇒ LL vv LL

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Tali proprietà possono essere dimostrate utilizzando un ragionamento per assurdo.

Si consideri il circuito RLC serie in cui sia presente il generatore di tensione δ Applicando la LKT alla maglia si ottiene impulsivo (t). ER L δ = + +E t v v v( ) R L C+ vv

Affinché l’equazione sia soddisfatta LRδ CE (t ) occorre che almeno uno dei termini a vC secondo membro sia un impulso: si vuole dimostrare che l’unico termine impulsivo è la vL.

Supponiamo, per assurdo, che tutti i termini della LKT siano impulsivi:

δ αδ βδ γδ= + +E t t t t( ) ( ) ( ) ( )

α β γ= + +E

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Se tale relazione fosse verificata dovrebbe anche valere:

α αdiαδ δ δ= ⇒ = ⇒ = = 'v t i t v L L t( ) ( ) ( )R LR dt R

diγδ γδ γδ= ⇒ = ⇒ = =' ''v t i C t v L LC t( ) ( ) ( )C L dt

La tensione sull’induttore risulterebbe un impulso di primo o secondo ordine.

Poiché tale impulso di ordine superiore non risulta bilanciato da un analogo termine a primo membro, ne consegue che l’unica tensione impulsiva possibile è quella sull’induttore: questo bipolo pertanto, - +nell’intervallo (0^-, 0⁺), si comporta come un circuito aperto.

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Si consideri, per dualità il circuito RLC parallelo in cui sia presente il δI (t) Applicando la LKC al nodo si ottiene: generatore di corrente impulsivo . δ = + +I t i i i( ) R L Ci iiC RL

δI (t ) C Affinché l’equazione sia soddisfatta RL occorre che almeno una delle correnti a secondo membro sia un impulso: si vuole dimostrare che l’unico termine impulsivo è la .iC

Supponiamo, per assurdo, che tutti i termini della LKC siano impulsivi:

δ εδ ηδ λδ= + +I t t t t( ) ( ) ( ) ( )

ε η λ= + +I

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Se tale relazione fosse verificata, dovrebbe anche valere:

dvε δ εδ εδ= ⇒ = ⇒ = = 'i t v R t i C CR t( ) ( ) ( )R C dt

dvηδ ηδ ηδ= ⇒ = ⇒ = =' ''i t v L t i C LC t( ) ( ) ( )L C dt

La corrente nel condensatore risulterebbe un impulso di primo o secondo ordine.

Poiché tale impulso di ordine superiore non risulta bilanciato da un analogo termine a primo membro, ne consegue che l’unica corrente impulsiva possibile è quella nel condensatore: questo bipolo pertanto, nell’intervallo - +(0^-, 0⁺), si comporta come un corto circuito.

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A causa del comportamento precedentemente illustrato per i due bipoli dinamici, i circuiti RLC serie e RLC parallelo nell’intervallo si semplificano come illustrato nelle figure:

v vR L iii RL LR+ CδI (t ) LCδ RvCE (t ) C ( )− +∈ 0 , 0t

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Circuito RLC serie

+Nel caso del circuito RLC serie, detta la corrente a t=0⁺, si avrà pertanto:

I 0⁺( ) 01 ∫− + +δ δ τ τ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = =t v t E t i E d I0 ,0 ( ) ( ) ( 0 ) ( )L L 0L −0E

dove si osserva che deve avere le dimensioni di un flusso:

= → ∝E LI E Wb[ ]0 -1

e l’impulso quelle del reciproco di un tempo [s⁻δ ∝ 1t s( ) [ ]

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Circuito RLC parallelo

V +Nel caso del circuito RLC parallelo, detta la tensione a t=0⁺, si avrà 0 pertanto:

+( ) 01 ∫− + +δ δ τ τ∀ ∈ ⇒ = ⇒ = =t i t I t v I d V0 ,0 ( ) ( ) ( 0 ) ( )C C 0C −0I

dove si osserva che deve avere le dimensioni di una carica:

= → ∝I CV I C[ ]0 -1

e l’impulso quelle del reciproco di un tempo [s ].−δ ∝ 1t s( ) [ ]

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Metodo dell’integrale di convoluzione

La risposta di un circuito lineare tempo invariante (LTI) del secondo x(t) ordine può essere ricavato dalla soluzione della seguente equazione differenziale:

( )α ω+ + =2!! !x x x f t2 0

+ =x A( 0 )+ x(t) + =!x B( 0 )

dove f(t) è una opportuna funzione del “forzamento” presente nel circuito.

La risposta può essere espressa nella forma:

= +x t x t x t( ) ( ) ( )t p

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Poiché l’equazione è lineare (per la linearità dei bipoli) ed a coefficienti costanti (per la tempo invarianza), è possibile applicare il principio di scomposizione:

= +x t x t x t( ) ( ) ( )so io

dove x_so(t ) risposta con stato zero

x_io(t ) risposta con ingresso zero

io ( )α ω+ + =α ω+ + = !! ! 22!! ! x x x2 0x x x f t2 io io io0so so so0

+ + ==x ( 0 ) 0 x A( 0 )so io