Doppi bipoli - regime sinusoidale

Doppi bipoli in regime sinusoidale

La caratteristica del doppio bipolo in regime sinusoidale è descritta dalla I, I, V, V)=0 I, I, V, V dove sono i fasori delle grandezze relazione F(1 2 1 2 1 2 1 2 alle porte primaria e secondaria. II1 221V V1 2 2’1’

Per caratterizzare il doppio bipolo si possono imporre due grandezze mediante due generatori esterni e valutare le rimanenti due.

Se il doppio bipolo è costituito da impedenze si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno II 21 21 VV 21 2’1’

Caratterizzazione in corrente

Se le variabili indipendenti sono le correnti si ha (caratterizzazione in corrente del doppio bipolo): = +& &V z I z I = ⋅1 11 1 12 2 V Z I ovvero in forma matriciale: = +& &V z I z I2 21 1 22 2

Z è la matrice delle impedenze del doppio bipolo. I parametri della matrice si determinano (problema di analisi) con le stesse procedure esaminate nel caso della matrice delle resistenze.

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno II 21 21+ +VV 21 2’1’

Caratterizzazione in tensione

Se le variabili indipendenti sono le tensioni si ha (caratterizzazione in tensione del doppio bipolo): = +& &I y V y V = ⋅1 11 1 12 2 I Y V ovvero in forma matriciale: = +& &I y V y V2 21 1 22 2

Y è la matrice delle ammettenze del doppio bipolo.

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Sono inoltre effettuabili le caratterizzazioni in termini di:

• Parametri ibridi (di prima e seconda specie)
• Parametri di trasmissione.

E’ inoltre possibile effettuare la connessione di doppi bipoli:

• Serie,
• Parallelo,
• Cascata
• Di tipo mista (serie alla porta primaria, parallelo a quella secondaria, ecc.)

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Trasformatore ideale

Un doppio bipolo di particolare interesse per le applicazioni è il trasformatore ideale: esso rappresenta l’idealizzazione dei trasformatori reali.

Il trasformatore consente di modificare opportunamente i valori di tensione e corrente ai morsetti 1-1’ detti “primari” in valori diversi ai morsetti 2-2’, detti “secondari”.

I simboli circuitali di un trasformatore ideale sono quelli mostrati in figura. 1 : n 1 : n1 221 i iii 1 221 vv 1 vv1 22 2’2’1’ 1’

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Adottando la convenzione dell’utilizzatore alle due coppie di morsetti, la caratteristica del trasformatore ideale è espressa dalle seguenti relazioni:  v =2 n v1 +

Il fattore n (n∈ℜ) si definisce “rapporto spire”. 1i = −2 i n1

In alternativa le relazioni caratteristiche possono essere poste nella forma:  v =1 a v 2 +

Il fattore a (a∈ℜ) si definisce “rapporto di trasformazione”. i 1 = −1 Il rapporto di trasformazione è il reciproco del rapporto spire. i a2

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Il trasformatore assume particolare interesse negli impianti di distribuzione dell’energia elettrica operanti in regime sinusoidale. Utilizzando la rappresentazione fasoriale, le relazioni caratteristiche del trasformatore ideale diventano: V = 1 : n2  = n V n V21 V 2 1II1 21 1= − I 1  I IVV= − 2 2 121 n I n 2’1’1

Quando:

• n >1 V >V il trasformatore viene detto elevatore (per la tensione); 2 1
• n < 1 V <V il trasformatore viene detto riduttore (per la tensione). 2 1

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Segno nelle caratteristiche

Il segno nelle caratteristiche si modifica al variare dei versi di tensione e corrente.

In particolare, fatta la convenzione dell’utilizzatore ad ogni porta, se le correnti sono entrambe entranti o entrambe uscenti dal morsetto contrassegnato con il “pallino”, le equazioni caratteristiche risultano (caratteristica a): 22 11 IIII 2121  =V nVVV VV  2 122 11 2’1’ 12’1’ = − I I 2 121 n21 IIII 2121 (caratteristica a): VVVV 2121 2’1’2’1’ Alcune possibili combinazioni per la caratteristica a

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Fatta la convenzione dell’utilizzatore ad ogni porta, se le correnti sono una entrante ed una uscente dal morsetto contrassegnato con il “pallino”, le equazioni caratteristiche risultano (caratteristica b): 2 21 1I II I2  = −21 1 V n VV 2 1VV V2 2 1 1 12’ =1’ 2’1’  I I 2 1n22 11 II II (caratteristica b):22 11 VV VV 22 11 2’2’ 1’1’ Alcune possibili combinazioni per la caratteristica b

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Potenza del trasformatore ideale

Si definisce potenza complessa assorbita dal trasformatore ideale la (quantità: & = +S V I V I1 1 2 2

Sostituendo alle grandezze secondarie la loro espressione in funzione di quelle primarie si ottiene: ( (1& = + − =S V I n V ( I ) 01 1 1 1n

Si dice pertanto che il trasformatore ideale è “trasparente” alla potenza complessa in quanto assorbe sia potenza attiva che potenza reattiva nulla.

Si definisce, inoltre, potenza (apparente) nominale (o di targa) del trasformatore la quantità: ( (= =P V I V Ia 1 1 2 2

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Adattamento dell’impedenza

1: n1 2II+ 21 &ZVE V 21 2’1’

L’interposizione di un trasformatore tra un generatore ed una impedenza di carico consente di modificare (adattare) il valore della impedenza vista dai morsetti del generatore. Le equazioni che descrivono il circuito sono: =E V1 &= −V ZI2 2=V n V2 11= −I I2 1n

Corso di Elettrotecnica II - Prof. V. Tucci - DIIIE - Università di Salerno e I nella seconda equazione si ottiene: Sostituendo le espressioni di V2 2 &  V Z1& &= − − → = =  21n V Z I a Z1 1  2n I n1 2

L’impedenza vista dal generatore è, pertanto, ridotta del fattore 1/n².

L’analisi del circuito può essere condotta utilizzando il circuito equivalente in figura. Esso consente di ricavare la corrente I₁; una volta nota tale corrente è quindi possibile risalire, tramite la caratteristica del trasformatore ideale alla corrente I₂. 1 I+ 1 & 2Z nE V11’

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Mutuo accoppiamento magnetico

Il trasformatore ideale rappresenta una idealizzazione del mutuo accoppiamento magnetico tra due circuiti.

Il mutuo accoppiamento è costituito da due avvolgimenti (ad esempio, disposti su un nucleo di materiale ferromagnetico ad elevatissima permeabilità µ→∞) magnetica, realizzati rispettivamente con N e N spire ed interessati dalle 1 2 e I. correnti I1 2 I I1 2BN1 N2µ0µ

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Le due correnti daranno origine ad un campo di induzione che, in prima approssimazione, si sviluppa interamente nel nucleo. Ai due avvolgimenti saranno I I 21 associati dei flussi di induzione che B potranno essere espressi rispettivamente N1 N come: 2µ 0 Φ ≅ ΦNµ 1 1 m Φ ≅ ΦN2 2 m

Φ rappresenta il fasore associato al flusso medio concatenato con una spira dell’avvolgimento.

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Per la legge di Faraday-Neumann alla variazione di tali flussi risulteranno associate le tensioni ai morsetti dei due avvolgimenti: Φd ω ω≅ ⇒ = Φ = Φ1v V j j N1 1 1 1 mdt Φd ω ω≅ ⇒ = Φ = Φ2v V j j N2 2 2 2 mdt

Dividendo membro a membro si ottiene: V N= =2 2 nV N1 1

n è quindi pari al rapporto tra le spire dell’avvolgimento secondario e quelle del primario.

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Circuiti accoppiati magneticamente

Le equazioni che descrivono il trasformatore ideale rappresentano il comportamento limite di un doppio bipolo "reale" costituito da due induttori in cui il campo magnetico che interessa ognuno di essi influenza il comportamento ai morsetti dell’altro.

Per ricavare le caratteristiche dinamiche, interessanti ai fini delle relazioni con il comportamento del trasformatore ideale, esaminiamo il funzionamento in condizioni stazionarie.

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