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Raggiungibilità - controllabilità

Raggiungibilità

Raggiungibilità: possibilità di modificare lo stato iniziale del sistema a partire da uno stato iniziale prefissato agendo opportunamente sull'ingresso u(t).

Un sistema lineare e stazionario

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Si dice raggiungibile ⇔ a partire dallo stato iniziale x(t₀), in un tempo finito, è possibile raggiungere un qualunque stato finale x^* = x(t₁), semplicemente agendo opportunamente sull'ingresso u(t), ovvero il sistema si dice raggiungibile se tutti i suoi stati sono raggiungibili.

R = [ B, AB, A²B, ..., A^n-1B ]

(Vedo il rango)

L'insieme di tutti gli stati raggiungibili rappresenta l'insieme di raggiungibilità X_R(t^*) al tempo t^*.

Si definisce il sottospazio di raggiungibilità X_R∞ come l'insieme di raggiungibilità X_R(t) di dimensione massima

X_R∞ = max X_R(t)

t ∈ [t₀,t∞)

(non dipende dal tempo).

Per i sistemi non completamente raggiungibili si definisce il sottospazio di non raggiungibilità X_NR come il complemento ortogonale di X_R.

X_NR = X_R^⊥

Raggiungibilità - controllabilità

Raggiungibilità

Raggiungibilità

Possibilità di modificare lo stato iniziale del sistema a partire da un particolare stato iniziale prefissato agendo opportunamente sull'ingresso u(t).

Un sistema lineare e stazionario

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)

y(t) = Cx(t) + Du(t)

Si dice raggiungibile <=> a partire dallo stato iniziale x(t₀), in un tempo finito, è possibile raggiungere un qualunque stato finale x^* = x(t_f), semplicemente agendo opportunamente sugli ingressi u(t), ovvero il sistema si dice raggiungibile se tutti i suoi stati sono raggiungibili.

R = [ B AB A²B ... A^n-1B ]

Vedo il rango.

L'insieme di tutti gli stati raggiungibili rappresenta l'insieme di raggiungibilità X_R(t^*) al tempo t^*.

Si definisce il sottospazio di raggiungibilità X_R come l'insieme di raggiungibilità X_R(t) di dimensione massima X_R = max X_R(t)

t ∈ [t₀, ∞) (non dipende dal tempo).

Per i sistemi non completamente raggiungibili si definisce il sottospazio di non raggiungibilità X_NR come il complemento ortogonale di X_R

X_NR = X^⊥_R

Controllabilità

Controllabilità: possibilità di trasferire lo stato del sistema ad un particolare stato finale prefissato agendo opportunamente sull'ingresso u(t).

Un sistema lineare e stazionario

ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + D(t)

Si dice controllabile ⟺ ∃, a partire da un qualunque stato iniziale x_i in un tempo finito, è possibile trasferire lo stato del sistema allo stato finale x_f: x_c(t^*) detto stato obiettivo, semplicemente agendo opportunamente sull'ingresso u(t), ovvero il sistema si dice controllabile se tutti i suoi stati sono controllabili.

C = [B AB A²B ... A^n-1B]

Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema sia controllabile è che valga nc = rango(C_c) = n

L'insieme di tutti gli stati controllabili rappresenta l'insieme di controllabilità x_c(t^*) al tempo t_*.

Si definisce il sottospazio di controllabilità X_c come l'insieme di controllabilità di x_c(t) di dimensione massima

X_c = max_t∈[t0,∞) x_c(t) (non dipende dal tempo)

Per sistemi non completamente controllabili si definisce il sottospazio di non controllabilità X_nc come il complemento ortogonale di X_c

X_nc = X_c^⊥

Problema della controllabilità

Dato un qualunque stato iniziale x(t₀), esiste una funzione di ingresso U(t) tale che, il sistema a partire da questo stato iniziale e ingresso U(t), raggiunga un qualunque stato finale x(tf) in un intervallo finito di tempo tf?

Risposta:

Da ogni stato x(t₀) di un sistema controllabile è possibile raggiungere un qualunque stato finale xf in un qualunque tempo finito t₁. Può applicare al sistema l'ingresso:

U(τ)= B^Te^AT(t₂-τ)[CG(t₁)]^-1(x_f-e^A(tf-t₀)x(t₀)) ∀τ ∈ [t₀,t₁]

in cui G(t₁)= ∫₀^t e^A(t-τ)BB^Te^AT(t-τ)dτ

è definita come ... controllabilità ed è non singolare per ogni t₁≥t₀.

In effetti applicando tale ingresso ai sistema a partire dallo stato iniziale x(t₀), per t=tf si ha:

X(tf)= e^A(tf-t₀)x(t₀)+∫_t0^tf e^A(tf-τ)BU(τ)dτ

== e^A(tf-t₀)x(t₀)+∫_t0^tf e^A(tf-τ)BB^Te^AT(t₂-τ)[CG(t₁)]^-1(x_f-e^A(tf-t₀)x(t₀))

== e^A(tf-t₀)x(t₀)+G(t₁)G^-1(t₁)(x_f-e^A(tf-t₀)x(t₀))

== e^A(tf-t₀)x(t₀)+(x_f-e^A(tf-t₀)x(t₀)) = x_f

E quindi si raggiunge lo stato desiderato.

Forma canonica controllabile di Kalman

Serve ad evidenziare le proprietà di controllabilità di un dato sistema lineare e stazionario.

Un sistema lineare e stazionario _x(t) = ̣x