Assiomi di ordinamento, completezza delle operazioni

Assiomi

I presupposti sono regole che non vengono dimostrate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati postulati o assiomi. Da essi, tramite dimostrazione, si deducono o si sviluppano i teoremi.

Il nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista un insieme di numeri reali R, su cui è possibile effettuare operazioni o stabilire il maggiore tra due numeri.

1. Assiomi relativi alle operazioni
2. Assiomi relativi all'ordinamento
3. Assiomi di completezza

1) Assiomi relativi alle operazioni

Proprietà associativa: (a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)

Proprietà commutativa: a + b = b + a a . b = b . a

Proprietà dissociativa: a . (b + c) = (a . b) + (a . c)

Esistenza degli elementi neutri

Esiste un elemento neutro rispetto alla somma, che definiamo 0 [a + 0 = a] ritorna al risultato di partenza.

Esiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, che definiamo 1 [a . 1 = a] ritorna al risultato di partenza.

Esistenza degli opposti

∀ a ∈ R l'opposto di a che per definizione è un elemento che sommato ad a mi rende lo 0 elemento neutro lo definiamo con (-a) [∀ a ∈ R, ∃ (-a)] a + (-a) = 0.

Esistenza degli inversi

∀ a ∈ R-{0} ∃ (a^-1) → a . a^-1 = 1.

Assiomi

I presupposti sono regole che non vengono dimostrate. In Matematica tali presupposti vengono chiamati postulati o assiomi. Da essi, tramite dimostrazioni, si deducono (si ricavano) i teoremi.

Il nostro punto di partenza è quello di assumere, come postulato, che esista un insieme di numeri reali R, su cui è possibile effettuare operazioni o stabilire il maggiore tra due numeri.

1. Assiomi relativi alle operazioni
2. Assiomi relativi all'ordinamento
3. Assiomi di completezza

1) Assiomi relativi alle operazioni

Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)

Proprietà commutativa: a+b = b+a a.b = b.a

Proprietà distributiva: a.(b+c) = (a.b)+(a.c)

Esistenza degli elementi neutri

Esiste un elemento neutro rispetto alla somma, che definiamo 0 [a+0 = a] ritorna all'elemento di partenza.

Esiste un elemento neutro rispetto alla moltiplicazione, che definiamo 1 [a.1 = a] ritorna all'elemento di partenza.

Esistenza dei opposti

∀ a ∈ ℝ l'opposto di a, che per definizione è un elemento che sommato ad a mi rende lo 0 elemento neutro lo denotiamo con (-a).

Esistenza degli inversi

∀ a ∈ ℝ - {0} ∃ a^-1 a.a^-1 = 1.

2) Assiomi relativi all'ordinamento

In ℝ è sempre possibile determinare se a < b oppure b < a (Dicotomia).

a < b e contemporaneamente b ≤ a ⇒ a = b (Asimmetria).

a, b, c ∈ ℝ a < b e b < c.

a, b > 0 ⇒ a·b > 0 e a:b > 0.

3) Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti, tali che a < b ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B.

Allora in ℝ esiste almeno un elemento c ∈ ℝ: a ≤ c ≤ b.

Conseguenze degli assiomi delle operazioni

HP) a + b = a + c
TH) b = c
Regola di semplificazione rispetto alla somma

b - b + 0 = b + a + (-a)
= c + a + (-a)
c + 0 - c

HP) a:b = a:c con a ≠ 0
TH) b = c
Regola di semplificazione rispetto al prodotto

b = b · 1
= b · a · (a^-1)
= a · b · a^-1
= c · a · a^-1
= c · 1 = c

Il prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei fattori è nullo a · b = 0 [a · 0 = 0] a + a · 0 = a · 1 + a · 0 = a · (1 + 0) = a · 1 = a + 0 a · 0 = a - a = 0 [a · 0 = 0] [a b: 0]

Supponiamo che a ≠ 0, verifichiamo che b = 0 b · b · 1 = b · a (a^-1) = (b · a) (a^-1) = 0 · a^-1 = 0 ⇒ b = 0.

"L'opposto di un numero a ∈ ℝ è unico"

Negando la tesi, esistono 2 elementi opposti di a.

Per assurdo: {-a} e {b} con {a} t.b opposti di a a + (-a) 0 a + b 0 ⇒ a [(-a) :] a + b ⇒ -a · b.

"L'opposto dell'opposto di a, ∈ ℝ è estremamente a"

-{ - a} = a [Regola de segni]

Conseguenze degli assiomi di ordinamento

a b b - a ≥ 0

HP a b ⇒ a [-a] b [-a] 0 < b - a

a b b c ⇒ a c

a b ⇔ b - a ≥ 0

b c ⇔ c - b 0

(b - a) + (c - b) ≥ 0

-a + b + (-b) + c = 0 -a 0 + c - c + a ≥ 0

c ≥ a