Sistemi dei numeri reali(assiomi); intervalli

Sistema dei numeri reali (assiomi)

Sono definite le operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (.) tra coppie di numeri reali (IR), con le seguenti proprietà (a, b, c indicano numeri reali generici):

Proprietà associativa

(a+b)+c = a+(b+c) (a.b).c = a.(b.c)

Proprietà commutativa

a+b = b+a a.b = b.a

Proprietà distributiva

a.(b+c) = a.b+a.c

Esistenza degli elementi neutri

Esistono in IR due numeri distinti 0, 1, tali che a+0 = a a.1 = a

Esistenza degli opposti

Per ogni numero reale a esiste un numero reale, indicato con -a, tale che a+(-a)=0

Esistenza degli inversi

Per ogni numero reale a≠0 esiste un numero indicato con a^-1 tale che a.(a^-1) = 1

Relazione di minore o uguale

È definita la relazione di minore o uguale (≤) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha a≤b oppure b≤a.

Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a≤b, b≤a allora a=b.

Se a≤b allora vale anche a+c≤b+c.

Se 0≤a (a≥0) e 0≤b (b≥0) valgono anche 0≤a.b, 0≤a.b.

Sistema dei numeri reali (assiomi)

Sono definite le operazioni di addizione (+) e di moltiplicazione (·) tra coppie di numeri reali (IR), con le seguenti proprietà (a, b, c indicano numeri reali generici):

Proprietà associativa

(a+b)+c = a+(b+c)       (a·b)·c = a·(b·c)

Proprietà commutativa

a+b = b+a       a·b = b·a

Proprietà distributiva

a·(b+c) = a·b+a·c

Esistenza degli elementi neutri

Esistono in IR due numeri distinti 0, 1, tali che a+0 = a       a·1 = a

Esistenza degli opposti

Per ogni numero reale a esiste un numero reale indicato con -a, tale che a+(-a)=0

Esistenza degli inversi

Per ogni numero reale a ≠ 0 esiste un numero indicato con a^-1 tale che a·(a^-1) = 1

Relazione di minore o uguale

È definita la relazione di minore o uguale (≤) tra coppie di numeri reali con le seguenti proprietà:

Per ogni coppia di numeri reali a, b si ha a≤b oppure b≤a

Proprietà asimmetrica: se valgono contemporaneamente le relazioni a≤b, b≤a allora a=b

Se a≤b allora vale anche a+c≤b+c

Se 0≤a (a≥0) e 0≤b (b≥0) valgono anche 0≤a·b, 0≤a·b