Estratto del documento

Serie numerica

>> Prefazione

Progressione

lista ordinata e finita di elementi.

Successione }=a , a , a …

lista ordinata e infinita di elementi (numeri reali chiamati termini), {a

n 1 2 3

Successione di Fibonacci: lista ordinata e infinita di numeri naturali in cui ogni numero è la

somma degli ultimi 2 precedenti (1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 …).

Convergenza di una successione

} converge a un numero reale a e si scrive

Si dice che una successione {a

n

= a

lim a

n

→

n ∞

se per ogni numero reale positivo (ε>0) esiste un intero N, che eventualmente dipende da ε,

-a|<ε.

tale che n ≥ N, allora |a n • se a finito => la successione converge

• se a ∞ => la successione diverge

• se a non esiste => la successione diverge

Se a esiste (finito o infinito) la successione è regolare altrimenti, se non esiste, è irregolare.

Teorema di unicità

Se una successione convergente possiede un unico limite.

Se una successione converge è limitata (o superiormente o inferiormente).

Tutte le successioni monotone limitate convergono.

>> Serie (infinite)

Idealmente una serie potrebbe essere considerata come la somma degli elementi di una

successione o come somma di infiniti addendi (idealmente perché l’operazione di somma è

definita solo per un numero finito di addendi)

+ a + a +…+a +… è detta serie numerica. I numeri a , a .. sono detti termini della serie e

a n 1 2

1 2 3

an è il termine generale della serie.

Le somme parziali ennesime sono definite come la somma dei primi enne termini della serie.

Se il limite, per n che tende a infinito, della successione delle somme parziali:

esiste ed è finito e risulta s, la serie è convergente e ha per somma s,

- infinito, la serie è divergente,

- non esiste, diremo che la somma è irregolare.

-

Proprietà (per ogni n appartenente ai numeri naturali):

≥ a

monotona crescente: a

- n+1 n

> a

strettamente monotona crescente: a

- n+1 n

≤ a

monotona decrescente: a

- n+1 n

< a

strettamente monotona decrescente: a

- n+1 n

* a <0

oscillante: a

- n+1 n

= a

costante: a

- n+1 n

≥ L

limitata inferiormente: ЗL a

- n ≤ M

limitata superiormente: ЗM a

- n

Se una serie è monotona limitata la serie è convergente.

Teorema di invarianza del carattere di una serie per soppressione di un numero finito di

termini iniziali: se da una serie sopprimo un numero finito di termini iniziali il suo carattere non

varia ma la sua somma potrà cambiare.

Serie - 1 - Borlini Alex

Teoremi e Σ b convergono => Σ (a + b ) converge

• Se Σ a

n n n n

) = c*Σ a

• c є R, Σ (c*a

Sintesi
Nel seguente appunto vedremo maggiormente nel dettaglio come calcolare determinate serie numeriche.
Si ricorda che una serie numerica (infinita) è data da:
[math] S = \lim_{n \to \infty} S_n [/math]

dove
[math] S_n [/math]
è la successione delle somme parziali. Esistono determinate tecniche per calcolare certe somme, vediamo un esempio.

Serie geometriche


La serie geometrica è l'esempio più "semplice" di una serie infinita che è facile da calcolare.
Prima di parlare di serie geometrica però, è importante definire una progressione geometrica anzitutto.
Una progressione geometrica è una successione in cui il rapporto tra due termini consecutivi è costante. Ad esempio, le successioni:
[math] a_1 = 2, a_2 = 1, a_3 = \frac{1}{2}, a_4 = \frac{1}{4}, \dots [/math]

e:
[math] b_1 = 3, b_2 = 9, b_3 = 27, \dots [/math]

sono progressioni geometriche.
Il rapporto tra due termini consecutivi viene chiamato ragione della serie, o progressione.
Si può dimostrare che per una serie geometrica di ragione
[math] r [/math]
vale:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r} [/math]

a patto che la ragione della serie soddisfi la disuguaglianza
[math] |r| < 1 [/math]
, altrimenti la serie non sarebbe convergente.
Con la formula vista poco fa possiamo quindi dire che:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 4 [/math]

mentre la seconda serie non converge.

Serie telescopiche


Telescopizzare è il nome che viene dato a quel tipo di "azioni" che, nell'ambito delle serie infinite, consistono nel calcolare il suo valore notando che essa è equivalente a una quantità più altri termini che si cancellano vicendevolmente.
Un concetto difficile da spiegare a parole, ma più facile da vedere dal vivo. Vediamo un esempio. Calcoliamo:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} [/math]

Possiamo intanto osservare che
[math] \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} [/math]
, per cui:
[math] \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{1}-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac13 - \frac14 + \frac14 - \frac15 + \frac15 - \frac16 + \dots [/math]

Tutti i termini si cancellano a vicenda! L'unico che "sopravvive" è l'addendo 1.
Pertanto, il valore della serie infinita è 1.

Si rimanda al documento sottostante per ulteriori approfondimenti.