Appunti sulle serie numeriche

Serie numerica

Prefazione

Progressione

Lista ordinata e finita di elementi.

Successione = {a₁, a₂, a₃, …}

Lista ordinata e infinita di elementi, numeri reali chiamati termini.

Successione di Fibonacci: lista ordinata e infinita di numeri naturali in cui ogni numero è la somma degli ultimi 2 precedenti (1 – 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 …).

Convergenza di una successione

Si dice che una successione {a_n} converge a un numero reale a e si scrive:

lim a_n = a

n → ∞

Se per ogni numero reale positivo (ε > 0) esiste un intero N, che eventualmente dipende da ε, tale che n ≥ N, allora |a_n - a| < ε.

• Se a è finito => la successione converge.
• Se a = ∞ => la successione diverge.
• Se a non esiste => la successione diverge.

Se a esiste, finito o infinito, la successione è regolare; altrimenti, se non esiste, è irregolare.

Teorema di unicità

Se una successione è convergente possiede un unico limite.

Se una successione converge è limitata, o superiormente o inferiormente.

Tutte le successioni monotone limitate convergono.

Serie infinite

Idealmente una serie potrebbe essere considerata come la somma degli elementi di una successione o come somma di infiniti addendi, idealmente perché l’operazione di somma è definita solo per un numero finito di addendi.

a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n + … è detta serie numerica. I numeri a₁, a₂ … sono detti termini della serie e a_n è il termine generale della serie.

Le somme parziali ennesime sono definite come la somma dei primi enne termini della serie.

Se il limite, per n che tende a infinito, della successione delle somme parziali:

• Esiste ed è finito e risulta s, la serie è convergente e ha per somma s;
• È - infinito, la serie è divergente;
• Non esiste, diremo che la somma è irregolare.

Proprietà

Per ogni n appartenente ai numeri naturali:

• Monotona crescente: a_n+1 ≥ a_n.
• Strettamente monotona crescente: a_n+1 > a_n.
• Monotona decrescente: a_n+1 ≤ a_n.
• Strettamente monotona decrescente: a_n+1 < a_n.
• Oscillante: a_n+1 * a_n < 0.
• Costante: a_n+1 = a_n.
• Limitata inferiormente: ∃L a_n ≥ L.
• Limitata superiormente: ∃M a_n ≤ M.

Se una serie è monotona limitata la serie è convergente.

Teorema di invarianza del carattere di una serie per soppressione di un numero finito di termini iniziali

Se da una serie sopprimo un numero finito di termini iniziali il suo carattere non varia ma la sua somma potrà cambiare.

Serie - 1 - Borlini Alex

Teoremi

• Se Σ a_n e Σ b_n convergono => Σ (a_n + b_n) converge.
• c є R, Σ (c*a_n) = c*Σ a_n.