Appunti scritti a mano di Analisi A

Successioni

Def. successione

Se (a_n) ∈ ℕ ∃ un numero reale si definisce successione A ∈ ℕ oppure f: ℕ → ℝ

Def. limite di successione

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale, l ∈ &Ropf; si dice che ∃lim_n→∞ a_n = l ∀ ε > 0, ∃ M ∈ &Nopf; : m > M, ∃ si ha |a_n - l| < ε

Teorema di unicità del limite

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale, l, m ∈ &Ropf; se ∃ an = l allora l = m e anche a_n → m allora l = m.

Def. successione infinitesima

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} una successione reale e infinitesima (tende a 0 per n → ∞) quando |a_n| ≤ 1/10⁶ ∀ k ∈ &Nopf;, ∃ m_k ∈ &Nopf; : ∀ n ∈ &Nopf; m > M_k

Def. successione limitata

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale, si dice limitata se ∃ M ∈ &Ropf; |a_n| ≤ M ∀ n ∈ &Nopf;

|1 - 1ⁿ| è limitata M = 1 -1, m dispari=1 -1, m pari

* -M < a_n < M → (-1)^m è limitata; ma non ha limite.

Teorema

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale se ha limite reale, allora è limitata

Def. successione convergente

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} succ. reale, se ∃ lim_n→∞ a_n=a allora se successione si dice convergente

Def. limite +∞

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale, {lim_n→∞ a_n = +∞} se; ∀ n ∈ &Nopf;, ∀ M ∈ &Ropf;, ∃ n₀ ∈ &Nopf; : a_n > M

Questa successione si definisce divergente positivamente ed è:

• Inferiormente illimitata
• Superiormente illimitata non vale il contrario!!

Def. limite -∞

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} successione reale, {lim_n→∞ a_n = -∞ } se; ∀ n ∈ &Nopf;, ∀ M ∈ &Ropf;, ∃ n₀ ∈ &Nopf; : a_n ≤ M

Questa successione si definisce divergente negativamente ed è:

• Superiormente illimitata
• ≤Inferiormente illimitata non vale il contrario!! (-1)ⁿ es.

Def. successione divergente

Sia {a_n}_{n ∈ &Nopf;} succ. reale, si definisce divergente se a_n → +∞ o a_n → -∞

Successioni

Def. successione

Se ∀n ∈ ℕ ∃an un numero reale si definisce successione (an)n ∈ ℕ oppure ƒ: ℕ →

Def. limite di successione

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, l ∈ ℝ. Si dice che lim an = l se ∀ε>0 ∃m ∈ ℕ : m>m_ε e si ha |an - l| < ε

Teorema di unicità del limite

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, l,l₁ ∈ ℝ se an → l = l₁, ancóra l = m₁

Def. successione infinitesima

Sia (an)n ∈ ℕ una successione reale ∈ infinitesima (tendente a 0 per m → +∞) quanto |an| < 1 / 10^m ∀ε ∈ ℕ, ∃m_ε ∈ ℕ ∀n ∈ ℕ m > m_ε

Def. successione limitata

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, si dice limitata se ∃m>0 ∀an≤M ∀n ∈ ℕ

|1-1ⁿ| è limitata M=1 → {1-1 m dispari = 1, 1 m pari}

* -M < an < M → 1-1ⁿ è limitata, ma non ha limite

Teorema

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, se ha limite reale, allora è limitata

Def. successione convergente

Sia (an)n ∈ ℕ succ. reale, se ∃lim an=alcova se successione si dice convergente

Def. limite +∞

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, ∃lim an = +∞ se: ∀n ∈ ℕ, ∀m>0, M ∈ ℝ, ∀m≥m: an > M

Questa successione si definisce divergente positivamente ed è:

• Inferiormente illimitata
• Superiormente illimitata, non vale il contrario!!

Def. limite -∞

Sia (an)n ∈ ℕ successione reale, ∃lim an = -∞ se: ∀n ∈ ℕ, ∀M, ε < 0, ∀m ≤ M

Questa successione si definisce divergente negativamente ed è:

• Superiormente illimitata
• Inferiormente illimitata, non vale il contrario!! (-1)ⁿ es.

Def. successione divergente

Sia (an)n ∈ ℕ succ. reale, si definisce divergente se an → +∞ o an → -∞

Teorema del confronto