Appunti (Schemi) di advanced biomechanical modelling

Capitolo 1

Geometrie finite descritte da scalari, vettori, tensori

Sistema di riferimento (SR)

Si indichino in SR definiti in generale da base di vettori ortogonale {e₁, e₂, e₃} che indichiamo gli assi del SR.

Grandezza espressa in funzione del sistema di riferimento o meglio le sue coordinate espresse in funzione dei versori che indichiamo l'asse.

Vettori

Vettore è un tensore di ordine 1 - definito da un modulo e direzione.

a → vettore a → in funzione coordinate SR →→ a = a₁ e₁ + a₂ e₂ + a₃ e₃

Notazione di Einstein.

Direzione vettore: â = a / |a| versore direzione // a.

Prodotto scalare

Proiezione di un vettore sull'altro.

a · b = |a||b| cosθ_ab = a_ib_i

Base vettori - deve valere che: e_i · e_j = 0.

Delta di Kronecker δ_ij = e_i · e_j = {0 i≠j 1 i=j}

Prodotto vettoriale

a × b = c → (direzione) m = a + b / |a × b|

Capitolo 1

Geometrie fisiche descritte da scalari, vettori, tensori

Sistema di riferimento (SR)

Si individua in SR definito in generale da una base di vettori ortogonale {e₁, e₂, e₃} definiscono gli assi di SR.

Geometria espressa in funzione del sistema di riferimento, o meglio le sue coordinate espresse in funzione dei versori di individuare l'asse.

Vettori

Vettore è un tensore di ordine 1 -> definito da una coppia e direzione.

a -> vettore a -> in funzione coordinate SR.

b = a₁ e₁ + a₂ e₂ + a₃ e₃

Ampiezza: |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Notazione di Einstein.

Direzione vettore: â = a / |a| versore direzione // a.

Prodotto scalare

PRODOTTO SCALARE -> proiezione di un vettore sull'altro.

a • b = |a| |b| cos θ_ab = a_i b_i

Ampiezza vettore = √( il prodotto scalare di sè stesso) a • a = |a| |a| cosθ_aa = |a|²

Base vettori -> dare valore e_i • e_i = 1 a due e_i • e_j = 0.

Delta di Kronecker δ_ij = e_i • e_j =0 if i ≠ j 1 if i = j.

Prodotto vettoriale

PRODOTTO VETTORIALE -> dato un vettore ⊥ ai 2 vettori.

a × b = c

|a × b|

Prodotto vettoriale: C = a × b = (a₂b₃ - a₃b₂) e₁ + (a₃b₁ - a₁b₃) e₂ + (a₁b₂ - a₂b₁) e₃

Base vettore {e₁, e₂, e₃} -> prodotto vettoriale di un vettore e_i per un altro e_j deve dare il terzo.

e_i × e_j = e_ijk e_k

e_ijk = {ijk=123, 231, 3120 -1 i, j, k = 321, 132}

Relazione tra e_isk e e_jist.

e_isk · e_jpr = δ_sp δ_kr - δ_sr δ_kp

Prodotto vettoriale: C = a × b = e_i e_i × b_j e_j = a_ib_i(e_i × e_j) = a_ib_i e_isk e_k

Volume incluso in un parallelepipedo

Con V = base · altezza.

Base = |a × b|

Altezza = c · n.

n = ^{a × b} / _{|a × b|} => V = (c · n) |a × b|

V = c · (a × b)

Tensore di secondo ordine

Un tensore è un operatore obiettivo che mappa tre direzioni, che trasforma un vettore in un altro vettore a = A · b A → Tensore.

Prodotto diadico

A ≡ (a ⊗ b) = a_ib_j (e_i ⊗ e_j) = A_ij (e_i ⊗ e_j)

A = [a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃]

Con {e₁, e₂, e₃} base vettoriale.

Tensore trasposto

A^T = A_ji (e_i ⊗ e_j)

TENSORE SIMMETRICO → A^T = A → A_ij = A_ji

TENSORE ANTISIMMETRICO → A_ij = -A_ji con A = -A^T

Decomposizione tensore

A = ¹⁄₂ (A + A^T) + ¹⁄₂ (A − A^T)

tr(A) = A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

tr(A) = A_ii

Contrazione tensoriale

CONTRAZIONE TENSORIALE → OPERATORE DI SATURAZIONE.

A : B = tr(A^T : B) = A_ij B_ij → Bo - UNO