Appunti quaderno di Analisi I

Quantificatori

• ∀ "per ogni"
• ∃ "esiste"
• ∃! "esiste un unico"
• ⇒ "implica"
• ⇔ "equivale"
• : "tale che"
• → "risulta"
• ∈ "appartiene"
• ∉ "non appartiene"
• ⊂ "incluso"

Teoria degli insiemi

I   insieme   famiglia di elementi

Punti   elementi degli insiemi

x ∈ I : "x appartiene ad I"

A ⊂ I: "A è incluso in I, A è un sottoinsieme di I"

L ⇔ ∀ x ∈ A : x ∈ I

∅ ⊂ I: "il vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme"

A, I insiemi A ⊂ I

L'A si dice sottoinsieme proprio di I se A ⊂ I e A ≠ I

L quindi se (∀ x ∈ A : x ∈ I) e (∃ x ∈ I: x ∉ A)

Operazioni tra insiemi

I insiemi    A, B ⊂ I

• Unione A ∪ B = { x ∈ I | x ∈ A oppure x ∈ B }
• Intersezione A ∩ B = { x ∈ I | x ∈ A e x ∈ B }
• Complementare C_I A = { x ∈ I | x ∉ A }
• Differenza B - A = { x ∈ B | x ∉ A }

Quantificatori

• "∀": "per ogni"
• "∃": "esiste"
• "∃!": "esiste un unico"
• "⇒": "implica"
• "⇔": "equivale"
• ":": "tale che"
• "∴": "risulta"
• "∈": "appartiene"
• "∉": "non appartiene"
• "⊂": "incluso"

Teoria degli insiemi

I, insieme = famiglia di elementi

Punti = elementi degli insiemi

x ∈ I: "x appartiene ad I"

A ⊂ I: "A è incluso in I, A è un sottoinsieme di I"

A ⊂ I ⇔ ∀ x ∈ A: x ∈ I

Ø ⊂ I: "il vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme"

A, I insiemi A ⊂ I

A si dice sottoinsieme proprio di I se A ⊂ I e A ≠ I

Quindi se (∀ x ∈ A: x ∈ I) e (∃ x ∈ I: x ∉ A)

Operazioni tra insiemi

I insieme A, B ⊂ I

• Unione A ∪ B = {x ∈ I | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ I | x ∈ A e x ∈ B}
• Complementare C_I A = {x ∈ I | x ∉ A}
• Differenza B - A = {x ∈ B | x ∉ A}

Proprietà

Insieme A, B, C, I

A ⊂ B ⇔ (C_B ⊂ C_A)

Dim: Sia A ⊂ B

Testi: C_B ⊂ C_A

x ∈ C_B ⇒ x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇒ x ∈ C_A

Sia C_B ⊂ C_A

Testi: A ⊂ B

x ∈ A ⇒ x ∉ C_A ⇒ x ∉ C_B ⇒ x ∈ B

∅ ⊂ I

C_I = ∅

C_C_A = A

A ⊂ A = ∅

A ∪ C_A = I

Proprietà associative e distributive

Insieme A, B, C ⊂ I

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

L'unione è associativa

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

L'intersezione è associativa

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)

L'unione è distributiva rispetto all'inters.

Dim: Test. a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)

Sia x ∈ (A ∪ B) ∩ C

x ∈ A ∪ B

x ∈ C

{x ∈ A

{x ∈ B

x ∈ C

x ∈ A ∩ C

x ∈ B ∩ C

x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

C(A ∪ B) = C_A ∩ C_B

C(A ∩ B) = C_A ∪ C_B

Testi: C(A ∪ B) ⊂ C_A ∩ C_B

x ∈ C(A ∪ B)⇒ x ∉ (A ∪ B)⇒ x ∉ A e x ∉ B⇒ x ∈ C_A e x ∈ C_B

x ∈ C_A ∩ C_B

Numeri reali

Assiomi delle operazioni (somma e prodotto) a, b, c ∈ ℜ

• 1) Proprietà associativa: (a+b)+c = a+(b+c) (a · b) · c = a · (b · c)
• 2) Proprietà commutativa: a+b = b+a a · b = b · a
• 3) Proprietà distributiva: a(b+c) = ab + ac
• 4) Esistenza elementi neutri: ∃ 0_ℜ : a + 0 = a   ∀ a ∈ ℜ ∃ 1_ℜ : 1 · a = a   ∀ a ∈ ℜ
• 5) Esistenza dell'opposto: ∀ a ∈ ℜ ∃ (-a) tale che a + (-a) = 0
• 6) Esistenza inverso: ∀ a ≠ 0 ∃ a^-1 tale che a · (a^-1) = 1 a · a ≠ 0   ba = b · a^-1

Regola di semplificazione

Regola di semplificazione: a + c = b + c ⇒ a = b

Dim: Sia a + c = b + c

a⁽²⁾ = a⁽³⁾ + 0 = a + ((c) + (-c))

= (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)⁽⁵⁾

= (b + 0) = b

Regola di semplificazione del prodotto

Regola di semplificazione del prodotto: a · c = b · c   se   c ≠ 0 ⇒ a = b

Dim: Sia a · c = b · c   e   c ≠ 0

a⁽⁴⁾ · c^-1 HP = a · (c &mi