Appunti Probabilità su densità notevoli

Probabilità: modelli notevoli e teoria

Densità discreta di Bernoulli

La trovo ogni volta che ho esperimenti con 2 risultati possibili. Si chiama densità di Bernoulli con parametro p: B(1, p) o Ber(p) ed è la densità:

p(1) = p

p(0) = 1 - p

con 0 < p < 1

È la densità di ogni variabile aleatoria X che può assumere solo 2 valori (0 = "insuccesso", 1 = "successo") in cui p è la probabilità di successo.

P{X = 1} = p

P{X = 0} = 1 - p

Se scrivo X ~ Ber(p) sto dicendo: La densità di X è un Bernoulli con parametro p: X può assumere 2 valori (corrispondenti a 0 e 1).

Proprietà

E[X] = media = 0 * P{X = 0} + 1 * P{X = 1} = p (Il parametro è uguale alla media)

La moda: La moda è il valore più probabile assunto da X. Inoltre, se Fx è densità di Ber(p):

• Se p > 1/2 -> MODA = 1 (unico)
• Se p < 1/2 o meglio, anche se p = 1/2 MODA = 0 (senza MODA = 0)

Varianza

V(X) = E((X - μ)²) -> V[X] = Σi (Xi - μ)² P{X = Xi} => (0 - p)² P{X = 0} + (1 - p)² P{X = 1} = p(1 - p)

Densità binomiale

Esperimento: ogni volta che ho n prove, ogni prova ha 2 risultati possibili: 0 = insuccesso e 1 = successo. In ogni prova, la probabilità di successo è p, e i risultati delle prove sono indipendenti.

Si verifica che la v.a. Sn = X1 + X2 + ... (numero successi in n prove, prove numerate) ha valori fra 0 e n, e ha densità:

fSn(k) = P{Sn = k} = ⁿC_k p^k (1 - p)^n-k (Numero di successi)

Densità discreta di Bernoulli

La trovo ogni volta che ho esperimento con 2 risultati possibili. Si chiama dens. di Bernoulli con parametro p.

p(1) = p con 0 < p < 1

p(0) = 1-p

È la densità di ogni variabile aleatoria X che può assumere solo 2 valori (0 "insuccesso", 1 "successo") in cui p è la probabilità di successo.

P{X=1}=p

P{X=0}=1-p

Se scrivo X_vBer(p) sto dicendo: La densità di X è un Bernoulli con parametro p. X può assumere 2 valori (corrispondenti a 0 e 1).

Proprietà

E[X]=Media = 0P{X=0} + 2P{X=1} = p (per fortuna)

La moda: la moda è il valore più probabilmente assunto da X. Inoltre se X densità di Ber(p):

• Se p > 1 → 0 meglio, o almeno anche se p > 1/2 Moda=1