Appunti di Probabilità e statistica - Parte 2

08/04/22

Definizione di eventi indipendenti

A₁, A₂, …, A_n

P(A_i1 ∩ A_i2 ∩ … ∩ A_ik) = P(A_i1) … P(A_ik) con i₁ ≠ i₂ ≠ … ≠ i_k

I {A_n, n ≥ 2} eventi indipendenti sono indipendenti se ogni sottogruppo "finito" è formato da eventi indipendenti

Teorema

Se A₁, …, A_n indipendenti ⇒ le loro negazioni sono ancora indipendenti

A₁, A₂, A₃, …, A_n | sono indipendenti A_C, A_C, A_C

Osservazione

Oss. A₁, A₂, …, A_n sono indipendenti

P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_k ∩ … ∩ A_n) = P(A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_k) P(A_k+1 ∩ … ∩ A_n)

per esempio P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁) P(A₂) P(A₃) = P(A₁ ∩ A₂) P(A₃)

Esempio: lancio n volte una moneta

Ex: Lancio n volte una moneta

T_k = "Tal K-esimo lancio", k = 1, …, n indipendenti, |Ω| = 2ⁿ

P(T₁ ∩ T₂ ∩ … ∩ T_n) = P(T₁) … P(T_n)

P(T₁ ∩ … T_n) = P(T₁ … T_n) = 2^-n

P(T_k) = 2^n-1 / 2ⁿ = 1/2 = P(T₂) = P(T₃) = …

P(T₁ ∩ T₂) = 2^n-2 / 4ⁿ = 1/4 = P(T₁) · P(T₂)

Esempio 2: lancio 2 volte un dado

Ex 2: Lancio 2 volte un dado

Ω = {(x, y) : x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}} ⇒ ho 2 sottoprove indipendenti

P(A₁ ∩ A₂) = P({6, 6}) perché A_i = esce 6 = P(6) · P(6) = 1/6 · 1/6 = 1/36

Definizione di sottoesperimenti indipendenti

Definizione

I sottoesperimenti sono indipendenti se dati gli n eventi A₁, A₂, …, A_n, dove A_i dipende dall'esito dell'i-esimo sottoesperimento, essi sono un sistema di eventi indipendenti

08/04/22

Definizione di eventi indipendenti

A₁, A₂, ..., A_n

P(A_i1 ∩ A_i2 ∩ ... ∩ A_ik) = P(A_i1) ... P(A_ik) con i₁ ≠ i₂ ≠ ... ≠ i_k

• {A_n, n ≥ 2} eventi sono indipendenti se ogni sottogruppo "finito" è formato da eventi indipendenti.

Teorema

Teorema: Se A₁, ..., A_n sono indipendenti, allora le loro negazioni sono ovvero indipendenti.

A₁, A₂, ..., A_n sono indipendenti.

┴A_c1, A_c2, ..., A_cn

Osservazione

Oss: se A₁, A₂, ..., A_n sono indipendenti

P(A₁ ∪ A₂ ∪ ... ∪ A_k ∩ ... ∩ A_n) = P(A₁ ∩ A₂ ... ∩ A_k) P(A_k+1 ∩ ... ∩ A_n)

per esempio P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁) P(A₂) P(A₃) = P(A₁ ∩ A₂) P(A₃)

Esempio: lancio n volte una moneta

Ex: "Lancio n volte una moneta"

T_k = "Il tal k-esimo lancio", k = 1, ..., n indipendenti, |Ω| = 2ⁿ

⇒ P(T₁ ∩ T₂ ∩ ... ∩ T_n) = P(T₁) ... P(T_n)

P(T₁ ∩ ... ∩ T_n) = P(T...T) = P(T_i) = 2^n-1 / 2ⁿ = 1 / 2 = P(T₂) = P(T₃) = ...

P(T₁ ∩ T₂) = 2^n-1 / 2ⁿ = 1 / 4 = P(T₁) · P(T₂)

Esempio 2: lancio 2 volte un dado

Ex. 2: "Lancio 2 volte un dado"

Ω = {(x, y) | x, y ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

⇒ ho 2 sottoprove indipendenti

P(A₁ ∩ A₂) = P({6, 6}) perché A_i = esce 6 = P(6) · P(6) = 1/6 · 1/6 = 1/36

Definizione di sottoesperimenti indipendenti

Definizione: I sottoesperimenti sono indipendenti se dati gli n eventi A₁, A₂, ..., A_n, dove A_i dipende dall'esito dell'i-esimo sottoesperimento, essi sono un sistema di eventi indipendenti.

Esempio 3

Ex 3:

P(π) = P(T)P(C) = p²

Esempio 4: lancio n volte una moneta

Ex 4: "lancio n volte una moneta"

P(T) = p

P(T "a un ultimo lancio") = P(CCC...T) = P(C)...P(C)P(T) = (1-p)^n-1p = (P(T₁ ∩ T₂ ∩... ∩ T_n-1 ∩ T_n))

P(T_k = P(CC...CT...) = 1/2^k

Definizione di indipendenza condizionata

Definizione:

ho A₁, A₂, B (P(B) > 0)

A₁ e A₂ sono condizionatamente indipendenti se P(A₁ ∩ A₂ | B) = P(A₁ | B)P(A₂ | B)

Esempio 5: circuito parallelo

Ex 5:

Circuito parallelo

il circuito funziona se almeno 1 tra A e B funziona

P(funzione) = P(A