Appunti Probabilità - parte 1

Introduzione

Il calcolo della probabilità si occupa di esperimenti con esito incerto ≠ esperimento deterministico.

Hanno vari risultati possibili e ripetendo l’esperimento il risultato può cambiare => non è possibile prevedere il risultato con certezza, in quanto il fenomeno è regolato dal caso.

• Lancio di una moneta
• Lancio di due monete
• Lancio di un dado
• Estrazione di un numero dalla tombola

Si hanno sempre almeno 2 risultati possibili.

Si ragiona in termini di probabilità di un evento; per convenzione si misura con numeri compresi tra 0 e 1 anziché usare le percentuali.

Impostazioni nella probabilità

• Frequentista: Ripetendo l’esperimento un numero N molto grande di volte, la probabilità di un evento E è la percentuale di volte in cui E si verifica.
• Formula: P(E) = lim_N→∞ di n_E/N
• Soggettiva: La probabilità di un evento E è una valutazione del grado di fiducia che l’evento E si verifichi. Si tratta di una valutazione soggettiva fatta dallo scienziato che esegue l’esperimento.

Introduzione

Il calcolo della probabilità si occupa di esperimenti con esito incerto esperimento deterministico hanno vari risultati possibili e ripetendo l’esperimento il risultato può cambiare non è possibile prevedere il risultato con certezza, in quanto il fenomeno è regolato dal caso.

• Lancio di una moneta
• Lancio di due monete
• Lancio di un dado
• Estrazione di un numero dalla tombola

Si hanno sempre almeno 2 risultati possibili.

Si ragiona in termini di probabilità di un evento; per convenzione si misura con numeri compresi tra 0 e 1 anziché usare la percentuale.

Impostazioni nella probabilità

• Frequentista: Ripetendo l’esperimento un numero N molto grande di volte, la probabilità di un evento E è la percentuale di volte in cui E si verifica:

P(E) = n_E/N lim di volte in cui E si verifica/N N→∞

• Soggettiva: La probabilità di un evento E è una valutazione del grado di fiducia che l’evento E si verifichi. Si tratta di una valutazione soggettiva fatta dallo scienziato che esegue l’esperimento.

Definizioni basilari

Definizione di spazio campionario

Def (spazio campionario)

Dato un esperimento con esito incerto, l'insieme di tutti i possibili risultati sperimentali è chiamato spazio campionario ed è indicato col simbolo Ω.

Definizione di evento elementare

Def (evento elementare)

Vari possibili risultati sperimentali si chiamano eventi elementari.

Esempio 1

Lancio 1 moneta → Ω = {T, C}

Eventi elementari

|Ω| = 2

Esempio 2

Lancio 3 monete → Ω = {TTT, TTC, CTT, TCT, CCT, TCC, CTC, CCC}

Ogni evento elementare è una sequenza.

|Ω| = 8

Esempio 3

Lancio 2 dadi → Ω = {(i, j): i, j ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

Coppia ordinata.

|Ω| = 36

Esempio 4

Urna con 3 palline (rossa, blu, verde).

Estrazione di due palline senza rimissione → cioè estraggo una pallina, la guardo, non la rimetto dentro ed estraggo una seconda pallina.

Ω = {RB, RV, BR, BV, VR, VB}

|Ω| = 6

Estrazione di due palline in blocco.

Ω = {RB, RV, BV}

|Ω| = 3

Esempio 5

Misura del tempo di vita di un apparecchio elettronico.

Lavoro con un tempo continuo.

Ω = [0,T]

|Ω| = ∞

Esempio 6

Lancio una moneta ripetutamente finché esce TE quando esce T mi fermo.

Ω = {T, CT, CCT, CCCT, ...}

|Ω| = ∞

In questo caso poi posso contare gli eventi elementari.

Definizione di evento

Def

Si dice evento un sottoinsieme dello spazio campione.

Esempio

Lancio 3 monete.

E: escono almeno due T = {TTT, TTC, CTT, TCT}

Noi siamo interessati alle probabilità di eventi più complessi.

Esempio

Lancio un dado.

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

E: esce pari = {2, 4, 6}

Esempio

Tempo di vita del cellulare.

Ω = [0,+∞]

E: il cellulare vive meno di un anno = [0,1]

E: [0,1]

Insiemistica

1 Evento complementare

E^C = "E^C non si verifica"

Esempio E: "domani piove" E^C: "domani non piove"

2 Evento intersezione

A ∩ B: "si verificano sia A che B"

3 Evento unione

A ∪ B: "si verificano A, oppure solo B, oppure entrambi"

A ∪ B: "si verifica"