Appunti prima prova itinere, Geometria e algebra lineare

Definizioni

Laplace: la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i rispettivi complementi algebrici non dipende dalla linea.

II Laplace: la somma dei prodotti degli elementi di una linea per i complementi algebrici di un’altra è uguale a zero.

Combinazione lineare: una linea che si ottiene sommando/sottraendo altre linee della matrice.

Dipendenti e indipendenti: si verifica ponendo R = 3R +4R – 2R1 2 5 6R – 3R +4R – 2R = 0 allora sono tutte dipendenti1 2 5 6.

L'unico modo per cui una linea sia dipendente è che per ottenere un eq = 0 solo quando tutti i coefficienti sono uguali a zero: Il determinante del prodotto di matrici è uguale a fare il prodotto dei determinanti dei singoli fattori.

Teorema Binet.

Rouché: Un sistema lineare AX = B ammette soluzioni solo se il rango di A è uguale al rango di A’ = A=[A|B].

Per ottenere il numero di soluzione generica devo trasformare il sistema in un sistema quadrato MX’ = B’∞n-r.

Se voglio solo il numero di soluzione è.

Sistema omogeneo

Sistema omogeneo: sono sempre risolubili.

AX = B X = X* + Xo: sia un sistema risolubile, allora X* è soluzione se solo se.

Teorema Xo è la soluzione del sistema omogeneo associato (che corrisponde al vettore di direzione).

X* è la soluzione particolare (soluzione del sistema lineare – soluzione del sistema omogeneo).

E corrisponde al punto di passaggio.

5 5 5− − −3 3 3 \ ∈ � = \ ∈ � = 0 ��� � �� 1 4 + 33 3 55 5 5⎡− ⎤⎡− ⎤ ⎡− ⎤ − 33 3 3⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = + ∗ + 44 11⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥33 33 ⎦⎣ ⎦⎣⎦⎣ 0.

AX = 0.

Sistema omogeneo associato:

Spazio vettoriale

Spazio vettoriale.

Teorema vettori indipendenti: l’insieme x è linearmente dipendente sse uno dei suoi elementi è nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn combinazione lineare dei rimanenti.

Teorema del rimpiazzamento: X = {v , v , …, v } spazio V campo K, sia un insieme generatore di uno vettoriale sul e1 2 nY= {w , w , …, w }nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn si un insieme si vettori linearmente indipendenti di V1 2 m.

Allora m ≤n.

Mmmmmmmmmmmmmmmm.

Dimostrazione.

Teorema delle basi: Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale hanno la medesima dimensione.

Dimostrazione.

B , B sono vettori dello spazio V1 2.

Considero B insieme generatore come1 B insieme indipendente come2.

Pertanto, |B2| ≤ |B1|, ma se considero che indipendente nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn B insieme1 generatore nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn B insieme2 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn.

Allora |B1| ≤ |B2|.

Quindi |B2| = |B1|.

Teorema delle coordinate

Teorema delle coordinate: v V, base B, dato e fissata la ∈n – pla (α , α , ..., α ) Kmmmmmmmmmmmmm la e univocamente determinata.∈1 2 nv = α v + α v + ... + α v1 1 2 2 n n.

Dimostrazione (β , β , ..., β ) ≠ (α , α , ..., α ).

Supponiamo che esistano β , β , ..., β K, con tali che∈ 1 2 n 1 2 n1 2 nv = β v + β v + ... + β v1 1 2 2 n n.

Allora possiamo scrivere che 0 = v − v = (α1 − β1) v1 + (α2 − β2)v2 + ... + (αn − βn)vn.

Poiché v , v , …, v devono essere indipendenti, visto che sono vettori di una base, ma se1 2 n (β , β , ..., β ) ̸ = (α , α , ..., α ) non posso aver tutti i coefficienti nulli, quindi, non sarebbero indipendenti1 2 n 1 2 n.

Quindi esiste una sola ennupla per rappresentare un vettore in una determinata base.

Sottospazio e chiusura lineare

Teorema del sottospazio: Un sottoinsieme W di uno spazio vettoriale V e una, b K v, w W, sottospazio se e solo se per ogni e per ogni∈ ∈av + bw W.sia ∈.

Teorema della chiusura lineare: chiusura lineare La di X K è il più piccolo sottospazio di K contenente X.n n⊆.

Dimostrazione.

Ogni sottospazio W di K , contiene ogni combinazione lineare dei suoi elementi, quindi, se X W, contiene L(X).n ⊆.

(Matriosche).

Teorema 1 del sistema omogeneo e dei sottospazi: L’insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo AX = 0, di m equazioni in n incognite, è un sottospazio di R avente dimensione n − k, essendo k la caratteristica A.n.

Teorema 2 del sottospazio e dei sistemi omogenei: Ogni sottospazio W di R , di dimensione k (1 ≤ k ≤ n − 1), puòn rappresentato come l’insieme delle soluzioni sistema lineare omogeneo essere di un opportuno di n – k equazioni in n incognite.

Dimostrazione.

B = {v , ..., v } -> base di W1 ku = [x , x , ..., x ] generico vettore di Rt n1 2 n -> [v1| v2| … | u].

Matrice A (n, k+1).

U ϵ W sse rango di A = k = dimensione di W.

….

Applicazioni lineari

Teorema fondamentale delle applicazioni lineari: V e W spazi vettoriali.

Se sono sullo stesso campo K, e B = {v , . . ., v } base di V, n vettori di W, w , . . ., we una fissati ad esempio , esiste un’unica applicazione lineare1 n 1 nf: V → W tale che f(vi) = wi, i = 1, . . ., n.

Dimostrazione.

Se prendo un generico vettore di V (v ϵ V) combinazione lineare.

Posso vedere quella v come degli elementi della base B = + + ⋯ + combinazione lineare base di B, allo stesso modo posso vedere f(v) come una degli elementi della ma “sottoposti“alla funzione () = ( ) + ( ) + ⋯ + ( ) ), f(v ), …, f(v ) immagini di vf(v sono delle e quindi elementi di W posso rinominarli come w , w , …., wPerò 1 2 n 1 2 n, viene soddisfatta.

In questo modo la condizione del teorema, ovvero f(vi) = w i + + ⋯ + () = verificare che l’applicazione sia lineare.

Adesso bisogna.

• Prendo due vettori (v, u ϵ V).
• Prendo due scalari (α, β ϵ K).
• F (au + bv ) = af(u) + bf(v).
• E applico la formula.

Verificare l’applicazione sia unica.

Adesso bisogna che (lo faccio per assurdo) g: V → W.

Prendo un’altra funzione lineare che soddisfa tutti i requisiti del teorema.

• Prendo un generico vettore.
• + + ⋯ + = Scrivo g(v) come.
• () ) = ( ) + ⋯ + ( )= ( + + ⋯ + g(v ) = w , … , g(v ) = wPosso vedere.
• 1 1 n n) ).
• ( ( + ⋯ + = ()+ ⋯ + = Quindi g(v) = f(v), il che significa f = g.

Nucleo e immagine

Teorema 1 del nucleo e dell’immagine: Il nucleo è un sottospazio di U, l’immagine è un sottospazio di V.

Dimostrazione dimostra che ker F sia una un sottospazio di U.

Il primo step è quello di.

• Due vettori (u, v ker f) verificare f(v) = 0, f(u) = 0.

Per farlo devo prendere e che la funzione siano vere∈.

Per farlo applico la definizione di applicazione lineare.

f(au + bv ) = af(u) + bf(v) =