Appunti di algebra e geometria

Teoria degli insiemi e rappresentazione

II. %E0E.IM#N-:EIFtEEEEf:*AIMÉE %EB.IQ#AEIERIinsiemiDEGLITEORIARAPPRESENTAZIONE { } )elementi ( ordinel'di 3,7insieme a 1 contaElencare nonme• = , { }/Definire caratterizza insiemeelementiproprietà diche gli 3una me ו × >all'appartienel' insieme AelementoEA a• a →A INB dielementitedi Z direIN menoB elementoogni hacheposso Zma nonc-ac-• → →0 { } vuotoinsieme• →= numericiprincipali insiemi :}{ naturali NATURALI321IN numeri0 →= , .., .,{ negativi} INnumeri INTERIZ 2 -1 10 +→-= . .. . ,. , ., RazionaliQ periodici} decimali{ £ infinitid. ZIN%:& + += →...,, infiniti{ Realiperiodici (irrazionaliQ152IR decimati} )IN 2-non1g0 ++it +→= .. .,, ,.. . { i.}E Reali' DEIR 1 complessiib ↳a.a +→= + -,operazioni insiemiTRA } {{ {/ } }B 78,9AUB a 2,37 BAc- ✗0✗ c-×= = = {{an / } }EA AMBB }{ 8,9 7AUBEB 3,72E ✗× ✗ = == , ,È{ }Ai B A lxtaB ¢13✗ ✗e- == la b)B {A } elementibeb insiemiilA deiinsieme| ha coppie duenuovoc- come✗ lea →i= ,&1 { }{}{ AXB} () (()(B 3,4 )a 1,2prodotto 1,3 2,42,31,4 )= := , A, B Bia, =/✗→}" (cartesiano B )13,1A ( ) 14,23,2)){ 4,1 perché✗ = ORDINEno parentesi l'se contate, , ,associo ordinatepunto nel pianoogniA due y✗ ey •- ✗"IR IRIR IR×✗= . ..-IR nripetutovolte SÌ? Ragiono0 Ba Bse devo AO =pavere assurdoper✗ = .{ } ?{}{ } NOB. perchéaAse 3 di2,5 EB Be-A2,5 allora sottoinsiemeelemento non inine e= = , infatti 2¢13 5¢13 ?}eapplicazioni a B→: adi diassocia elementoad elemento Bogni sololegge inche un

Processo di induzione

PROCESSO DI INDUZIONE in numeriproprietà considerazione proprietàisia Pcn)pura soddisfattanaturaliprendeche Nda= ..1) 0P vale per2) -11P Pvale valenper npersi INtreeraallora Pche valePcn) Ipotesi induttivans o= ,070 0k per nveron-11 n 70>+170nsomma di Gaussesempio :2 (1 )nn n -11+ + + =.. . 21¥ 1n 1= = verifico MN )lo persiachesuppongo npersia vera .)1) )1 (( ( -12n -11 nn-1 n+ ++ =. .. 2 è verache •ipotesi induttiva soper In )) (( )n n n-11 -11-11= +2)ritratti ( n " )(n+Djn In -11+ = +

Funzione

funzione1) insiemi funzioneDati Ba relazione insiemiiB ognitra elementoaèama addueuna cheunae e, insiemedell' dell'a elemento Binsieme soloassocia uno e in .af B→: l'indicare EAall'la(a) b elementoche funzionescriviamo associase elementoA ffc- apera =,EBb.2) insiemi f AXBfunzionea BDati del fcsottoinsieme cartesianoda a B prodottodue èuna ina, Ùall7 !A BEBtale ( b) Effa Che ache c- , .IN Q )f fcnR Rp G-: →- : =") doplx an Ila n+× ✗ + →= . ,.. 3aop =( ¥ ER)p ao ✗× = COMPOSTAFunzione Af BscB funzionedefinisceDate finzione la ffunzioni sif gocomposta Caalle → →:: :, ,B ( )giàa C ga →b-a- c•-9°FIMMAGINE l'diB insiemeimmaginediceafunzioneData si &una g →: }/{ b (a)B(g) aea7 bjIn c- : ==IMMAGINECONTRO 'f- }{insiemesottoinsiemeData l' )Alfio(c)a dato Bf B Cfunzione ECma → in c-c-e a: =,{ }1,2' (c)f- ={ }5,6C =Funzione iniettiva ÷•• •Ad codominio freccia ••a •del arrivaogni massimoelemento ↳una •)fla )flaredi da → =: ,suriettivafunzione •• s :ha almenodel frecciaper elemento codominioogni una 00.quindi immaginatiB aè •fla )) flai di Alma =/ 2. = BiunivocaFunzione (obiettiva) :]suriettivase :iniettivaè sia che) -gcaz(a)ai g.da=/ •→ =/ •)SCX y=ES . IRf IR: → 292×+2 292 +22✗ → + =, iniettiva)fla )flora fai a →= >-. .e- suriettiva ?BÉR 3- ERa)fla La b-Lab-12 2===b-ffcbj-I.bg/b-2-)=2(b-Z-i-io = suriettivafbb-2 +22 →==

Operazioni e struttura algebrica

OPERAZIONI anch' funzionisono esse→R' → Rsomma 8 IN ININ3+5es ✗ →:: =.RIE ( 3,8) 8→ ( Rooperazione 2×2sottrazione Zè )non Q1N' suin → o: .È ÈQ ☒insiemedivisione mai 0)divisione possibiletranne (la per senza0èc'se → =: = È A'definire operazionipossibile Aè comele →ALGEBRICA (*STRUMA definitafunzione ) algebricaA.da Axa A la coppia struttura* chiamasi→ → .QÌ) ( :)(( )N Zes +: , - ,,{ / }RifC continuaf R →:=l' ALGEBRICHEdiventa DiSTUDIO strutturealgebra( )libro Up . )l' ( {insieme } in cui 1+1=00,1 è campoin+ ×, ,

Spazi vettoriali

VETTORIALISPAZI( R ) vettorialespazio-1 →.,,( perché QRx ④Q ) no NO→+ →. ,, .,(È È 'è commutativo vettoriale) lala moltiplicazione spazioancheRsomacon+ → con →. ., , .(qptQ )Xp ✗ ya+ y ptQ ,a q, 'V02numeri( reali RogniP coppia associoXp ai unyp) a vettore →,→ numeriogni aispazio realidimensionistessa nellola terraaccade 3acosa a:> V03 Rsassocio vettorein →! !è corrispondenza algebricac' una " necessario" "RÈV0 èesisteesisteR perché tempoperò c' coordinataad laesempiolavorarema non con ., .5Rlo stesso per . . .

Generatori

GENERATORI ( )30p .( ) ( )2,11,1• )( ) () 2,1bY 1,1(X a +=, I( b)aZba ++ , {{ b coppieleb ottenerea -12 possoy× ×== - → .→b Zyat y a ×= -=( () )4,6 6,9• ) ( b)( 6,9 Gbb.) ( 60 9) 014,6 hay× +++= =, ,{ ×iÌGb °ha× + == → di coppiaquindiy laGb6A questaCombsola §y esserepuò non+ ×2-= Y .,= × beneva di ?perone&di migliorisistemi i vettoriai ' quelliRi nontutti generatori i2 devonosono coppiecon essereFra etra multipliloro generatori INDIPENDENTIVettori linearmenteminimale ?come sistemacapire dihose in → .

Definizioni

DEFINIZIONI esempioUNFARE DI? ) )( ( )NQ ( èQ÷ (loNon )+ Q× (; ÷ ;-)N,; , ;. ,9 ( sia Axa) cuiALGEBRICA la definitaStruttura un'in ovvero Aècoppia funzioneA operazione da adcheuna**: , ,COMMUTATIVO proprietà( soddisfa seguentiGRUPPO struttura algebrica )A leche: * :,è associativa c)l' ( b)(operazione b→ aa→ c# # **- =" bcommutativa b aa→ * #=l'esiste dielemento neutro *- ' diinversoeEsiste *- )voi perché (? l' e-Nonrispettoinversoèè()( c')( lo allaR gruppi) N Rsomma lononnonsono: c. ×++ + ; ;; ,, ) èlo (A *(CAMPO )Rstruttura main cui: + :× ×;, ,& commutativo( )A è gruppoin-1-e- ,io associativa→è( )R ×--1 × commutativa;, →, "(Q ) (+ × b) bxcdistributiva Crispetto a aa C, , ++ → + ✗=èlonon l' elemento diesiste neutro( ) ×Z ×+ -,, rispettol'esiste inverso a ×-SPAZIO vettoriale didicommutativo)( Rmoltiplicazione elementianche z perdotatov gruppoè operain+: , . .avettorialeV seispazioè unoWEV seguentisoddisfi proprietà(tv )U-x-c.IR che le-1Wv ✗ va wx→e :+- =, V B)(tv ✗ pvPERE ✗×e V v→ + +- =, realiV )( numeriPER ( piu Pvfa ✗ ✗tv c- e →- =,Vtu IVE 9V→- = > 'COIIR]! "RR )R )} R[{ (( [ ]] vettorialiRderivabilifont! R↳continue spazi0 sonopura× ; ;; ;; ;. . .. .

Combinazione lineare e vettori linearmente indipendenti

V VLINEARECOMBINAZIONE disia vettoriale ognidispazio Sielementi dice lineareva voi vab.va Vsuno vscone: ., .. , .. . .Rtipodel tV2daespressione AsV as dove Maaida Us+a ... .. ,. VEVGCVGENERATORI Sistsistema combinazioneDi di comeogni scrivereinsieme è deto puògener siseun: . . GVEVG Relementilineare talidi £degli chevaesistonoscelto Uda VaVia£ .az asvsva Vs Ma as +→ e -= , -...,. ., .. .! !minimalivogliamo insiemi VINDIPENDENTIVETORI LINEARMENTE vettori unicavettoriale dicono linearm l'sivai spaziova uno indipinUs se: .., ...lineareloro avvienenulloilcui vettorecombinazione ottengo coefficienti 0per con →=soloda Ava IzVa V2Ma AlOAs 0seUs+ = s =...,... minimale !dil'! indipendenti all'linearmente insieme ai generatoriessere esseregarantisce equivalentiseguentidimostrato ) affermazioniUna (volta 32 che le sonop :. DIMOSTRAZIONE Pindipendenti → 32linearmenteVa sonoUsVa• .., .. rimanentiè deicombinazione linearedeinessuno va va Us• , ... generatoriinsiemi ai minimalisonoqualidefinireposso gli : V aiBBase aiinsieme generatori linearmentevettorivettorialesia di uno Bspazio insiemeseun ancheè un: .Vaiindipendenti allora B è baseuna, .! V !{ basi}vettoriale ammetteogni spazio =/ O→ !infiniteti! base haallorahase neuna→ elementi !dilinearedi BVvettoriale Didicombinazione unicaespressione 34Mèl'! spazioallo → pcomev→ c- . . !vettori possibilevettoriale baseS Vinsieme di! spazioPreso ai Vuhearm.inaip.in èS sempre completare a unauno→ come , )" (canonica ) Q 0,1vettori (Base (R )0,40spazio 9,0 0 0nello i ln0 lae =: ; ;= =, .. .. .. .. .. .., {indicataRncanonicabaseformano di conuna nFTEOREMA 'V V' Allora BeB basicorrispondenzavettoriale BdiBsia spazio possono indue essereuno e messe:, .,cardinalitàbiunivoca hannoossia stessa,Dimensione MVdaielementi all'di spaziodi vettorialequali è unobasenumero composta una n→ =: infinita (MV [ ]dimensionebasi IRV di )se esso haha esfinitoconnon n ×co→ ao: ==, !! vettorirdimvSe di linearm Vil averedipnumero inin chené massimo posson→ = ., .

Sottospazi

sottospazi V Wsia VWCVsottoinsieme èspazio sottospazio divettorialesivettoriale diceuno suo unoseun: ; V (di )vettoriale Wprodottorispetto sommaspazio +a e -,.sottospazioè seW soloin :A) Ov W DimostrazioneE 39P→ .2) EWPER BuiaW V7ltwi ✗C- waWz → +, ,, vettorialeverificare è sottospaziose sottoinsieme unun l'verifico elementoinclude nullo1. se ;di elementi2. verifico W Wlache appartengadue c-somma w a.uae,Wil Rscolare Wverifico eche prodotto ✗ c-W3 a c-con e,. ,{ }(f) 'W 2×-9=0Res c-: = , (8)(8) ?? 1 2×-9=01 2×-9=0 c- Wc- W →→ .. )) 210210 )) (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == SÌSÌ 0=00=0 →→(2 )) (YaW Wz YzX2Xp, ==. ,, ?oppuretwwf2.tw pwz ) WC-Ha MaWi wz a) -1yd +✗ a++ = , ti(se ( +42) )ya× y 2x✗ y✗+ e= o→a, = =- )) ( È