Appunti Metodi di ottimizzazione della ricerca operativa

Introduzione Settembre 14 2020

Quale? Dove Oltimizzazione problem no Oli mangiato', i pronto Cosa sono a. Perché ho studi questo scelto' Oli piano. Tutto oltimizzazione.ci problem nella vita Oli visto- a essere on come poo idee guard costo essere agno on un e Il obbiettiuo e-minimizz-are i costi e massimizzare. Si guaolagni mio essendo solt posto dei vincoli sempre on.

La Ricerca operativa e- compostable 3 passaggi: intuitiuo tra la migliore le alternative possible scegliere I. Gestionale la trouve decision migliore decision complessi ali in process@2. Mate Fontaine HA1-1CO Oli Max 0 min 3 una problemu eoliamo 0TH M12-7AZ ONED1A /hello specifics- consistent cosa in Ora solve quantifier to come T-unzione obbielte.io.

Ammissibile Regione 4- detto Miti nostra f. In MAX m K✗ € con ✗ olecisione Variable Decision di voglio Cosa e: decider In generate con: "IRKoli suguaglianz-a e uguaglianz-a-T-unzione obbieltiuo.fiolefin it Oli≤ vincoli per linear) linear quadrature non: - . .., , Tipo Variable continua intera Mista ✗: , , , Limit Iinferiore ×✗ Superiore ≤ u ≥: ,1 T-untione obb.ie/tiuo e-oli tipo Lineoire e le Uariabili oli Il heueolremo di e-piu nel che quando- Corso Caso Decision Intercontinue Binarie sono e o.

IUeoliamo esempio per axpire meglio wsa andremo a fare.

Problema dieta

TLon Problem dieta della A: Create standard nutrient minor soddisfig.liolieta at i costa che. once per.? Uariabili I Definiamo le quantita-oli uxrota.uerza.cetr.de kg ✗ ✗ Xz income si. ., ? Funzione Obbieltiuo 2 3) f- ( Cos Total ✗ 0,75 to I 0,5×2 ✗ 0,15×3, X + ✗ + e=>, , funzione da minimizeare?

Vincoli as (UITAHINA 0,5 0,5×3 35×1 ② Xz ✗ 0,5×2 ✗ A3 ++=1 1, , (VITAMIN ② ✗ ✗✗ 3 15= 60 300×2 10×3 C2 ✗ I AI +2 +, , (② ✗ ✗ Fibra ✗ 3 4= 30 10×32 20×2 ✗1 I3 ++, , ! Vincolo negatiuita 0 ✗ '✗✗ Non Con 1 3 DI2, , Quindi abbiamo un mode.lk { f Min ✗✗ ✗ 32i. ,g. a yz.ggg,. .

Soluzione Coste 0,07$ Cetrioli Uerze Carole 9,5g 295g 38g ✗ ✗✗ con 3: I 2 == = ,, tanto Ne prendre- amo! costa' perché poco Linear Tutte fortiori Ie questo ueloci sono in quince esercito e. Questo Dantzig apple.cat/simplesso il Stato probleme e-dieta La dove primo.

Sviluppo di un modello

2FA51 5UI Modeluppo di un DI LL0 Identificatione oli sintom.ie Course 1 Formulation Oli 2 e: Orizzonte Temperate; Indicator Uawtazione Oli, Parametric Numeric, AMUariabili oli decision @Relation Maternal 'obe Suiwppo dell' algorithm risohtiuo 3 efficient Collado 4: Correltezza date dei Consistence e stabil ta-e dei r.su/tati Non tuHii problemi che Uedremo Permutation lineari tahtiowranno ole.lk Non Saronno.

Per Important Esempi apple.ae/e fasi oli sui wppo ole lmodeko ueoliamo degli coyote: come Cohhesso uiaggiatore risoluzione 71 Hamiltonian Oli insieme: cidi HE if 71 (1-1) 01 (e) =, EEH 3£71HHid TSP Min.

Problema trasporto

Problem trasporto dela_a TaELgpaasaaa-_TOOTaa- _o e - risowzione? Variabilis 1 Definiamo e da trasportare olaiaj Unitale ✗ ij come? Funzione Obbiettiuo 2 f( ) ✗ 15 17 13 ✗✗✗ 11 ij 12 29 ✗✗ ✗ + 21 +++ 13 23 22 it 12= + Vincoli? 3) Stabilimento Offerta ✗ < 32 ✗ Xiz 13 It +: + 84E ✗ 21-1×22 ✗ 23+ Domanda Magazine ✗ ✗ 23611-1×21: 2 24 ✗✗ 22+12 ✗ 2 ✗ 5223+13 Non negatiuitÑ ij ✗ > 0 { fcxij) min 65. Vincoli a. a ✗ 4 ✗ 12=24 ✗ ✗ 23=52 ✗ 32 ✗11 2113 22= == =,, ,, ,

Modello di predizione

Predizione modello di Ueoliamo un esercizio per coipire questo mode.lk: Abbiamo fenestra wiebbiamo Oli in 5gg una '/ umiditñ temperature % misurato la grade, probability e uogtiamo trouare.la che pioua. Risoluzione! Line modello non are Lapnbabilita-oli pioggia oli pende lineorm.edu/1a TeH Uactivation fuction! f GT H H wi TWz wzwe = +- -,,, 5 2 fPimin Ti Hi wewi- , ,. IW2wi I=, la Uogliamo tutti minimize di i Somma gu-; errorare giorni olella mia preolizione ohelualore reale.li) Dati Affid Modelled + +. difficile!

Ma inolbbiamo queste reti abbiamo un problema oli oltimiz.tt possiamo melte.net reti helle quando generate input naturali e above vogliamo minimizzare g.li i errorazione ma Non e abbiamo vincoli. Problem lineari Ci modelli che diversi possono sono: essere 5 Settembre 0TT Modelli IS 2020 D1 M12-7AZ ONE/ / f-min max ✗ } { bi m1i c ✗ yi . -.

Modelli

Delle Disuguaplianze sono "Sia FUHZ-ione obbiettiuo che i vincoli gilx sono funzioni f.fi IRIR la: La Regione tmmissibile tutti l' Oli vincoli soddisfano' vettori che insieme i e-Sara { }" EIRK) ✗ gill 0 Gm 0 ✗= ..., .. solitamente abbiamo g.intb ma si puo-trasformare portando b dall.at/-ra parte.

Ponti 1 soluzioni ammissibili EK vettori chiamati ✗ vengono he "tipo ER diverse uariabili poss.no continuedi ✗ essere: Inter "EZ✗: "}{Binaries usate uando ci sono oleu.si 0,1 Oni: Mister I Tipo Tecnologia Fisici Olivero capacitor Oli vincoli possono essere: Consistent sul bospazio oli ricer.ca alogia.

Tipi di problemi di ottimizzazione

Tipi problem ottimizzazione D1 DILINE {ARE1 CTX min GX1-1GK cnxn+ += ... bAx 5. a { Quadratico ' '911×12-1 ① min 2 qijxj ✗ + qnnxn++ ✗ = . ... .. Ax bsa . { Lineare non vincolato fat3 min Difficile! gilt) 05. a { Intero fcx4) min { }EZ gilt) ✗ ✗ 0,1 S.a ✗ c-. , Lineari ueolremo Noi solo problem 6 quasi.

Soluzioni

Soluzioni P fix EK min) con ✗ Soluzione f-fix V-Globule K Oltima A) ✗) e- thec- se una ✗* Solution fLocate Oltima Fx * ✗ fix EK e- E*E) se ✗ Una ✗0 ✗@: -, ,11 Vabre ha fonzione obbietti.io Oli hell ' problem Ohimo vale e- quanto un a*2- PVal fcxinf)= = ✗ ek Se fsowzione oltima ghob.ae Pvel Iahora - una = globule * locate min ✗ min ✗ locale ci trouiamo in piu-casi bloccoitineim.insiamosiwrichesia no globa kcisono oleicasi in w.MN.Max e non fortune Min locale globale abbiamo questo quando auuiene Una=.

Convessa

Convessa "Un AE1R convesso e- insieme contehuto questo Sarai prendre segmenti o generico se un'hell insieme y V-x.y-CA.tt/-co;1 A ✗ E7 ✗ e- y+, ✗ f Una Funtime IRA convessa il e- tutti Se la fontaine epigrafo ponti suo: i sopra={ } fix f EA) e-epi × yy insieme ✗ conuessu un- , ,, f- Quindi V-X.yc-A.lt/-cEo;1] Contessa e- se f() Hy f- (1-+11-4) A) ✗( E ✗ 1-✗ + + Mini minimo globale locale MO 7 Funzioni fortiori le Linear A questo le whiche interessano che hoi e sono sono Conuesse! concave Contemporaneamente e poiche- a noi interessa meltere.to/to nello stesso formato spesso citnuiamo owlauereache fare.ws motto.

Problemi equivalenti

Problem equivalent 1 P2 equivalent P1 Due problem i see sono: h] tra Funtime Solution Biettivai le Ammissibili: una* hP1 P2* Solution ✗ e-2 e oltimale oli Sole- oltimale Oli ✗ Una una. 1YA ho diversi valori ① uindiseho: Questo utile fortiori perché-posso semplifiuxre. IE oltimizzare molto devo e- one 8 Nona. - Sara Line neliesame! Non are 1ZZ azione TT1M☐ se ne a capire.it! resto Per base abbiamo bisogno oli wnosce.me problem risower Olii questo:

Derivata direzionale

Derivata direzionale La Derwata f ohhello oli rezione e-Direzionale Oli in ✗: Ofc 1- 1-(d) ( ) him x ✗ ✗ x + -= od ✗ ✗0 prendiamo gli assi x e y abbiamo le Deriuate parzia.li Quando- 0/-1×1 Of A) Oy Ox Rispelto ax Rispelto aya- Parziali gradient D. Cohoscendo si puo-olefinire.it le EfIt corrisponde ou veltore rdell@D.pn.

Gradiente Oli ✗ in R2-1AU-0th 0th f-) ))( x = - . . .' .0+1 c) Xh 'Conoscendo I Graoliente si poo-edefin.ve insieme liveth Oliit Anzio'I di insieme one one det Vabre ponti di e- assume una he on .. Le Gradient delle livethold proprietor- di sono e une: 0th dfar))I = .Od Graoliente olefinisce il liuek odi max cresa.to It2 take Gradients Itwre oli liuello.lie-3 THE*) Se 0 e a hone locale ✗ minimax g.

Matrice Hessiana

Un matrice Hessiana outro quello concelho molto importante della e- La Hatice simmetrica Hessian matrice che contiene tutte le olerwate sewnde.athe e-e-a Per i rewme e-la funtione wllegata alla matr.ee dobbiamo guardove g.li autoualori cap: Po51-1na Po51-1ni Min Convessa Autoualori Fortune Matrke local mente Matrke Funtione Concava Autoualori Max Ne4a-1na Local Ne6a-1ni mente Se ho owtoualori nepositiui nenegatiui ma uno e uno la matr.ee conuowa- e- Punto in wiaura un non Convessa e-wiin Uno e.

La linea costante Nel deriuata Hessian la matrices RE to e- quindi Una Caso prima e aqui ndidouremo fare quakosa di piu. Quindi sapendo che.it e- 0 = Gradiente possiamo sfnltarlo per troucre un algoritmo risowti.io il Punta Massimo verso! problem non linearo Oli oltimizzazione nostri dei 't.

Algoritmi direzioni ammissibili

Algoritmi direzioni ammi ss1b 1LI Per Direzione tmmissibile ooli linea.consiste.in Algo problem risowere ole tipo questo questo ritmo i si Usa': Partook initiate Xo punto I position@on = hk Scelgo una oli rezione 2 dove andare OK Scehgo 3 ampiezza quanto auanzare = DoU quella direzione in passo on? Come olirezione scegliere.la Me1-0do Newton Me1-0do Gradiente 2 I del DI' hk f (HI) hk XK (HXK) ✗= - he= -! complicate Veloce piu- + ma.

Ottimizzazione non lineare vincolata

Vincolata ottimizzazione non lineare Quando vincolati non linear ilbbiamo dei problem problem abbiamo Olii un a E- infalti olobbiamo trasformare il prob. IE vimeo.to main ONENA42-7AZ uso il metodo Uno/ non poi e Gradiente del far PA (f-min min) ))) a+xEk ✗ esco dalkemia regione uincolati euengo Penauzza.to se 10 Settembre 21 2020.

Ottimizzazione multi obbiettiuo

Ottimizzazione multi obbiettiuo- Ho Probleme inwi devo risowere piu-oli una fonzio.me mente contemporanea un. thP min ✗ Max geEbi }/) gi x 1it m.. - Abbiamo 2 Wtsi: Senza prior a- - Con priorita IT f- f- Ipotesi XI Priorita Xz gcx) Min ')( e-+x ..: EK ✗ Zf*= f(✗ Ohimo) i relative I Min pesi ✗= £4 ✗ }{ Zf* Zf* WE f-EK EA) E2 ✗ += , Diciamo wi possiamo e allontanarci ohal minimo e exndiamo oi min.lai non range Fontaine Seconda min 3) GHw ✗ ← Ohimo ✗ 11.

Ottimizzazione lineare

Ottimizzazione lineare f(min ✗ Max /Ebi) } gi x 1, mit . ... Rh CTX linear f IR f(✗) GX1 Chin+-1: == Problema lineare. .." Ouiir linear R g ✗ cgi: = CTX Min-BL912×2 ✗✗ 0111 9th I 1- m+-1 . .. bAx S.a:: .bn AM2IXI ammxn ✗ +am -1+ 2 ... Problema adesso prendiamo lineari problem modellizziamoli diversi in.ie.

Problema del trasporto e modelli

Problema trasporto I del Vincoli di negatiuitci non controllo ve e-senor = prima uerificoto di fare vale problem: probil i non. 12 Hodeliio miscelazione 2 Modello produttiuo 3 Mixi☐ 13 Pianificazione produttiva prodotto multi 4 - Selezione finanziari Investment 5 di IU Abbiamo tanti problem tutti oli tipi i cerchiamo formula risowere poterli generate quindi Una per: Quindi abbiamo forme owe: Forma generale Uniform_t Ex Ex min Max AX b AX b 5. S.a a .. ✗ 0 ✗ 0 Forma Forma generale standard mista Ctx CTX that Min Max ☐ S.a.ae? XEbii- MeA ✗=b S.a . ✗ 20 OÉ ✗=bi Mzit OUT Zbi EM3 Solo i Oli vincoli uguaglianza ✗ JENIXj > 0 libera jemxj JENJE0 ✗ 's Sia uguaglianza che disuguaglianza 15.

Passaggio tra forme

In problem si puo-passare da una forma e a un outra per risowe.ie facit generate mente i i piu 1 variable Devo disugoaglianza Vincoli di cuggiungere una ogni perché! voglio aembiare 2 sottrarre variable Devo disugoaglianza Vincoli di ogni una perché! voglio aembiare Forma uniform Forma G.standard E3 Ex Max CE Max - Axs ba.A- >5. ba ✗ .=. EbAX ✗ zo ✗ 20 Devo trasformare una uguaplianz-a in una olisugoagle.am fare colours-za: 16 bU=b >_b asa= ,4 Oratio il difficile- tante piu perché Caso ' ai option sono.

Forma generale forma generale uniform mista E CTX CTX that Max OÉ A- EbEbi S.a ✗ S.a ✗ .. Out oÉ xzboÉ xbi b ✗ a-= eout out bi moltiph.co b> -1 a-✗ per- -> Xj > xj >0 0 xjt Ixj xj solibera Xj xj ✗ > o con= e-to yj to Xj xjy= con - Lineare.

Assunzioni dell’ottimizzazione lineare

Assunzioni ' ottimizzazione dell Uh lineare deve auere le seguenti axralteriste.ch modello oli oltimizz.az essere one per e: ProporzlonaUtai - mi ho owe proololti iwsti sono unitari.se costa 2 ✗ Additivita' II 2 variabili s dallerunzione aka obbieltiuo contribute independente e- Diuisibilita le uariabili possono essere qualsiasi nume.ro- 3 Certezza 4 siamo certi ole i parame.tn. Rango In RENO Matrke A! formula ha la tra broKnee I. i.nostra ogni sempre =.

Teorema standard

Teorema standard tre Dato abbiamo il problem che Sappiamo casi a: 7 Solution Problem alme.no Ill Inammissibile Oltimale imitato.