Appunti matrici (rango, riduzione di Gauss, moltiplicazione matriciale, Rouchè-Capelli, inversa, determinante, Laplace, Cramer, minori orlati)

Introduzione alle matrici

Un sistema lineare di m equazioni e n incognite può essere espresso come segue:

a₁₁x₁ + ... + a_n1x_n = b₁,
a₂₁x₁ + ... + a_n2x_n = b₂,
a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m.

I coefficienti e i termini noti di questo sistema si trovano nel campo K, cioè a, b ∈ K. Il sistema lineare può essere rappresentato con l'ausilio delle matrici come segue:

• (_a11 ... a_n1... a_m1 ... a_mn) → matrice dei coefficienti delle incognite → matrice m×n
• (b₁...b_m) → matrice dei termini noti → matrice m×1
• (a₁₁ ... a_1n b₁...a_m1 ... a_mn b_m) → matrice completa associata al sistema lineare → matrice m×(n+1)

Sistemi di equazioni e matrici

Un secondo sistema lineare di m equazioni e n incognite è descritto come segue:

a₁₁x₁ + ... + a_1nx_n = b₁,
a₂₁x₁ + ... + a_2nx_n = b₂,
...
a_m1x₁ + ... + a_mnx_n = b_m

I coefficienti appartengono ai campi K = Q, R, Z, C. Lavorare con matrici è vantaggioso e questo sistema può essere rappresentato come:

• (a₁₁ ... a_1m...a_m1 ... a_mm) → matrice dei coefficienti delle incognite → matrice m x m
• (b₁...b_m) → matrice dei termini noti → matrice m x 1
• (a₁₁ ... a_1m b₁...a_m1 ... a_mm b_m) → matrice completa associata al sistema lineare → matrice m x (m+1)

Spazio delle matrici

Lo spazio delle matrici m x m a coefficienti in k è indicato con M^m_m(k). Si tratta di uno spazio vettoriale, quindi vale la somma e il prodotto per scalare:

• (a_i,j) + (b_i,j) := (a_i,j + b_i,j)
• t (a_i,j) : (t a_i,j) ∀t ε k

Vettori riga e colonna

Ogni matrice può essere vista come un insieme di m vettori riga:

A∈M_{m x n}(k)
(a₁₁ ... a_1n.a_m1 ... a_nm) = (R₁.R_n)
R_i = (a_i1, ..., a_in) ∈ k^{1 x n} ∈ K^m

Oppure come un insieme di n vettori colonna:

(a₁₁ ... a_1n.a_nm ... a_nm) = (C₁, ..., C_n)
C_i = (q_1,1.q_m,1)∈ M_{m x 1}(k) ∈ K^m

Rango per righe e colonne

Il rango per righe consiste in un minore estratto:

dim ({ϵ E₁, R_m}) = max num di righe L.I.
Questo non può superare m perché ogni riga è coperta da m vettori.

Il rango per colonne è simile:

dim ({ϵ E₁, C_m}) = max num di colonne L.I.
Anche in questo caso, non può superare m poiché ogni colonna è coperta da m vettori.

In una matrice A∈M^sup({ϵ C}), il rango per righe è uguale a quello per colonne, indicato con ρ(A).

Matrice trasposta

Se ho una matrice A, la sua trasposta è A^T, ottenuta scambiando le righe con le colonne:

A = (a_ij) i, j = 1, ..., m ϵ Γ^m,n (K) β ϵ Γ^n,m (K) con un β_A (p, q) ϵ ✉ = a_qp

Tipi speciali di matrici

• Matrici quadrate: dove m=n
• Matrici diagonali e identità: (a_ij) con a_ij = 0 ∀i ≠ j. La matrice identità ha i termini diagonali nulli pari a 1. Notazione: Id
• Matrici simmetriche: A = A^T, quindi a_ij = a_ji
• Matrici anti-simmetriche: A = - A^T, quindi a_ij = - a_ji
• Matrici hermitiane: per K = ℋ, A = A̅^T