Appunti Matematica II

Analisi delle successioni e serie di funzioni

Definizione di successioni di funzioni

Sia I ⊂ ℝ e sia f_n : I → ℝ una successione di funzioni reali definite in I.

Convergenza puntuale

Convergenza: {f_n}, n ∈ ℕ, converge puntualmente alla funzione f : I → ℝ se ∀x ∈ I, lim f_n(x) = f(x) ↔ ∀ε > 0, ∀x ∈ I, ∃ N ∈ ℕ. |f_n(x) - f(x)| ≤ ε, ∀n ≥ N_x [N_x dipende da ε e da x].

La convergenza puntuale si ottiene fissando la x: otteniamo una successione numerica.

Convergenza uniforme

{f_n}, n ∈ ℕ, converge uniformemente alla funzione f : I → ℝ se

lim ^{|f_n(x) - f(x)| = 0}_n→∞ ↔ ∀ε > 0, ∀x ∈ I, ∃ N ∈ ℕ. |f_n(x) - f(x)| ≤ ε, ∀n ≥ N ∀x ∈ I.

In questo caso, non devo fissare prima la x. Vale per qualsiasi x variabile. Le f_n non dipendono da x [cioè, devono valere per tutti gli x ∈ I, ε].

Riscrivo: → ∀ε > 0, ∀x ∈ I, sup |f_n(x) - f(x)| ≤ ε ∀x ∈ I ↔ ∀x ∈ I, ∃ N ∈ ℕ |f_n(x) - f(x)| ≤ ε ∀n ≥ N, ∀x ∈ I ↔ lim ^{|f_n(x) - f(x)| : x ∈ I} = 0_n→∞.

Osservazioni sulla convergenza

Se una successione di funzioni converge puntualmente e uniformemente in un intervallo I, allora converge supremamente in ogni sottointervallo chiuso I' ⊂ I. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale. Convergenza uniforme → Convergenza restritta.

Dimostrazione

∀ε > 0, ∃ N ∈ ℕ: sup |f_n(x) - f(x)|, x ∈ I ⊂ J ≤ ε ∀n ≥ N ∀ε|f_n(x) - f(x)| ≤ sup |f_n(x) - f(x)| : x ∈ I ⊂ J ≤ ε.

Successioni di funzioni f_m

Sia I ⊂ ℝ, f_m : I → ℝ per m ∈ ℕ una successione di funzioni reali definite in I:

1. f_m(x) = x^m m ∈ ℕ

Convergenza puntuale delle successioni f_m

Convergenza: {f_m}_{m ∈ ℕ} converge puntualmente alla funzione f : I → ℝ se ∀x ∈ I, lim f_m(x) = f(x) ⟺ ∀ε > 0, ∀x ∈ I, ∃N ∈ ℕ : |f_m(x) - f(x)| ≤ ε, ∀m > N ∀x ∈ I |f_m(x) - f(x)| ≤ ε.

La convergenza puntuale si ottiene fissando la x: ottengo n successioni numeriche.

Convergenza uniforme delle successioni f_m

{f_m}_{m ∈ ℕ} converge uniformemente alla funzione f : I → ℝ se

lim f_m = f(x) ⟺ ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : |f_m(x) - f(x)| ≤ ε, ∀m > N ∀x ∈ I.

In questo caso, non devo fissare prima la x. Vale qualunque sia il valore di x. ∃m viene fissato ε dal limite uniforme usando la stessa N (cioè dipende da ε): ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I| ≤ ε ∀m > N ol, x ∈ I ⟺ lim sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I| = 0.

Osservazioni sulla convergenza delle successioni f_m

Se una successione di funzioni converge puntualmente e convergentemente in un intervallo I, allora converge uniformemente in ogni sottointervallo I' ⊆ I. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale.

Dimostrazione

1. ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ : sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I}₁ ≤ ε

|{f_m(x) - f(x)} = sup |{f_m(x) - f(x)} : x ∈ I}₂ ≤ ε. Allora, poiché |f_n(x) - f(x)| < ε, converge puntualmente.

Dimostrazione che convergenza puntuale non implica convergenza uniforme

es. f_n(x) = x^m I = [0,1] dove f_m(x) = lim_{m → +∞} x^m |^{0 x ε [0,1[}_{1 x = 1} uniformemente puntuale.

Quindi studiamo la convergenza puntuale f(x) = |^{0 x ε [0,1[}_{1 x = 1} ottengo una funzione a tratti f(x) che converge ad una funzione continua a tratti.

Se voglio dimostrare la convergenza uniforme, devo considerare il sup |f_m(x) - f(x)|; x ε [0,1) sup |^{xm - 0 x ε [0,1[}_{x^m x ε [0,1]}|_{1 x = 1} x^m ε crescente in |0,1[, quindi è uniforme decrescente in x (mon. crescente).