Appunti Matematica Finanziaria per esame Consulente finanziario

Nozioni di matematica finanziaria

Regimi di capitalizzazione

Simbologia nelle formule sulla capitalizzazione: C = Capitale (la somma di denaro che viene investita o prestata); i% = tasso di interesse al quale lavora il capitale per un certo periodo di tempo; I = sono gli interessi che maturerà il capitale investito/prestato ad un certo tasso; è calcolabile secondo la formula seguente:

I = C i t Alla fine del periodo avremo un Montante che è pari alla somma del Capitale iniziale + gli interessi maturati, cioè M = C + I = C + C x i% x t se il tempo è = a 1.

M = C (1 + i) Con un tasso, ad esempio del 5% o del 15%, avremo rispettivamente: (1 + 0,05) cioè (1,05); (1 + 0,15) cioè (1,15).

La capitalizzazione semplice è nota come “capitalizzazione lineare”, perché l’interesse viene prelevato, alla fine di ogni periodo, dal cliente che quindi riparte sempre con il capitale iniziale. Il montante negli anni si ottiene moltiplicando il tasso (i%) per la durata dell’investimento, espressa con (t), come indicato nella formula seguente:

Montante in regime di capitalizzazione semplice: M = C [1 + (i t)]

Nella capitalizzazione composta gli interessi maturati si aggiungono al capitale investito inizialmente e producono interessi maggiori nel periodo successivo. La formula cambia perché il capitale si evolve in maniera esponenziale (o logaritmica), anziché in maniera lineare, secondo la formula seguente:

Montante in regime di capitalizzazione composta: M = C (1 + i)^t

Il montante in regime di capitalizzazione composta:

• Coincide con quello ottenuto in capitalizzazione semplice, se il tempo dell'investimento è = a 1 anno;
• È maggiore di quello ottenuto in capitalizzazione semplice, se il tempo dell'investimento è > 1 anno.

Punto di attenzione per il riconoscimento della formula esatta; se nella domanda si parla di capitalizzazione:

• Semplice, cercare fra le risposte quelle con il segno di moltiplicazione;
• Composta, cercare fra le risposte quelle con l’esponente.

Per una corretta consulenza è importante verificare qual è il tasso necessario per ottenere nel tempo un certo montante. Dalla formula del Montante bisogna ricavare i%. Le formule variano a seconda che il capitale lavori in regime di capitalizzazione semplice o composta:

Capitalizzazione semplice: i = [(M/C) - 1] / t

Capitalizzazione composta: i = [(M/C)^1/t - 1]

Nell’ambito della consulenza finanziaria, la domanda che l’investitore si può fare è:

"Per raggiungere fra un certo periodo di tempo, un Montante (obiettivo) X, con quale Capitale (risorse), devo partire oggi?"

Si parte sempre dalla formula del Montante, dove questa volta l’incognita è C e, anche in questo caso, le formule variano a seconda che si lavori in regime di capitalizzazione semplice o composta:

Capitalizzazione semplice: C = M / (1 + i t)

Capitalizzazione composta: C = M / (1 + i)^t

C in questo caso prende anche il nome di V = valore attuale (o sconto). Le formule vengono utilizzate, ad esempio, nel calcolo del capitale iniziale da versare per ottenere a scadenza il valore di uno zero coupon bond (ad esempio BOT o CTZ).

Utilizzo della calcolatrice

La calcolatrice permette di rispondere a diversi quesiti come quelli nei quiz su “Obbligazioni” o “Costruzione del portafoglio”. Di seguito alcuni esempi di calcolo, utilizzando la calcolatrice. Ai fini della preparazione ricordarsi che:

• Se si sta simulando sul sito, addestrarsi ad utilizzare la calcolatrice che si apre cliccando sul tasto.

Esempi di calcolo

1° ESEMPIO: Calcolo del montante dopo 10 anni, di un capitale di 100.000 € e un interesse del 5% (1+i)^t.

La formula è M = C x (1 + i)^t.

• Operativamente: xn yx
• Inserire sulla calcolatrice il tasso (1+i), cioè 1,05, premere il tasto.
• Elevare al tempo 10, scrivere 10 e battere il tasto (=);
• Moltiplicare il risultato per 100.000;
• Sul display comparirà 162.889 €.

2° ESEMPIO: Calcolo del tasso d’interesse che permette a un capitale di 100.000 di raddoppiare in 5 anni.

La formula è i = [(M/C)^1/t - 1].

• Operativamente: xn yx
• 200.000 / 100.000 = 2, premere il tasto.
• Elevare al tempo 1/5, scrivere 0,2 e battere il tasto (=);
• Dal risultato ottenuto 1,14869, sottrarre 1 e moltiplicare per 100.
• Sul display comparirà 14,87%.

3° ESEMPIO: Calcolare il valore attuale di 100 € (Montante), ad un tasso di interesse composto del 10% a 3 anni.

La formula è V (C) = M / (1 + i)^t.

• Operativamente: xn yx
• Inserire sulla calcolatrice (1+i), cioè 1,1, premere il tasto.
• Elevare al tempo 3, scrivere 3 e battere il tasto (=); si ottiene 1,331.
• Battere 100: 1,331, si otterrà 75,13.

Tassi equivalenti

Due tassi si dicono equivalenti se applicati allo stesso capitale iniziale, per lo stesso periodo di tempo forniscono lo stesso montante. L’equivalenza mostra come sia possibile arrivare allo stesso risultato, a parità di tempo, con un diverso ammontare di risorse finanziarie e quindi permette di cogliere i risultati migliori lavorando in capitalizzazione composta anziché in semplice, oppure, a parità di risultato con un diverso impiego di quantità finanziarie, minore con la capitalizzazione composta, rispetto a quella semplice.

Anche in questo caso, quindi, distinguiamo fra capitalizzazione semplice e composta:

• La formula dei tassi equivalenti, in regime di interesse semplice è la seguente: i = i x k / k.
• La formula dei tassi equivalenti, in regime di interesse composto è la seguente: i = (1 + i)^1/k - 1.

Le rendite

Una rendita è un’operazione finanziaria costituita da una sequenza di rate finita (temporanea), riconoscibile nelle formule dall’espressione (1+i) positiva e periodica (se le scadenze sono equidistanti nel tempo). Se la sequenza di rate di pagamenti è infinita (perpetua), è riconoscibile nelle formule dall’espressione (i).

Convenzionalmente gli importi pagati (investiti) per ottenere una rendita, sono preceduti da un segno opposto a quelli che essa genera. Le rate possono essere costanti nell’importo, e posticipate o anticipate.

Una rendita è posticipata quando le rate vengono riscosse o versate alla fine del periodo considerato (ad esempio di un semestre). Una rendita è anticipata quando le rate scadono all’inizio dei periodi.

Se “t0” è la data di inizio della rendita, “t1” quella del pagamento della prima rata e “0” il tempo presente, una rendita si definisce:

• Anticipata se t1 = t0.
• Posticipata se t1 = t0 + 1.

Se una rendita immediata posticipata di durata N anni, con rata unitaria e tasso di interesse i, ha un montante pari a M, quello di una corrispondente rendita immediata anticipata è pari a M · (1 + i). Il valore di una rendita ad un certo momento, è data dalla somma dei montanti di tutte le rate già incassate e dei valori attuali di quelle che devono ancora scadere, tutti calcolati a quel momento.

A parità di importi:

• Il montante di una rendita posticipata è minore di quello di una corrispondente rendita anticipata (1 periodo in meno).
• Il valore attuale di una rendita anticipata è maggiore di quello di una corrispondente rendita posticipata (1 periodo in più).

Il montante di una rendita perpetua è infinito. Il valore attuale di una rendita perpetua immediata e posticipata è dato dal rapporto tra la rata e il tasso di interesse (V=R/i). In una rendita a rata costante, perpetua immediata e posticipata, la rata è data dal suo valore attuale moltiplicato per il tasso (R=V x i).

Piani di ammortamento di un mutuo

L'ammortamento è un processo tecnico, commerciale e finanziario, che consente la ripartizione del "costo" di un bene; consiste nel piano di rimborso graduale del capitale comprensivo degli interessi attraverso il pagamento periodico di un certo numero di rate. I tipi di ammortamento trattati sono quelli:

• "Alla francese", con rate dello stesso importo, nelle quali il mutuatario paga periodicamente gli interessi e, contemporaneamente, rimborsa gradualmente il capitale;
• "All’italiana", con una rata variabile costituita da una quota capitale costante alla quale si somma la quota di interessi decrescente nel tempo.

Nel piano di ammortamento di un mutuo, il debito residuo rappresenta la somma delle quote di capitale ancora da pagare e il debito estinto la somma delle quote di capitale già pagate.

I titoli di credito

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L’assegno e la cambiale

• L’assegno è un “titolo di credito” di una banca che:
  • Se bancario: ha la stessa struttura della cambiale tratta; può prevedere la girata in bianco; se emesso in Italia e pagabile nello stesso Comune in cui fu emesso, deve essere presentato per il pagamento presso lo sportello della banca trattaria indicata nel titolo entro 8 giorni;
  • Per essere emesso deve contenere:
    • L’ordine incondizionato di pagare a vista una somma determinata a una persona o al portatore;
    • L’indicazione del trattario;
    • La sottoscrizione del traente.
  • Se circolare contiene:
    • La promessa di pagare una determinata somma all'ordine della persona indicata;
    • L'indicazione della data e del luogo nel quale l'assegno circolare è emesso;
    • La denominazione di assegno circolare inserita nel contesto del titolo;
    • L'indicazione del prenditore.
• Il possessore dell'assegno circolare decade dall'azione di regresso (consiste, nel caso di più debitori dei quali uno decide di adempiere l’intera prestazione, nel pagamento di ciascun condebitore al debitore che ha adempiuto l'intera prestazione), se non presenta il titolo per il pagamento entro 30 giorni dall'emissione.
• La cambiale è un titolo all’ordine (cioè intestato ad una determinata persona), esecutivo (perché consente di promuovere esecuzione forzata nei confronti di un soggetto, persona fisica o giuridica; ma non lo è per mancanza o insufficienza originaria del bollo), la cui funzione essenziale consiste nel differire un pagamento e nel garantire il creditore da una possibile inadempienza del debitore alla scadenza. Sono utilizzate per raccogliere direttamente fra il pubblico capitale di credito a breve termine (tra 3 e 12 mesi). Il nome del primo prenditore è uno dei requisiti essenziali. Esistono due tipi di cambiale:
  • La cambiale tratta che ha la struttura di un ordine di pagamento;
  • Il vaglia cambiario o pagherò che ha la struttura di una promessa di pagamento.
• La mancanza o l'insufficienza originaria del bollo priva la cambiale della qualità di titolo esecutivo; si dice "in bianco" se circola sprovvista di uno o più requisiti essenziali, eccetto la sottoscrizione del traente/emittente e il portatore, decade dopo 3 anni dal giorno di emissione del titolo, dal diritto di riempirla.
• Il protesto è l'atto autentico necessario per la conservazione delle azioni di regresso, ha valore di atto pubblico e i notai rientrano tra i soggetti abilitati alla levata del protesto per mancato pagamento deve essere elevato entro i 2 giorni feriali successivi alla scadenza della cambiale.

Strumenti del mercato monetario

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Accettazione bancaria, polizza di credito e commercial paper

• L’accettazione bancaria è un ordine di pagamento a una determinata data futura e per un determinato importo a favore del portatore; è una tratta spiccata da un operatore economico su una banca. Le scadenze sono a breve termine comprese tra i 3 ÷ 12 mesi, anche se non sono rare emissioni a 30 e 60 giorni.
• Nell’operazione intervengono l’impresa traente, la banca accettante, uno o più investitori ed eventualmente un altro intermediario per il collocamento sul mercato. Per la banca è un credito di firma e può essere acquistata/venduta sul mercato secondario fino alla scadenza.
• Le accettazioni bancarie sono strumenti di finanziamento altamente garantiti e quindi altamente sicuri per l'investitore, perché l'obbligato principale è rappresentato da una banca. In termini di negoziabilità le accettazioni bancarie possono essere acquistate e vendute sul mercato secondario fino al momento della scadenza.
• La polizza di credito commerciale è un documento (e non un titolo di credito), che contiene una dichiarazione di riconoscimento di un debito da parte di un'impresa nei confronti di un'altra; è uno strumento diretto di indebitamento a breve termine (1 ÷ 3 mesi), emesso dalle imprese. Nell’operazione intervengono l’impresa emittente, uno o più investitori, la banca garante, ed eventualmente un altro intermediario per il collocamento sul mercato. La banca garante rilascia una fideiussione con la quale si impegna per il buon fine del credito a favore del creditore. In una operazione riguardante una polizza di credito commerciale il creditore può trattenere il documento fino alla scadenza oppure negoziarlo sul mercato.
• La commercial paper è un effetto (pagherò), non garantito, emesso da un’impresa. La scadenza è a breve termine (massimo 270 giorni). Sono emesse da imprese di grandi dimensioni e alta solvibilità, che in questo modo raccolgono fondi. Se un investitore desidera disinvestire le sue commercial paper può rivolgersi alla banca collocatrice, dato che non esiste un vero e proprio mercato secondario. Il tasso di interesse riflette il livello di rischio dell’emittente.

I pronti contro termine e i certificati di deposito

Nelle operazioni (PCT), pronti contro termine un soggetto si impegna a vendere una determinata quantità di titoli a un altro soggetto con la promessa di riacquistarli a un prezzo e una data futura (non modificabile) prestabiliti “vendite con patto di riacquisto.

Oggetto della compravendita sono soprattutto titoli di Stato in euro, ma possono essere concluse operazioni aventi per oggetto anche obbligazioni, azioni, titoli in valuta e divise estere.

Le operazioni pronti contro termine sono dal punto di vista economico prestiti equivalenti ai depositi interbancari assistiti da garanzia. Per l'investitore il rendimento di una operazione pronti contro termine deriva dalla differenza tra il prezzo di vendita a termine e il prezzo di acquisto a pronti.

• Assistiamo ad una doppia transazione di titoli;
• Quando il trasferimento dei titoli sottostanti viene effettuato con la modalità consegna contro pagamento (delivery versus payment), i titoli vengono trasferiti dal venditore al compratore a pronti contestualmente al pagamento;
• Le operazioni con durata < 1 settimana hanno importi medi elevati;
• La garanzia (collateral) è rappresentata dai titoli sottostanti.

I CD, Certificati di Deposito sono titoli nominativi o al portatore, personalizzati di taglio non predefinito, emessi da una banca (sono una forma di raccolta di risorse finanziarie, a medio-lungo termine, non > ai 5 anni), che documentano un deposito, il tasso di interesse e la data di scadenza.

Dal punto di vista dei flussi finanziari i certificati di deposito prevedono per il risparmiatore l'incasso degli eventuali interessi periodici e il rimborso alla scadenza. A differenza di un deposito a vista, i certificati di deposito sono strumenti finanziari preposti a soddisfare esigenze di finanziamento di medio e lungo periodo delle banche. Vengono emessi con la modalità “a rubinetto” (per un valore nominale corrispondente alle sottoscrizioni fatte dalla clientela).

Riporto di borsa

Il riporto di borsa è un contratto mediante il quale un soggetto vende a una controparte una certa quantità di titoli, tipicamente scambiati in borsa, impegnandosi a ricomperarli a una certa scadenza a un determinato prezzo; è svolto da banche e intermediari mobiliari nei confronti di operatori privati di borsa; i contratti sono altamente standardizzati e hanno durata massima 30 giorni.

Nel riporto di borsa il riportatore può ottenere la disponibilità temporanea di titoli ed ha facoltà di estinguere anticipatamente l'operazione; il riportato è colui che cede titoli a pronti e si impegna ad acquistarli a termine dal riportatore.

Il trader di una banca che, per allungare la durata di una posizione ribassista su titoli, decide di effettuare una operazione che gli permetta di ottenere la disponibilità temporanea dei titoli, effettua l’operazione di riporto nella posizione di riportatore.

Nei contratti di riporto di borsa il trasferimento dei titoli non comporta il trasferimento dei diritti accessori e degli obblighi inerenti ai titoli stessi; il diritto di voto spetta al riportatore, salvo patto contrario.

I titoli obbligazionari

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Mercato monetario