Appunti matematica finanziaria

Lezione 1: Che cos’è la matematica finanziaria?

La matematica finanziaria studia l’evoluzione nel tempo dei valori monetari, criteri per la valutazione razionale di flussi, la cui disponibilità non coincide con l’istante della valutazione.

Il valore di una somma di denaro dovrebbe incrementarsi al passare del tempo.

Investimento = il flusso monetario in uscita precede quello in entrata.

Finanziamento = il flusso monetario in uscita segue quello in entrata.

Le operazioni finanziarie

Le operazioni finanziarie sono accordi o contratti tra due parti che regolano lo scambio di flussi di denaro riferite a epoche diverse.

Classificazione:

• Semplici —> due scadenze/due flussi con segno diverso.
• Complesse —> più flussi di denaro con almeno un’entrata e almeno un’uscita.

Asse dei tempi e grandezze fondamentali

taO ta Asse dei tempi e cn

Grandezze fondamentali

• C = investimento al tempo t 1.
• M = montante che si trova ad un tempo t con t >/= t2 2 1.

ta tao INVESTIMENTO c M ta taO FINANZIAMENTO MC ts.eetz dell'OPERAZIONE dURATn M C interesse deii'operazione.

• Va = valore attuale in t </= t1 2.

ta tao Va c Va_DesC sconto compenso anticipata cnecienedatachirichiedeaggittemporamicipatoliadisponibiliroidiurasonaltacheavrebbedovutoricevere.

Regimi o leggi finanziarie

• Legge finanziaria di capitalizzazione ——> M(t)= F(C,t) con t= t - t2 1.
• Legge finanziaria di attualizzazione ——> Va(t)= G(C,t) con t= t - t2 1.

capitalizzazione a capitale interesse MONTANTE valore capitale attualizzazione Attuale sconto.

Le leggi di capitalizzazione

Postulati:

FIC VC Ttc.IOVt1 ttre20aierini scadenzamassimatra 20 cone e eFIO ilattret e2 di èO nono nonouncapitalemontanteFIGO VteC3 at FicaFica04 EEtEcascaallora dise durataetassodiparitàa interesseFIC FICEtaCtz5 te taalloraseFIC FA6 tCt èparitàdi ildi alcapitaledurataa direttamentemontante impiegatoproporzionaleimpiego.

Fattore di montante = montante al tempo t di un capitale iniziale unitario di MIAcxp.ltsiC Ithache FAe1se p Fattore MONTANTE.

PROPRIETA o.ttteVFit1 dormita2NOI 13 altitacer pita lala deve fits see e oonorafunzione derivabileanzianeesserenondecrescente.

Interesse e sconto

Interesse ——> I(t) = M(t) - C = C f(t) - C = C (f(t) -1).

Sconto ——> S=D=C - Va.

L’interesse e lo sconto sono in relazione rispettivamente con il capitale iniziale e il montante, un modo da ottenere rispettivamente il tasso di interesse e il tasso di sconto.

M1il di1t I 1pit interessetassodi 1 discontotassocmHemp MIMIM Circat siricavache ditrelazionedaiia 1 aftp.t

Quando t=1 si parla di tasso unitario di interesse e di sconto che può essere riferita all’anno, a una qualsiasi frazione o multiplo dell’anno bi Nsi 1D dis 1.

Periodicità del tasso

Il tasso l’interesse è quindi l’interesse per unità di capitale e consente di capire la rapidità di crescita del capitale.

Considerando K come il numero di periodi di uguale ampiezza nei quali viene suddiviso l’anno.

• K=12 —> tasso mensile i.
• K=2 —> tasso semestrale.
• K=3 —> tassi quadrimestrale.

Esempio 1

vsFit atIt

Qual è il significato finanziario del parametro α ? ——> tasso unitario di interesse difiatatotra sihadi cuidateFletèrontare Flats unitariotassoomontante per x INTERESSE.

Esempio 2

fittateHa

Qual è il tasso unitario di interesse?

Esempio 3

Un investitore acquista un titolo (a cedola nulla) al prezzo di 4566€, lo rivende dopo 7 mesi a 4873€.

Calcolare:

• Tasso di interesse e di sconto relativo al periodo di durata dell’operazione.

9 7mesi 6,7iltkm.j.asjg.gg 0,0672364566 4873 dlti M.

Regimi finanziari di capitalizzazione

Un’operazione finanziaria nella quale si ha il differimento di una somma monetaria immediata si dice capitalizzazione. Dalla capitalizzazione si analizza l’andamento del montante nel corso del tempo; il tempo è la variabile indipendente e vengono dati il capitale iniziale e il tasso unitario dicflhinteresse.

Ogni regime di capitalizzazione è descritto da un fattore di montante f(t).

• Funzioni affini ——> f(t)=1+ ht con h>0 ——> regime di capitalizzazione semplice.
• Funzioni esponenziali ——> f(t)= e^ht con h>0 ——> regime di capitalizzazione composta.
• Funzioni iperboliche ——> f(t)= 1/1-ht con h>0——> regime ad interessi anticipati.

hint fitte1 h OO Fitcon h 0con conNh Nh Nht t t.

Regime di capitalizzazione a interesse semplice

Caratteristiche

• Fattore di montante è una funzione affine del tipo f(t)=1+ht con h>0.
• L’interesse maturato al tempo t è direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo trascorso, il fattore di proporzionalità è il tasso di interesse ——> I(t)=Cit per cui M(t)=C+I(t)=C+Cit=C(1+it).
• I(t)=Cit è una retta passante per l’origine.
• M(t)=C(1+it) è la retta parallela a I(t) Mit fittasiIce.

Esempio 1

Si determini il tasso di interesse semplice per il quale il montante fra un anno di €2000 sia di €2110.

DATI C2000 Mls 1110ii 5,512110.2T 0,055 modo110 primojoe2000 daaiicit IY modo0,055Ile 5 secondoMf.se oj.

Esempio 2

Quanto occorre affinché ....

DATI 1 iCraddoppi tassoal 20ZGCPCHeccsto.ltE 5annite1 0,2 I.

Esempio 3

Determina il tasso di un sputale fra 10 mesi di un capitale di 72000 €.

DATI C 72.00074400 t.IOMAO mesii Fit i74400Mit son72000 0,0474400i 47440072000 7200072000gg60000.

Problemi inversi

Partendo dalla definizione di montante M=C(1+it)

• Noti M,i,t come si trova C? CMatia.
• Noti M,C, i come si trova t? s.itt t.meatitM sm io.

Esempio 1

9 if 0,025te63005000 e tt 1Oanni.Amesit6300 a0,025 1 0,025 dO500011 off 63o.s xofozs 24gg310 ArnesiANNI10,1 0,4 12 4,830 240,8 giorni.

Esempio 2

4302 iegao i 7800 1564,50 1 i1600 71Me8001110,072 158001564,5 0,014 1ti.bz 12600.

Esempio 2

18mesi 6CM.iti i i716C5000 L i150005000 fasti 7stiff GettasiIIf.

Esempio 3

ci 6,8 81090ECit 53000081090E 0,068.2712.

Durata intera e frazionata

• Il tempo va misurato nella stessa unità in cui è espresso il tasso unitario di interesse.
• La durata di un’operazione può essere espressa in mesi, giorni, anni.

C impiegato per m con m <12 ——> I= C i (m/12)◦ C impiegato per g con g < 365 - 360 ——> I= C i (g/365)(anno civile) (anno commerciale)◦

Esempio 2

Tizio ha impiegato una certa somma per 2 anni e 8 mesi al tasso i=6% ; l’interesse maturato supera di 500€ l’interesse prodotto dai 3/5 della stessa somma impiegata per 3 anni e 4 mesi allo stesso tasso di interesse; determina l’importo delle 2 somme ta szi2 srsz.az6iIac.i.ts c 0,0632122t 40123 6122 CIIsaia cioè c 54.90619012 50031500 soo0,0632122 faperni Esigo.ggsgsoorisulta eeqindics.esche s.izsoocj azsoo 7sooe.

Tassi variabili nel tempo

taO ta I ta.tdis.es Io.cicp Mittettattascicistatcialtatateccatistatiritatam.

Esempio 1

Ho un capitale C=3000€, lo investo a un tasso trimestrale pari a 1,5% per il primo trimestre e poi per i successivi 3 trimestri il tasso passa a 1,6%. Quanto vale il montante ?

C3000 in1ns.si ia.s.co.iltrimestreMHT 3ssaE3iso.oas o.org3OOOG.

Regime di capitalizzazione a interesse composto

Caratteristiche

• Fattore di montante è una funzione esponenziale del tipo f(t)= e^ht con h>0.
• Il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati (vengono capitalizzati anche gli interessi) MIO0 e3f 4f Mistasti Misciatinatiteccatilei p ittsdati iImbt.ci ciaiPMlnIClatitIlnl nC iClaMlnl.
• Non è più proporzionale al tempo CMlsO.

Esempio 1

Calcolare il montante ad interesse composto di un capitale C=340€ al tasso i=6,15% per 10 anni 061577340.12006251761756CIAO.

Esempio 2

Ho un capitale C=3000€, lo investo a un tasso trimestrale pari a 1,3% per 6 mesi; calcolare il montante e l’interesse I alla scadenza o.ossfIl2IMKK3ooo.la Do.oa3Y3ooota.

Confronto tra i 2 regimi ——> tempi non interi

• Nell’intervallo tra 0-1 la retta del regime semplice è sempre sopra la curva esponenziale ciò significa che nell’anno è più conveniente la crescita lineare.

Convenzione esponenziale

partese EIIIEonamt.n zrn.Fr.n.inrclstiln ccatiltMItt IIH c.cfs.tlMIH.

Convenzione lineare

SE t.nr.MILiYl1tiF CflstilnlstirsIlH CMltIClsO TCIstitlstihzcls.itdannostiYC.

Esempio

E3oooia s3xMdoposannietnesiet.s intraimestriijdurn.tnMisano1 stadio lineareascosa convenzioneMescolato.cat convenzioneesponenziale33aoaza.

Fattore di montante nel regime composto

M.clstilt.cc lnd IntaneadiMt doveAti i di intendere.isPERcui Forza interesse.

Tassi equivalenti

Definizione

Due tassi si dicono equivalenti quando producono a parità di durata e a parità di capitale impiegato lo stesso montante ossia gli stessi interessi.

Qual è la relazione fra tasso annuo in capitalizzazione semplice e tasso annuo in capitalizzazione composta? stiateis.tlMItkclsi ic.FIstia daaiis.cat 1croaciatassicandoiartrostist soppuresapendo.

Relazione tra tassi equivalenti in regime semplice

Sia i il tasso annuo e i il tasso espresso in 1/k frazione di anno. Una durata di capitalizzazione pari ka t anni corrisponderà a t = kt periodikccstitl clstinktldacniMItl k.inesempiot.isanni ire isconfrontare iisb ia6HCatia.cat slati i3se s.

Relazione tra tassi equivalenti in regime composto

Sia i il tasso annuo e i il tasso espresso in 1/k frazione di anno. Una durata di capitalizzazione pari ka t anni corrisponderà a t = kt periodikt stinti instinsti daCMlt C 1ai sanchee1esempioiz.si i iDato trova sannuo sto.orgo.oooaesEMpiO2Datoia iettatastiateperi Catia ai22se trova.

Tasso annuo nominale convertibile k volte all’anno (J )

kjk K.in tasso intassonominaledeve convertitocheFittizio sempreessere.

Esempio 1

Calcolare quale capitale impiegato per 9 anni al tasso del 7,5% annuo convertibile semestralmente genera un montante di 2500€.

E io7,5 i 0,03 tassoerrenivosemestraleao3asYdaaicclai 2500 s2ssper asBENENOTA latini stracciatii iJn i KinstiriKinlati.nl s cioèse innatiscioè Skin.

Tassi variabili nel tempo in capitalizzazione composta

isflsis iaMItt.clfapat µoperiodotassoapplicatonella cdatatanelperiodotassoapplicato.

Tassi medi

Definizione

Tasso costante equivalente alla sequenza dei tassi variabili, che consente quindi di ottenere lo stesso montante.

Capitalizzazione semplice

DaMita stistatiatta iita Cistite AritmeticaMEDIAtè iate.atottengo.

Capitalizzazione composta

pilafDA cestiste Cistisi Ciacistiaii'FatisffatirterestelatinaMita perniottengostia stia 1 MEDIAGEOMETRICA.

Esercizio

Dopo aver calcolato in regime di capitalizzazione composta il montante di un capitale C=5000€ Alla fine del quinto anno sapendo che i tassi effettivi annui 2,90% - 3,05% - 3,40% -3,30% si determini il tasso effettivo annuo equivalente di tutta l’operazione PlC5000 anni cacao.

Osservazione sui tassi medi in regime composto

iid.catetsenisDAIsaia tataen Èzia estadi aconseguenzatotaleèsiria Estatedacci mediaaritmetica.

Regime di capitalizzazione a interesse anticipato

Caratteristiche

• In questo regime l’interesse è chiamato sconto.
• Fattore di montante è una funzione iperolica del tipo f(t)= 1/(1-dt).

C iniziarecapita0 ef 4f P intMacapitaredisponibileii p detassodisconto1 IMt M.ec des.des.ae iL vddaaiicsI dtM iltt.PIH.se dts.sIjfta a.atde ae siaC DitMIADit CMittdltt.dmu.ttMIA ildlti Mit atde iMINA dime proprioperni fattoreottengotifa1 di dicaOcPer Fit DI verificolacheverificare proprietàsia MONTANTEFATTOREs.aeV te1 fa2 Plots3 FAI o j.to f.aerdei.

LEGAMETRAi stiamo dD 1M 1 ne ÈE sogliac siimi1 LEd 1 111aM ad.

Confronto tra i 3 regimi

RcsR.CARc.c etcPER 0 Mas McaMose PER Mact e Mca1 Mas.

Forza di interesse (intensità istantanea d’interesse)

Il a.fm tt.t atMaIil test Miti t.atP Fitt MIA Fitildi t Fittest LPINTERESSE testINTENSITA at NHat dildi tfigo MEINTERESSE t.tt at conINTENSITA dirrerenziabileISTANTANEA fasedi atdicrescita nell'intervallodi consideratointeresserapidità tempo.

Dal regime finanziario alla forza di interesse

REGIMESEMPLICE dal etempodipendeJLH.FI stiln dalREGIMEcomposto JLH.fiIt temponondipendeFAI d dalREGIMEanticipato JLH.fiIt etempodipendeottaFAI.

Dalla forza di interesse al regime finanziario

JTsdsdsjfSls lnr Itlnf fflnNsftfdsdac.noIsis pitda e.

Scindibilità

Consideriamo la possibilità di interrompere anticipatamente l’operazione di investimento e immediatamente riprenderlo alle stesse condizioni alla stessa durata valutandone gli e finanziari Ma bi rto tC Mi Mapii rlato t.

Esempio (regime composto)

iC E23000 1,2 MRI os2f3O723oools.ioas2t 73060,2A2sMs 3oooiso.os2f Mo M zelato 3072121.3060 322to 2 MKL.milsVsciNdiBilEMl2KME.

Esempio (regime semplice)

MHb SCINDIBILENON1t2B.

Esempio (regime anticipato)

MI SCINDIBILENONMIL 3MINUS.

Definizione

Diciamo che una legge è scindibile se il montante di un capitale C , impiegato fino a un t ad un tasso assegnato i, non varia se l’impiego viene interrotto in t con 0<t<1 e il montante ottenuto in t v