Appunti Matematica attuariale, concetti base

Matematica attuariale statistica italiana

Maschi | Femmina

Ogni 10 anni: censimento.

Funzione di sopravvivenza

_lx Funz. sopravvivenza Leaving Function

_eta/_x: 0 → 100000 (codice della Tavola) | età _alpha

1 → 82481 dopo un anno questi sopravvivono

2 → 76231 dopo due anni... sopravvivono i 2 anni: 76 mila.

ω età estrema tempo passato età: tutti sono deceduti

Funzione decessi

_dx Funzione decessi Death Function

Num. persone morte → numero di morti nell'anno.

_dx = _lx - _lx+1

Probabilità di sopravvivenza

_Px Probab. di sopravvivenza di una testa dell'età _x (persona) Tasso anno di sopravvivenza l'opportuno l'anno successivo.

P = casi favorevoli / casi possibili

_Px = _lx+1 / _lx

Prob. che uno dello scrivano nel momento

^m_Px = ^l_x+m / _lx

Matematica attuariale

Statistica Italiana

Maschi

Femmine

Ogni 20 anni censimento.

Funzione sopravvivenza

l_x funzione sopravvivenza Leaving Function

0 → 100.000 (codice della Tavola) & età x

1 → 82.481 dopo un anno molti sopravviveranno

2 → 76.231 dopo due anni. Sopravvivono i 2 anni: 76 mila.

Omega ↓ età estrema dopo questa età tutti sono deceduti

Funzione decessi

d_x funzione decessi Death Function

Numero di decessi numero di morti nell'anno.

Tasso di mortalità

P_x probab. di sopravvivenza di una testa

Tasso annuo di sopravvivenza

Casi favorevoli

Casi possibili

µ_x = prob. di morire entro un anno.

Tasso annuo di (quoziente di) mortalità

q_x = probab. di morte entro un anno d’età x o al massimo di anno x÷ xo per sviluppi nell’antico

= l_x - l_x+1 l_x =

q_x = tasso istantaneo di mortalità

= - dxlim q_x = l_x - l_x+dt

∆t ➔ prob. di morire in un intervallissimo istante t

l_x - l_x+dt = osservazioni dopo un intervallo infinitesimo

= l’dtd[ f(x) = [((x)] dtd(log [ f(x)] = [‘(x)’ ‘((x)

d_t q_x = -l_x’ / l_x’ dt = d log l_x

µ_x = - l’_x l_x

d_t q_x = µ_x dt

Prob. istantanea di morire è q[ dell’intervallo di tempo essendo uno costante µ_x

Come trovare l_x

Noto µ_x, come trovare l_x?

- ∫₀^x l’_’t l_’t dt = - ∫₀ d log l_u t = [ log l_u t ]₀^x ]= log l_x – log l_o = log l_x

= l_o = e_o

l_x = l₀ e^{-∫_xw μ_sc dt}

Expectation of Life = Vita media

e_x = età "media" competa

Quanti anni restano di vivere "x" in medio a uno itsa di età x?

ω -> ∞

Probab: Valor Medio

l_x = d_x/l_x + 2 d_x+1/l_x + 3 d_x+2/l_x +...+ (ω-x)dω_x/l_x

d_lx+1 = l_x - l_x+1

_x = 1/l_x + l_x+1 + l_x+2 +...+l_x+ω

Età media incompleta

Età media completa

Media aritmetica del numero di anni di vita che restano da vivere.

Tasso annuo di mortalità

_xcm_xc = decessi num medio viventi nell'anno

l_x - l_x+1

m_xc = _dxc/^{(l_x + l_x+1)/2} → media aritmetica

Vita probabile

b_(x) indicatore

Indica il numero di anni di vita che restano da vivere alla testa x con probabilità = 50%.

x=40 π₄₀=33,85

La probab. per un 40.enne di essere in vita tra 33,85 anni è 50%.

Probabilità morte differita

→ La morte accade in un periodo di tempo che non inizia subito ma è differito.

p^m/9_xcm 9 x_c

q_25|9⁴⁰ = q₂₅⁴⁰

ADC di un 40.enne di morire passati 25 anni ed entro l'anno successivo, fasci tra 65 e 66

^p/m9_xc → poi avviene la morte.

Capitale differito

Assicuraz. caso vita

Assicuraz. caso morte

Assicuraz. miste

Uso capitale differito solo regime capitaliz. composito

Ex matem. attuariale

Lire un testo su sarò in moto verso popoli il capitale C = 1

Princ. eurice del calcolo delle prob.

Premio due che vogliono x essere dono m onnie

Valor medio = possibile valore x pesche dei valore

^l_x+m Lc ^vm = ^l_x+m v^2x+m_lx

Passato D_x = _lx v^x

Premio unico puro 1 €

Simbolo di commutazione

Grazie con i numeri di commutazione si chiamano "Tavole demografico-finanziarie"

Spreito unico tra 20 tenba riscossione de fatto el bremio esce verso ti uno una boa do terno osresso valeur in viro.

U = x+Ex 1,0/m

Composto

Cap. diff.

Legge dei grandi numeri demografico politiche di decespugliamento

• ¹/_E

Fattore capitale demografico finanziario

Effetto spostamento probabilità morte

^m _Ex è scindibile

E^m+m' / x = E^m / x + E^m' / x+m

A parità di tasso: nomande def. fin. nomande fin.

1 / ¹/_&Ex > Π^m = 1 / ¹/_(1+t)^m

Rendite (o annualità) vitalizie immediate

Valore Attuale D_x⊂E_x + E / 2x… + ωE =

Capitol. diff.

Scomposizione per un anno Valore attuale 1ª rata

© [tutti i diritti riservati]

D_xc + D_xc+1 … + D_xc+ω-x / D

N_xc = D_xc + D_xc+1 … + D_ω

Rata di 1 CT importo costante che Xc è in vita.

[Pensione]

X_c = N_c+1 / D_x

Rendita posticipata immediata vitalizia

ĭ_x = 1 + ^N_x+1/_Dx = ^{D_x + N_x+1}/_Dx = ^N_x/_Dx

Rendita anticipata immediata vitalizia

^N_x/_Dx

Simboli di commutazione

-3 caso vita

-3 caso morte

Rendite vitalizie differite

R approccio xK imp.

E _k=D_Etk== ^D_Etk/_Dx => ^N_x+k+1/_Dx+k = ^N_x+k+1/_Dx

E periodic.^N_Ex+k/_ax+k

Esempio: rendione divota R = 20’000 €, x = 40, a_20/40 = 20’000

K_l^ĭ_x = ^N_x+k/_Dx== ^439’750,41/_44’342,50 = 225’404,7

Rendita vit. temporanea

Viene pagato rendito immediato ma al max e potlo che lo testo se in vito.

^x a_x^: = a_x^:m - ₁E_x^:m = ^N_x/_Dx - ^D_x+m/_Dx = ^N_x+m/_Dx+m = ^{N_x - N_x+m}/_Dx

^ma_x = ^N_x+1/_Dx - ^N_x+m+1/_Dx

Rend. vit. temp. diff. di k

^k/ma_x = ^{N_x+k+1 - N_x+k+m+1}/_Dx

Rendita vit. frazionata m

^ma_x = a_x + ^m-1/_2M