Appunti Lezione Matematica

Insiemi/AE'

definitioggettidi distintiazione benuna e| definirefannosinonimo di ilinsieme concettosinonimi tinoni→7 " "È Pseudo definizioneuna - descriveremodi3esistono

• 1XELEMENTO insieme= { } { }1- elencazione meta arancia 1911,12per pera, , ,{ XEIN }
• 2 ! 10× Execaratteristica= per is,Tale che
• 3 diagrammi Eulero Venndi= - AfiqnirfIl* dell' lettera maiuscolainsieme è grecanome una :degli Letteraelementi bdell' minuscolainsieme a↳ → ca : , ., . .(¢ A)appartenenza A10€ A2 ad→ 2 non- appartiene

{{ } }* 12 ha10,11 1910 11,12 non 10senso ripeteree il, ,↳ ← l' ordineancheSono stessolo cambiaseinsieme →# AINSIEME elementidivuoto insieme privo= =: { }A* da elementoSINGO costituito Soloinsieme 1 aletto -= :BA-- prendiamo a insiemi e ?( )BEAAB Bdisottoinsiemeè anchedielementose èogniA-elemento di B XEA XEB¥g A× ← io il 12B "'' 3BA iscoincidere Apuò → ⇐con BA stesso c- sottoinsieme Aè diun (c)prendere- anche vuotoposso sottoinsieme :undefinizionela lo CE ¢non vietaesortandomiuninsiereecontoyenesemremealreesoo* AvoglioSe laescludere µdipossibilità prendere e comeallorasottoinsiemi di ugualesimbolotolgo il :, (Bc A -sottoinsieme Proprio(AB )E Impropriosottoinsieme-A- BEAB AEBugualisono see eAf formato AdaPARTIDELLEINSIEME tutti sottoinsiemii diinsieme= }} flat{ fa ftp./4ifsf.fh4ifn4ifzi3}A- 12,3 → •{ (A) ' elementi2 8== }fa } ( { }B)f(B. {b } 274B 01 b elementi= → a= →,, , ,"fa Se-82 ha elementiGENERALEIN insieme- un m= l'allora delle partiinsieme){ ( "§p elementielemento ha 21= →

Operazioni

Operazioni : AUBBA( }XIXEAÙTEBAUB* '× ×UNIONE × '×== { 'xlxeaixeb}* MBA Bintersezione == !Anb"{ B}* xlxB- xeb¢ AA 1DIFFERENZA == - B- Aa BA BÈ (A)CBSe A B* B- BA-A inCOMPLEMENTARE di→ a=⇐ ←B-aSe BA Falsoè⇐ n on, -7(A)CBfareposso {A- 13% {}} }AUB• = 91,213,41,2 3,40 >,, , A Abele }{ }B-A 3,4= }{A- D= 0,1 " "NO COMPLEMENTAREOPERAZIONE di{ }} { ( }A- Be• AUB 1,213,41,2 3,4 =, { }Ana 0{A- }B 112= { }B- A 3,4=(B)la NO=*

Prodotto cartesiano BA. insiemiCARTESIANO 2sianononvuotittxbe=x=eaÈ -= sono ordinatecoppieA- BxaxD *{ } {A- }B-1,2 3,4= , }( ) ) ))( ( )AXB (( 2,41,3 2,31,4= sono diversi, ,, }{ )) )(BX ) (A (( 4,13,1 4,23,2 e= ,,, !^ xanefxtx-la.azÈ Ai }IRXIR XAZXA )= } .. . .. . .)2)G. Has }EAlui di ,. QZEAZIsis )• caseari> generi .amean§ }

Insiemi numerici

}IN INSIEME 2,3NATURALIDEI NUMERI 1→= , ., ., .[• Si Peanodefinire ditramite assiomiglipuò@ Si fala lala moltiplicazione divisionesottrazionepuò somma nonma ee .{ }£ 7-1i. 77INSIEME= DEI INTERI 1NUMERI → 0, ,,↳ Si divideresottrarrepossono ma non }{① / EZbe bDEI XRAZIONALIINSIEME -7 tNUMERI= 0,0ex ,] # ocon aEXtb ו =o .= ainfinite cifre dopo virgolalaperiodicoNUMERO =[ it numeri1,4142= razionalinone - sono. .. E/ diversiinfinitiperchè dopo tuttila virgola numeri maci sono• IISono IRRAZIONALInumeri = ✓ l' e Lite•• =IR = INSIEME RealiDEI NUMERITh )(la ' ¢④dell' Qappartiene la: -2soluzione nonequazione × aT2 +2=2IPOTESI dila soluzioneè=Fa ¢TESI =DIMOSTRAZIONE contraddizioneassurdosi laprocede si tesi-7 arrivarenega: per per unaa/ dell' ipotesi .• )§TE (le ④ semplificartib entrambi€ api70 interipariponendo numeri→ per- enonnon-,/ INb. Ea ,AÈ =2bÈ2 >= PARIqualsiasi= è2 sempre×numeroun→Quindi ④a2 aha INKEPARIè è 2.PARI qualunqueaanumero - →a numeroun →- -2ka = 2K2al ? ( ) 741k¥52→zb 2k PARIèb= o-Quindi VIcontroparibche èentrambi trailsia ciò che abbiamo assunto rapporto:sono 2a ,/numeri PARIentrambiNON TgPerciò T2 lo pariscrivere numeri2di entrambirapportoposso comenonAL ASia vuotoinsieme Nonun [ VEb perciòentrambiscriverlo pari èrazionale nonun posso con a nonnumero come ,razionaleun numero

Relazione d'ordine

Relazione d'ordine :relazione cheE A èè minareti guatasu :una -VaRIFLESSIVA elementoEA stesso→ ognihasi scasa e sea= ,VaANTI A bea =DSIMMETRICA alloraEbb E se a e= a,, d'ordinerelazionenon è↳ una)( 3€elementi LEinvertire 3 →NOgli 2 falsanon → perchesi 'possono e• elementi UGUALIscambiarese questiglisi sonopossono :TRANSITIVA Va beCEA allorabb se cas ECe a= , ,

Funzioni

FunzioniA B vuotiinsiemi2 NONeUna ffunzione ( )A- B diapplicazione Aad elementoognilegge associaè che: una uno uneBelemento disolo f. A- B• beffa)→•Esempio { }Befa}A- b.12,3 e: ,, ffz )beffa))flsf- a e =>A B→1- a2 fè dia IMMAGINE 1 tramite!¥ fè1 di tramitecontro immagine aC A BBA AfdiDominio= 1- a\B f 1 9-dicondominio= / ab2b2Imlf () c)- ca.- 3e3- funzioneNONsi è una# fINSIEME DELLE DI :IMMAGINI }:{(f) )beblfa.CA beffaIn cuiper& FUNZIONE IDENTITÀida A A-: (a)f-1-a a --(a)ida -=

Tipi di funzione

Tipi di funzione* FUNZIONE INIEITIVAf A BB alhadielementodice contro: ogni 1 imnraginesi→ INIEITNA se massimoDefinizione f f- fD=B (Afunzioni iniettivoèinsiemiutile setra numerici ×: →:per ))flx fly#X # EAyeay × yx. ,µIN 11INf INEsempio →:: 42ffn)n'mm = 93 16!f- ? :iniettivoè " ,Verifichiamo ttn metti :se ,)fln )flmsi ha nam= ( ()m' )m' mama eom Mtmo n= = -_( Mm non0- = DA) → ESCLUDEREM=an , m= -fQUINDI è INIEITIVAf IN INESEMPIO 2 →: : n' fin )me a-V-n.me/Nfln/=flm)=rn=m msn.im/=on'm' )n' (m' (m'= - n m += -L' cheèpossibilitàunica man>mn =-# FUNZIONI SU RIEITNEf- A B ogni elemento almenodeldice controsuriettiva immaginecooiosniniosi ammette: se una→ } }:{ {A B. bESEMPIO 1-3,41,2 a.: e a,, , 2- bImlf ) 3-B-- ca-fEsempio IN IN ?èsurietiva2 o no: →: 2NonM • InteseIN INo1 12 493 164 ::* FUNZIONI BIGEITIVE :funzioni cheiniettivosia suriettive ff ZZ è SURIEITWAESEMPIO 'perche-: : - ZZ)flmmonte Èn ,=f- ) ) Imlf-7hmfln ) Zè perchèinattiva =-11 withm =m m=*

Funzioni composte

FUNZIONI COMPOSTE :f. A :BB acg→ -,A B cf g→ →X-aflxt-goz.gl/=glflxi)a )f) (×le IRIRµf://2-s.IRESEMPIO g://2-a.IR: £ 9 papaxti×'xrioxts-f.li) )glx- Xx =')( glflxltgfxti (D=( )) ¥7gof xti--f A D:(B gofcostruireg vogliamo: → →, DCB gA f 33 →→ due× , 112IR eR-ahg.IR IRf. →ESEMPIO g-' →: t× ↳ XXtiÌ× ↳× xts→ -0→ gof gld NEmenoRisi }R Rf :B • g : -G)f• xt-z.ie=3x » X I-)(f)gof DomfgIn • NOese (g)Fog (f)setm Dom sia.E↳ #fogjlxl-ffgcxf.tl# ==3 .✓ 3- per÷ Dataf sefgA :BB ra t-: c- ., .ftp.y× -←?Ig gof ida fogeidbe-.fallora INVERTIBILEdicesiA Bf'f- Bg " A-7g →= X →ay.fi, y %)f faidagof ' "• = ,ftp.fogif if-•←già ←fDire fèche fche INVERTIBILEdireBIGEITNA èvuoif :B B- ) 'FG ofèx2 e ??invertibile× - bigattiera> ↳ no iniettivoè duraturaperchè enonIRI Rfrenderla -iniettivoper : : xa 7-× 'a matrone suziettivanPer R IRIfrenderla -società :: +2-× a.f- PutÈ t è BIGEITNA *: → invertibileè_ Txf-x2 G)- '× - × - =R

Sottoinsiemi di Pi e intervalli

Sottoinsiemi di Pi1 i① ③Intervalli[ ]• 1,5 a intervallo- chiuso }{↳ forma faXEIRDI[ Eda. e= ×Lo gliancheprendo estremi( 5)• →I apertointervallo- , ↳ { }lafa b)forma XEIR xcb<: =,[ 5) destra• I chiuso sinistraintervallo aperto- a→ ae, {↳ }XEIRI[ b) aexcb=a.5)( →• 1 intervallo chiusosx DXeaperto a, a {↳ }( x.ci/acxEbb) =a.Tt tutti intervalli limitatiSono• INTERVALLI ILLIMITATI :( }{ ERI]• 7 illimitatointervallo chiusa= sx Dxsa ea+ + aaao- ,fa fxeilxca}a)• =, a) (fa ) }• XEIRe- x>+ a, {)fa }ERI• ×ta a=,INTORNO Rdi xo :E intervalloqualunqueè contenenteaperto Xoun fi 5) di=3 intornoXo 3a ' unes e,.Se dell' l'intornoilè CIRCOLAREdettocentro intorno è× , ,

Funzioni elementari

Funzioni elementariDefinizione funzionegrafico didi :f. AEIR IR→ Mf ( ( ) -4124 }) )flxyx. , >=PIANO CARTESIANO : da(IR DIxD ( } Yeyenxena ORDINATEx.= ,! ↳ prodotto cartesianocommutativae-n P2. 1° quadrantequadrante y +_,fx () )ity tx # y, ,900P ( I) dicoordinate× y = puntoun i b, X AscisseX =403. quadrantequadrante( ( )) ytxx y -- ,, ap•Y .•)Q(P( ) 9,33,3 • ordinatastessaPOT 70Xq Xp' positivasempre- 7→ ×Stessa lahanno ascissastessacosa sePOT Yq 30= yp -SEGMENTI OBLIQUI : , ) )( ) (a D=• Ypy F-axp xq yp{ yaa. ,,:/ Ha () )PT at.tt #> xp Ya yp----- _-- - 1 ?| - }( )PQÌ fyq)pt ' QHZ Xq Xpt yp| =, - -da× teorema PITAGORAdi -? '( )(Pa ) yp= xp + yqxq --Distanza tra due puntiPUNTO MEDIO . . day(P )YpXp , M) PQE ( ¥Hq Yp N, yp ;- - -- -a I l ll ' l' l l| 1 3i×È " Xp ×Xn XqMitra 'a --== 22[ )XPa -M yp= ,2YA aYq - - .- -- - | PDTM a/ pt TI=P Haµ Iym -- q--- ×a2 =/ ×9÷I4 p xqtx× + ×= =Yp ,Tt teno -- -- a→ -/ 2/ 2I1 m.fmI I .II Iy µ a. "à*YqXXM XqXp Xp Ya- #Ym ,> → yp =a- =2 -2- \i T) )POTF- '( )( ()( XaA- Xp Ya= ypyp -1xa.iq -xp -, )II"¥( "a- ,

Retta nel piano cartesiano

Retta nel piano cartesiano : Xtbytceote : • EQ IMPLICITA REITADELLAa .µ (§ ) bYpXp nullicontemporaneamentea none, la funzione è invertibileunivoca e esplicitaeaRicavo .IX §byla 'by REITAy Ax Ca della== --- -Ricavo Lay f-la byse× ax +> e == a -- --קIX f- §Ye D= snxtq me e qcon - =- - -,coeff angolare lam indicasi allavaria rispetto= ycome ×. all'ordinata origineq = ay sonn Yq YpDI - Rm = = eDXM o += ypg.}0ma Trovare pel' Qdella retta passante perca . .)y a (ap (F- ) ①Yp Yaxp xq= ,• . ,1° caso = { Om => ERD=× q q,* a→P•M°2 caso = RkeKY → ×tq =mix= ,. Q :yn &