Appunti Laboratorio di Progettazione Strutturale - parte 3/3

La progettazione strutturale

Classificazione delle strutture

Esse si possono dividere in due categorie principali: strutture rigide, che non subiscono apprezzabili cambiamenti di forma, e strutture deformabili cioè flessibili. Possiamo pensare di suddividere ulteriormente queste categorie nelle strutture formate da elementi lineari ed elementi di superficie.

Vediamo prima le strutture rigide, dove gli elementi lineari possono essere rettilinei o curvi. Gli elementi rettilinei sono tipicamente travi e pilastri: possono essere utilizzati in un sistema trilitico o in un sistema a telaio continuo con incastro o in una struttura reticolare. Gli elementi curvi invece sono gli archi. Passando agli elementi di superficie possiamo fare una distinzione tra elementi piani (lastra o piastra) e elementi curvi. Pensando agli elementi piani possiamo avere due situazioni diverse: possono essere lastre, quindi elementi soggetti a forze contenute nel loro stesso piano, oppure possono essere piastre, quindi soggetti a forze ortogonali al loro piano.

Pensando agli elementi curvi possiamo avere due situazioni, cioè elementi a semplice curvatura (volta cilindrica) oppure elementi a doppia curvatura (cupole e paraboloide iperbolico). Tutti questi elementi possono essere assemblati in diversi modi, ci possono essere delle unità strutturali primarie, e a loro volta queste possono essere aggregate ad esempio in linea o su un’area o su un volume o in sequenza ecc.

Vediamo ora le strutture flessibili che hanno una configurazione che dipende dalle condizioni di carico. La più tipica è il cavo: se prendiamo un cavo e lo sospendiamo su due punti e lo carichiamo con una forza concentrata, quel carico indurrà nel cavo una cuspide proprio al di sotto della forza concentrata; se spostiamo la forza si sposterà anche la cuspide e si avrà una nuova configurazione; se applichiamo due carichi concentrati avremo due cuspidi ecc. Quindi questi cambiano la loro configurazione in funzione della condizione di carico. Anche qui possiamo avere degli elementi lineari o di superficie. A loro volta quelli lineari possono essere rettilinei o curvi, e gli elementi di superficie possono essere piani (membrana tesa) o curvi con semplice o doppia curvatura. Anche queste possono formare delle unità strutturali primarie e l’assemblaggio di queste può dar luogo a diverse configurazioni.

Tipiche strutture rigide

La prima che vediamo è un classico sistema con travi e colonne (trasverso su piedritti); questo sistema del Dolmen è il sistema più semplice esistente, che è stato impiegato in quasi tutti i ponti degli anni ’60 e ’70; è stato replicato poi in tantissime opere ancora oggi esistenti. Un altro modo per assemblare gli stessi elementi del precedente è il telaio, dove i due piedritti vengono resi solidali con il trasverso, perciò nei nodi non c’è più il vincolo di semplice appoggio, ma un incastro.

C’è poi una variante dove il trasverso è realizzato con una struttura reticolare, e ci possono essere due varianti: uno dove la struttura reticolare è semplicemente appoggiata ai piedritti (tipico ponte ferroviario in acciaio) e uno dove la struttura reticolare è collegata rigidamente ai piedritti (telaio a traliccio).

Passando agli elementi curvi, abbiamo degli archi. Nelle strutture in muratura abbiamo tipicamente degli archi a blocchi. Nelle altre situazioni, però tipicamente nelle strutture in c.a. e in acciaio, si realizzano degli archi a tre cerniere: una cerniera sulla sommità, nella chiave dell’arco, e due cerniere alla base, cioè alle imposte dell’arco. La struttura dell’arco a tre cerniere è una struttura isostatica che riesce ad accomodare cedimenti di fondazione o variazioni termiche senza sollecitazioni. Altre situazioni sono l’arco incastrato, che è una struttura tre volte iperstatica, che concettualmente è analoga a una trave doppiamente incastrata quindi ha tre gradi di iperstaticità. Una variante è costituita dall’arco a due cerniere, dove scompare la cerniera in chiave, che è una struttura iperstatica. Si può avere poi un arco con catena e un arco con contrafforti: il concetto alla base di questi due è che l’arco è una struttura spingente, cioè esercita sui piedritti una spinta/forza orizzontale; si pone quindi il problema di assorbire questa spinta e uno dei modi tradizionali è quello di inserire una catena, cioè un tirante. Questa soluzione della catena è stata introdotta nell’architettura islamica (moschee del VII-VIII secolo); mentre nell’architettura classica, quindi romana e greca, non esistono catene ma ci sono altri sistemi, come degli elementi metallici, ma sono essenzialmente utilizzati nella forma di perni o grappe che impediscono gli spostamenti relativi e i distacchi tra i diversi blocchi. In alternativa alla catena si possono usare dei contrafforti, cioè degli elementi larghi che devono assorbire la spinta orizzontale e tipicamente sono elementi che troviamo anche nell’architettura romana.

Passando alle strutture formate da elementi di superficie ci sono diversi casi: possiamo avere muri portanti che si comportano come lastre o lastra/piastra (comportamento misto), in base alla direzione delle forze; può esserci l’elemento piastra che funziona a flessione e taglio; può esserci il guscio prismatico (errore nella slide), il guscio cilindrico che ha un comportamento associato alla volta a botte.

Vediamo infine le superfici a doppia curvatura, dove possiamo avere: una cupola a blocchi (tipica delle strutture in muratura); dei gusci rigidi (in c.a. o acciaio); una cupola geodesica o geodetica cioè formata con elementi lineari che formano complessivamente una struttura reticolare; una cupola nervata (tipicamente le nervature sono disposte nelle direzioni dei meridiani e dei paralleli); un paraboloide iperbolico cioè una superficie a doppia curvatura in cui, in ogni punto, abbiamo in una direzione la concavità e nella direzione ortogonale una convessità.

Tipiche strutture deformabili

Possiamo avere una semplice fune che cambia la sua configurazione in funzione della posizione del carico concentrato; una fune, al contrario dell’arco, induce un tiro nei vincoli, cioè delle forze orizzontali dirette verso l’interno, infatti la fune viene detta il duale dell’arco, una sorta di arco ribaltato. Se invece la fune è soggetta a un carico uniformemente distribuito, la forma non è a cuspide ma la fune si disporrà secondo una parabola del secondo ordine. Se la fune è poi soggetta solo al peso proprio, la forma diventa quella di una catenaria (funzione coseno iperbolico). Possono esserci poi delle situazioni più complesse come una doppia fune, in cui ci sono dei puntoni verticali soggetti a compressione. Può esserci una struttura sorretta da punti (ponte strallato con elementi obliqui, detti stralli, soggetti a trazione che sorreggono l’impalcato e riportano lo sforzo di trazione su un elemento verticale, detto antenna). Possiamo avere situazioni più complesse come delle funi sospese o delle tende o una rete tesa (tenso-struttura); esiste anche la membrana pneumatica, tipicamente usata nelle coperture di piscine o palestre, che si sostenta grazie alla pressione interna, resa superiore di quella atmosferica attraverso delle pompe (sovrapressione).

Esempi di strutture rigide

Vediamo le varie tipologie esistenti di strutture ad arco. Possiamo avere un arco a blocchi, come il primo, e questa è la forma tipicamente più utilizzata nei ponti stradali o ferroviari, dove al di sopra dell’arco ci sono dei muri laterali e c’è un riempimento che serve a realizzare una via di corsa orizzontale. Accanto a destra si vede un arco in c.a., come ponte ad arco, con elementi verticali che sorreggono l’impalcato (struttura più leggera rispetto a un ponte in muratura); questi ponti erano costruiti fino agli anni ’50 e ’60, quando poi vennero soppiantati dai ponti a travata semplicemente appoggiata molto più facili da costruire poiché erano prefabbricati. Sotto a destra c’è una variante del ponte ad arco, dove l’arco non è più una linea curva ma formato da una linea spezzata (cuspidi prodotte dai carichi concentrati applicati all’arco dagli elementi verticali; l’arco è come una fune invertita). A sinistra abbiamo un arco reticolare, cioè un ibrido formato da un arco e una struttura reticolare; questo arco sostiene l’impalcato attraverso questi elementi tesi verticali detti pendini.

Uno dei più famosi ponti ad arco è il ‘Viadotto Salginatobel’ in Svizzera di Maillart. Questo è un arco a tre cerniere: si vede dal fatto che in chiave c’è uno spessore estremamente sottile e anche alle imposte diventa sottile. Gli elementi verticali servono a sorreggere l’impalcato; inoltre l’arco aumenta di spessore nella zona centrale compresa tra le due cerniere (ogni semi-arco aumenta di spessore). Questo ha un doppio effetto: il primo è quello di collegare direttamente l’arco all’impalcato; il secondo è che l’arco potrebbe essere soggetto a flessione a causa dei carichi accidentali (non segue più la curva delle pressioni sotto il peso proprio), dove la flessione è più elevata nella parte centrale di ogni semiarco tra una cerniera e l’altra, perciò il ringrosso dell’arco proprio nella zona tra due cerniere permette di assorbire queste variazioni della curva delle pressioni dovute ai carichi accidentali.

Un altro esempio è il ‘Sydney Harbour Bridge’, che è un ponte ad arco reticolare. Anche qui vediamo che la struttura reticolare, che complessivamente ha la forma di un arco, è formata in realtà da un corrente superiore e un corrente inferiore; questi due correnti sono collegati da elementi verticali e obliqui che devono assorbire le sollecitazioni di taglio e lo scopo è sempre quello di assorbire le variazioni della curva delle pressioni dovute all’applicazione dei carichi accidentali.

Vediamo ora un esempio di struttura reticolare a doppia curvatura, cioè la cupola geodetica. Questa cupola è stata inventata da Buckminster Fuller, di cui vediamo l’esempio più grande mai realizzato cioè la ‘Biosfera di Monteral’, che in precedenza era il padiglione americano all’Expo del 1967. Una cupola geodetica si basa sul principio geometrico dell’icosaedro. L’icosaedro è uno dei cinque corpi platonici (tetraedro, esaedro, ottaedro, dodecaedro e icosaedro) ed è un solido regolare formato da 20 facce; nella parte superiore immaginiamo di vedere un pentagono su cui è costruita una piramide fatta di triangoli equilateri e nella parte inferiore accade lo stesso in maniera capovolta; però i due pentagoni superiore e inferiore sono ruotati l’uno rispetto all’altro (dove sopra si ha un vertice, sotto si ha un lato e viceversa); i due pentagoni perciò sono collegati da triangoli equilateri; l’insieme di tutti questi triangoli equilateri è l’icosaedro. Per passare dall’icosaedro alla cupola geodetica, si proietta su una sfera circoscritta all’icosaedro tutti i lati/spigoli dei triangoli equilateri. Quindi per ogni triangolo dell’icosaedro ci ritroviamo sulla sfera con un triangolo sferico; ogni triangolo sferico poi viene suddiviso in tanti triangoli formati dalle geodetiche della sfera (circonferenze di diametro massimo) e così si crea la superficie della cupola. La caratteristica della cupola geodetica, dal punto di vista strutturale, è che essa diventa sempre più efficiente al crescere delle dimensioni, cioè le sollecitazioni crescono meno che proporzionalmente alle dimensioni della cupola; questo è un “unicum” in campo strutturale, perché tutte le altre strutture note invece hanno delle sollecitazioni che crescono più che proporzionalmente con le dimensioni.

Un altro esempio è il ‘Ponte sul Basento’ progettato e realizzato da Musmeci. Anche qui è interessante capire da dove viene questa strana forma: questa è stata ideata attraverso una membrana tesa; viene sfruttato in qualche modo il concetto per cui una fune è un arco ribaltato; qui però ragioniamo sulle membrane cioè su degli elementi superficiali. Musmeci sperimentalmente aveva preso una membrana, una struttura flessibile, in laboratorio e l’aveva soggetta a degli sforzi di trazione, verso l’alto nella parte superiore e verso il basso nella parte inferiore; questa membrana aveva assunto una forma che è quella del ponte, che poi è stata replicata ma con le forze invertite rispetto a quelle della membrana in laboratorio (verso l’alto nella parte inferiore e verso il basso nella parte superiore); perciò quella del ponte è una membrana invertita. Come la membrana in laboratorio era soggetta a tutte forze di trazione, questa in c.a. realizzata è soggetta a tutte forze di compressione in ogni punto.

Esempi di strutture deformabili

Qui vediamo tipologie di strutture realizzate con funi. In alto a sinistra vediamo il tipico ponte di funi, che realizza una passerella sospesa tendendo una fune; questo è il concetto di base con cui sono stati realizzati i ponti sospesi. Vediamo infatti a destra un ponte sospeso con due antenne, il cavo teso sulle antenne e i pendini che sorreggono l’impalcato; il cavo esercita un tiro sulla sommità dell’antenna, che viene bilanciato dai cavi obliqui opportunamente ancorati, cioè la fondazione deve essere sufficientemente pesante per assorbire la forza di trazione dei cavi obliqui. Nell’ultima immagine vediamo un ponte sospeso molto comune, che al posto dei cavi inclinati ha dei cavi curvi che sostengono le campate laterali tramite dei tendini; quindi è un ponte con tre campate. Invece al centro vediamo una variante, ovvero il ponte bowstring, molto comune dove al posto del cavo c’è un arco compresso; c’è sempre il sistema dei pendini che sorreggono l’impalcato, che viene utilizzato per assorbire la spinta dell’arco; è quindi una struttura chiusa in se stessa.

Vediamo ora il ‘Ponte di Oresund’ che collega Copenhagen con Malmo. Questo è un esempio di ponte strallato, con uno schema ad arpa; si vedono gli stralli che non convergono verso un unico punto, ma in diversi punti delle antenne e questo caratterizza proprio lo schema ad arpa. Infine tra le strutture deformabili vediamo ‘l’Olympiastadion di Monaco’. E’ stata realizzata per le olimpiadi del 1972 ed è una tensostruttura realizzata con pannelli in vetro acrilico e cavi in acciaio; è sostenuta da antenne che portano gli sforzi di compressione. Quindi a parte le antenne, i cavi di sostegno e l’intera tensostruttura sono soggette a forze di trazione.

Moduli e griglie strutturali

In generale nelle costruzioni con cui abbiamo a che fare abbiamo degli schemi estremamente più regolari, cioè abbiamo delle griglie strutturali; questo perché gli edifici che costruiamo hanno tipicamente delle forme funzionali regolari, quindi è naturale disporre delle griglie strutturali regolari (es. edificio residenziale in Germania). In generale si preferisce avere delle griglie strutturali regolari anche se gli spazi interni invece non sono regolari (es. Harvard University). Il vantaggio di avere una griglia strutturale regolare è quello di avere una regolarità nella distribuzione delle sollecitazioni e quindi un comportamento strutturale più controllabile.

Sistemi a una via e sistemi a due vie

Dobbiamo introdurre un concetto molto importante nelle strutture. Per sistemi a una via intendiamo un sistema in cui il carico ha un solo possibile percorso per arrivare ai vincoli; quindi tipicamente una trave con un carico applicato è un sistema a una via, che si infletterà e porterà attraverso flessione e taglio il carico ai vincoli, ma esiste un solo percorso lungo il quale questo può essere fatto; stessa cosa vale per una piastra. Per sistemi a due vie invece intendiamo quei sistemi dove sono possibili due percorsi per portare il carico ai vincoli; può accedere nel caso di un grigliato elementare (croce) soggetto a un carico ortogonale al suo piano, dove il carico può essere portato ai vincoli secondo i due bracci della croce (due direzioni) e quindi suddividersi nelle due vie; stessa cosa accade per una piastra appoggiata sul contorno.

Gerarchie strutturali: sistemi a una via

Il più semplice sistema è quello a un livello, con muri portanti su cui viene disposto un impalcato (travi in legno o travi di un solaio in c.a.). Un sistema a due livelli, un po’ più complesso, ha dei muri portanti e l’impalcato è formato da travi che poggiano sui muri portanti e al di sopra delle travi è disposto un tavolato ortogonale (tipica configurazione dei solai in legno degli edifici in muratura); il tavolato è l’elemento portato mentre le travi sono elementi portanti (due livelli). Se sostituiamo i muri portanti con delle colonne abbiamo un sistema a due livelli, tipico però degli edifici in c.a.: sui pilastri poggiano le travi e sulle travi poggiano i travetti ortogonali del solaio; nel livello più basso l’elemento portante sono le colonne e quello portato sono le travi, mentre nel livello superiore l’elemento portato, cioè le travi, diventano l’elemento portante e i travetti sono l’elemento portato. Perciò nei sistemi a due livelli, l’elemento intermedio (travi) cambia in base al livello. Infine esiste il sistema a tre livelli, che è tipicamente la struttura di un edificio in acciaio: ci sono le colonne, che sorreggono le travi principali, tra le travi principali sono tessute le tr