Appunti Geometria 1

Appunti teoria geometria 1

Alberto Siviero

A.A. 2015/16

Parte I

Modulo A1: numeri complessi

1. Assiomi del campo C

Definizione. In C = {(a, b) | a, b ∈ R} sono definite due operazioni:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) somma; 0 = (0, 0) e 1 = (1, 0).

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad) prodotto.

Sono inoltre definiti gli elementi inversi sia per la somma che per il prodotto:

−(a, b) = (−a, −b), (a, b)⁻¹ = ^a⁄_{a² + b²}, ^−b⁄_{a² + b²}.

Inoltre vale la proprietà transitiva, associativa, dissociativa e commutativa.

Unità immaginaria i = (1, 0).

Sia z = a + ib ∈ C, possiamo definire il coniugio e il modulo: z̄ = a − ib e |z| = √z z̄.

2. Proprietà del modulo

Definizione. Sia z = a + ib ∈ C. Il modulo gode delle seguenti proprietà:

• |zw|² = |z|² · |w|² ⇒ |zw| = |z| · |w|.
• Disuguaglianza triangolare: |z + w|² ≤ (|z| + |w|)² ⇒ |z + w| ≤ |z| + |w|.

3. Forma algebrica, esponenziale e trigonometrica dei numeri complessi

Definizione. Sia z ∈ C:

• z = a + ib forma algebrica;
• z = |z|(cos(θ) + i sin(θ)) forma trigonometrica;
• z = |z|e^iθ forma esponenziale;

dove θ = arg z.

4. Formule di De Moivre

Proposizione. Sia z ∈ C e n ∈ Q, allora:

zⁿ = 1 ⇔ |z|ⁿ = 1 e nθ = 2kπ ⇔ θ = ^2kπ⁄_n, k = 0, . . . , n − 1.

Tutte le radici di zⁿ sono i vertici di un poligono regolare di n lati.

Dimostrazione. Applicando le formule di Eulero si ottiene:

(e^iθ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ), quindi zⁿ = |z|ⁿe^inθ = |z|ⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)).

5. Radice quadrata di un numero complesso

Proposizione. Sia z = a + ib:

x² − y² = Re z e 2xy = Im z.

Re e Im sono rispettivamente la parte reale e immaginaria di z.

6. Rette e cerchi nel piano di Argand-Gauss

Definizione. Tutte le rette e i cerchi in C sono soluzione dell’equazione:

Az z̄ + B̄z + Bz̄ + C = 0,

con A, C ∈ R e B, z ∈ C. Possiamo dunque descrivere gli assi del piano in termini di z:

x = ^{z + z̄}⁄₂ e y = ^{−iz + iz̄}⁄₂.

7. Riflessioni di Möbius nel cerchio unitario

Definizione. Sia λ : C → C, z ≠ 0 e sia definita da λ(z) = ¹⁄_z̄. Il gruppo che si ottiene da tutte le trasformazioni possibili si chiama gruppo delle trasformazioni di Möbius.

2. Spazi vettoriali e applicazioni lineari

1. Definizione di spazio vettoriale

Definizione. Sia C un campo. Uno spazio vettoriale V su C è un insieme dotato di due operazioni:

+ : V × V → V, (v, w) ↦ v + w;

· : C × V → V, (α, v) ↦ αv;

che lo rendono un gruppo commutativo rispetto all’operazione + e siano soddisfatte le seguenti proprietà:

α(βv) = (αβ)v, (α + β)v = αv + βv, α(v + w) = αv + αw, 1v = v,

qualunque siano v, w ∈ V e α, β ∈ C.

2. Definizione di sottospazio vettoriale

Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul campo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V si dice sottospazio vettoriale di V se vale una delle seguenti condizioni equivalenti:

• u, w ∈ W, α, β ∈ C ⇒ αu + βw ∈ W;
• u, w ∈ W, α ∈ C ⇒ u + w ∈ W e αu ∈ W;
• W è chiuso rispetto alle combinazioni lineari, ossia dati comunque vettori w₁, . . . , w_k ∈ W e scalari α₁, . . . , α_k ∈ C si ha α₁w₁ + · · · + α_kw_k ∈ W.

3. Definizione di somma di sottospazi

Definizione. Siano U, W due sottospazi di V. Si chiama somma di U e W il sottospazio U + W = ⟨U ∪ W⟩.

Se inoltre U ∩ W = ⟨0⟩, diremo che la somma dei due sottospazi è diretta e scriveremo U ⊕ W in luogo di U + W. Se U ⊕ W = V diremo che sono complementari in V.

4. Definizione di vettori linearmente indipendenti

Definizione. Sia V uno spazio vettoriale su C. Una collezione non vuota S di vettori di V si dice formata da vettori linearmente indipendenti se, dati comunque dei vettori v₁, . . . , v_r di S,

a₁v₁ + · · · + a_rv_r = 0 ⇒ a₁ = · · · = a_r = 0.

Una base di V è un insieme di generatori linearmente indipendenti dello spazio V.

5. Struttura degli spazi vettoriali

Proposizione. Siano V uno spazio vettoriale su C e V una sua base. Ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di V.

Dimostrazione. Poiché ⟨V⟩ = V, allora ogni vettore di V si scrive come combinazione di un numero finito di elementi della base V. Inoltre, se il vettore v ∈ V si scrive in due modi come combinazione di elementi di V, allora si ha:

v = a₁v₁ + · · · + a_nv_n = c₁v₁ + · · · + c_nv_n,

ove v₁, . . . , v_n ∈ V e a₁, . . . , a_n, c₁, . . . , c_n ∈ C. Se ne deduce che:

0 = v − v = (a₁ − c₁)v₁ + · · · + (a_n − c_n)v_n,

e quindi a₁ − c₁ = · · · = a_n − c_n = 0, perché gli elementi di V sono linearmente indipendenti. Quindi i coefficienti dei vettori di base necessari per scrivere v coincidono a due a due.

6. Teorema di struttura degli spazi vettoriali

Teorema (di struttura degli spazi vettoriali). Sia V = ⟨0⟩ uno spazio vettoriale finitamente generato su C. Allora esiste una base per V e due diverse basi di V hanno lo stesso numero di elementi.

La dimostrazione discenderà dal fatto seguente:

Lemma (di scambio). Sia A = {v₁, . . . , v_n} un insieme di generatori per uno spazio vettoriale V su C e sia B = {w₁, . . . , w_r} un insieme formato da vettori linearmente indipendenti di V, allora r ≤ n.

Dimostrazione. Si consideri l’insieme A = {w₁, v₂, . . . , v_n}. Poiché il vettore w₁ ∈ V è combinazione lineare dei generatori di V. Poiché w₁ ≠ 0, tali costanti non sono tutte nulle, supponiamo non nullo il coefficiente di v₁. Se ne deduce che:

v₁ = a₁⁻¹w₁ − a₁⁻¹a₂v₂ − · · · − a₁⁻¹a_nv_n,

v₁ ∈ ⟨w₁⟩, ⟨v₂, . . . , v_n⟩ = ⟨v₁, . . . , v_n⟩.

Dunque A = {w₁, v₂, . . . , v_n} è ancora un insieme di generatori di V e possiamo considerare l’insieme A = {w₁, w₂, v₃, . . . , v_n}. Ragionando come sopra otteniamo che:

⟨w₁, w₂, v₃, . . . , v_n⟩ = ⟨v₁, . . . , v_n⟩ = V.

Iterando questo processo possiamo sostituire gli r vettori di B ad altrettanti vettori di A e avere ancora un insieme di generatori per V. Ciò significa che A non può avere un numero di elementi strettamente minore di quello di B.

Possiamo ora dimostrare il teorema di struttura:

Dimostrazione. Sia A = {v₁, . . . , v_k} un insieme di generatori di V. Se i generatori sono linearmente indipendenti, allora A è una base e il primo asserto è verificato. Altrimenti, uno dei vettori di A è combinazione lineare degli altri, sia v_k, quindi A \ {v_k} è un insieme di generatori per V e si itera il processo. Dopo un numero finito di passi ci si deve arrestare e si ottiene così una base per V.

Ora, poiché V ha un numero finito di generatori, allora ogni sua base ha un numero finito di elementi. Inoltre per il lemma dello scambio, se v₁, . . . , v_n e w₁, . . . , w_m sono due basi di V ⇒ m ≤ n perché i vettori w sono linearmente indipendenti e i vettori v sono generatori di V. D’altra parte è anche vero che se v sono linearmente indipendenti e w sono generatori di V ⇒ n ≤ m e quindi si conclude che m = n.

6. Relazioni di Grassmann

Lemma. Siano U, W due sottospazi di dimensione finita di V su C. Risulta:

dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).

Dimostrazione. Sia z₁, . . . , z_k una base di U ∩ W, oppure nessun vettore se l’intersezione è banale. Siano z₁, . . . , z_k, u_k+1, . . . , u_r base di U e z₁, . . . , z_k, w_k+1, . . . , w_s base di W. Allora k = dim(U ∩ W), r = dim U e s = dim W.

La tesi è dimostrata se si dimostra che z₁, . . . , z_k, u_k+1, . . . , u_r, w_k+1, . . . , w_s è base di U + W. Se u ∈ U + W con:

u = a₁z₁ + · · · + a_kz_k + a_k+1u_k+1 + · · · + a_ru_r

e

w = b₁z₁ + · · · + b_kz_k + b_k+1w_k+1 + · · · + b_sw_s,

abbiamo:

u + w = (a₁ + b₁)z₁ + · · · + (a_k + b_k)z_k + a_k+1u_k+1 + · · · + a_ru_r + b_k+1w_k+1 + · · · + b_sw_s ∈ U + W.

Dunque U + W = ⟨z₁, . . . , z_k, u_k+1, . . . , u_r, w_k+1, . . . , w_s⟩. Se:

a₁z₁ + · · · + a_kz_k + a_k+1u_k+1 + · · · + a_ru_r + b_k+1w_k+1 + · · · + b_sw_s = 0,

allora a₁z₁ + · · · + a_kz_k + a_k+1u_k+1 + · · · + a_ru_r ∈ U = −b_k+1w_k+1 − · · · − b_sw_s ∈ W e quindi si trova in U ∩ W.

Dunque si scrive in modo unico come combinazione lineare di z₁, . . . , z_k, cioè a_k+1 = · · · = a_r = 0 = b_k+1 = · · · = b_s e a₁z₁ + · · · + a_kz_k = 0, ma z₁, . . . , z_k sono linearmente indipendenti, quindi a₁ = · · · = a_k = 0.

7. Definizione di applicazione lineare

Definizione. Siano V e W due spazi vettoriali su C. Un’applicazione φ : V → W si dice applicazione lineare o omomorfismo di spazi vettoriali se, per ogni coppia di vettori v₀, v ∈ V e ogni coppia di scalari α, β ∈ C si ha:

φ(αv + βv₀) = αφ(v) + βφ(v₀).

8. Formula delle dimensioni

Proposizione. Siano V e W spazi vettoriali su C e sia φ : V → W un’applicazione lineare. Allora:

dim ker φ + dim im φ = dim V.

Dimostrazione. Sia u₁, . . . , u_k base di ker φ e completiamo questi vettori ad una base di V:

u₁, . . . , u_k, v_k+1, . . . , v_n.

Vogliamo mostrare che i vettori φ(v_k+1), . . . , φ(v_n) sono una base di im φ. Infatti dato un vettore v di V, si ha:

v = α₁u₁ + · · · + α_ku_k + α_k+1v_k+1 + · · · + α_nv_n

e quindi:

φ(v) = α_k+1φ(v_k+1) + · · · + α_nφ(v_n).

I vettori φ(v_k+1), . . . , φ(v_n) sono un sistema di generatori per im φ. D’altra parte, se:

β_k+1φ(v_k+1) + · · · + β_nφ(v_n) = 0,

allora il vettore β_k+1v_k+1 + · · · + β_nv_n ∈ ker φ e quindi deve necessariamente aversi:

β_k+1v_k+1 + · · · + β_nv_n = 0, ovvero β_k+1 = · · · = β_n = 0.

9. Matrici di cambio di base e loro relazioni

Proposizione. Siano dati uno spazio vettoriale V e due sue basi V, W. Le matrici di cambio di base α_V,W(id_V) e α_W,V(id_V) sono una l’inversa dell’altra.

Proposizione. Sia data un’applicazione lineare φ : V → W e siano fissate due basi V₀ di V e W₀ di W. Risulta:

α_V,W(φ) = α_W,W0(id_W) α_V0,W0(φ) α_V0,V(id_V).

Dimostrazione.