Appunti esame Statistica

La statistica

La statistica è lo studio quantitativo di fenomeni collettivi e la distribuzione di frequenza può essere rappresentata in due sintetizza grandi insiemi di dati. Il fenomeno da studiare è modi: modalità per modalità per caratteri qualitativi e chiamato carattere o variabile, mentre l’insieme di unità quantitativi discreti. Per i caratteri quantitativi continui si statistiche su cui si rileva il fenomeno è chiamato collettivo. costruisce la distribuzione di frequenza in classi: al posto della raccolta dei dati si chiama rilevazione e può essere totale colonna delle possibili modalità vi è quella delle classi. L’estremo superiore di una classe coincide con l’estremo censimento) o parziale (indagine campionaria). La parte che si occupa di censimenti è chiamata statistica descrittiva, inferiore di un’altra (solitamente l’estremo superiore è mentre la parte che si occupa della rilevazione parziale (in cui compreso nella classe, quello inferiore no): tutte le unità della si estraggono a campione le unità statistiche) è chiamata distribuzione unitaria sono incluse in una classe. inferenza e utilizza il campo delle probabilità.

Statistica descrittiva

I dati rilevati si inseriscono in una tabella chiamata distribuzione unitaria, che può essere semplice, se si rileva un solo carattere, o doppia, se si rilevano due caratteri. Una distribuzione unitaria in cui le unità statistiche sono gli anni si chiama serie storica. La numerosità del collettivo (n) è il numero totale di unità statistiche su cui si rileva un carattere: nella distribuzione unitaria semplice è l’ultimo numero della prima colonna. Se n è molto grande, occorre una sintesi per comprendere i dati rilevati: esistono molte sintesi, quindi bisogna applicare quella corretta in base al tipo di carattere rilevato.

2° sintesi: rappresentazioni grafiche

Il grafico di una distribuzione di frequenza varia in base al tipo di carattere rilevato:

• Qualitativi: grafico a nastro, a rettangoli, ad aste, a torta;
• Quantitativi discreti: diagramma cartesiano;
• Quantitativi continui: istogramma.

Un carattere si presenta sulle unità statistiche con modalità differenti. I caratteri sono qualitativi se le loro modalità non sono numeriche (es. titolo di studio, colore dei capelli), quantitativi se le loro modalità sono numeriche (es. peso, reddito). I caratteri qualitativi sono sconnessi se non hanno un ordinamento predefinito tra le modalità (es. colore dei capelli), ordinati se hanno un ordinamento predefinito tra le modalità (es. titolo di studio). I caratteri quantitativi sono discreti se le loro modalità sono numeri interi (es. numero di figli), continui se le loro modalità sono numeri reali (es. altezza). Secondo la gerarchia dei caratteri, i qualitativi sconnessi sono i più poveri di informazioni e con essi possono essere fatte solo le sintesi più semplici. I caratteri quantitativi, invece, stanno allo stesso piano nella gerarchia dei caratteri.

1° sintesi: distribuzione di frequenza

La prima sintesi è il passaggio da distribuzione unitaria a distribuzione di frequenza. Ogni volta che si applica una sintesi si perde qualcosa: nel caso del passaggio tra distribuzione unitaria e di frequenza si perde il collegamento tra l’unità e la sua modalità. Si costruisce una tabella con due colonne: nella prima vi sono le possibili modalità di carattere, nella seconda quante unità hanno presentato quella determinata modalità (frequenze assolute n_i). La somma delle frequenze assolute è la numerosità del collettivo. Le frequenze relative (f_i) sono ottenute dal rapporto tra la frequenza assoluta n_i e la numerosità del collettivo (n); moltiplicando per 100 le frequenze relative si ottengono le frequenze percentuali (p_i).

Il grafico a torta si divide in sezioni in base agli angoli, calcolati moltiplicando le frequenze relative per 360.

Le frequenze relative cumulate sono calcolate sommando man mano le frequenze relative, in modo tale che l’ultima sia pari ad 1. Possono essere calcolate per tutti i tipi di caratteri, ma per i qualitativi sconnessi, dato che non c’è ordinamento tra le modalità, è inutile. Il calcolo delle frequenze relative e percentuali, invece, può essere fatto per tutti i tipi di caratteri.

Il diagramma cartesiano si costruisce con due assi: quello orizzontale rappresenta le modalità di carattere, quello verticale le loro frequenze. Dato che il carattere è discreto, non bisogna unire i pallini (altrimenti si dà l’impressione di continuità).

1

Per realizzare un istogramma si costruiscono due assi: sulle ordinate si rappresentano le densità di frequenza, cioè il rapporto tra frequenza assoluta e ampiezza di ciascuna classe; sulle ascisse si rappresentano le ampiezze, cioè la differenza tra estremo superiore ed estremo inferiore. Le densità di frequenza permettono di distribuire le frequenze della classe in modo uniforme all’interno di essa. Dunque, nell’istogramma, ogni classe è rappresentata da un rettangolo con base l’ampiezza e altezza la densità di frequenza: l’area sarà pari alla frequenza assoluta.

La mediana è la modalità posseduta dall’unità di posto centrale nella distribuzione unitaria “ordinata”, quindi viene calcolata per caratteri qualitativi ordinati e quantitativi: il 50% della distribuzione avrà modalità minore/uguale della mediana, il restante maggiore/uguale. Per calcolarla, quindi, bisogna ordinare la distribuzione unitaria: se n è pari vi sono 2 modalità di mediane, se n è dispari solo una.

Una distribuzione di frequenza modalità per modalità, così come quella in classi, è già ordinata, quindi basta guardare le frequenze relative cumulate: la F_i maggiore o uguale di 0,5 è la mediana. La mediana lascia prima di sé il 50% della distribuzione, quindi è tale che l’area prima e dopo di essa sia 0,5 (nell’istogramma). Per calcolare la mediana che cade in una classe si applica questa formula:

Funzione di ripartizione empirica

In una distribuzione di frequenza generica, per conoscere la proporzione di unità con modalità minore o uguale di un generico x_i, che sarà pari a F_i, bisogna sommare le aree. La funzione di ripartizione empirica F(x) è la proporzione di unità con modalità minore o uguale di x (che non è un estremo della classe): se (i-esima classe) allora < < () = !"# ! + area del rettangolo tratteggiato in rosso, quindi: !"# !( )() = + − !"# !"#

Legati al concetto di mediana vi sono:

• Quartili: sono 3 e tagliano la distribuzione in 4 parti uguali;
• Decili: sono 9 e tagliano la distribuzione in 10 parti uguali;
• Percentili: sono 99 e tagliano la distribuzione in 100 parti uguali.

La media aritmetica è la modalità che equi-ripartisce l’ammontare totale di carattere (x_i) tra le unità. Si calcola solo per caratteri quantitativi e considera il valore di tutte le modalità, però è più influenzata da valori anomali (se vi è un errore, anche solo di trascrizione, la media ne risente perché è “meno robusta” della mediana). La definizione della media aritmetica si applica solo per la distribuzione unitaria: $!%#∑ + + ⋯ + ! # & $ = =

Il valore ottenuto è un’approssimazione perché, avendo una distribuzione di frequenza in classi, non si sa come si distribuiscono i caratteri all’interno di una classe. Se il carattere nelle classi non è uniformemente distribuito, il risultato ottenuto sarà più o meno sbagliato.

3° sintesi: calcolo di indicatori

La terza sintesi prevede il calcolo di alcuni indicatori, ovvero gli indici di dimensione, variabilità e forma. Gli indici di dimensione danno informazioni sull’ordine di grandezza del fenomeno; i principali sono: moda, mediana (con quartili, decili e percentili), media aritmetica.

Per le distribuzioni di frequenza “modalità per modalità” la formula cambia: ' $!%#∑ ! != = 0 ! ! !%#

La moda può essere calcolata per qualunque carattere:

• Nelle distribuzioni unitarie è la modalità che si presenta più spesso;
• Nelle distribuzioni di frequenza modalità per modalità è la modalità con frequenza maggiore;
• Nelle distribuzioni di frequenza in classi, la classe modale è la classe con densità di frequenza maggiore.

Per le distribuzioni di frequenza “in classi” viene scelta una modalità, da moltiplicare per la frequenza corrispondente, che rappresenti ciascuna classe. Di solito si considera il valore centrale della classe: + !"# ! 1 =( 2

2

In questo modo si ottiene una media aritmetica approssimata. Se la distribuzione in classi presenta anche la colonna del valore medio di ogni classe (μ_i) si ottiene la media aritmetica, non approssimata, della distribuzione mediante questa formula: ''!%#∑ 1 ( != = 0 1 ( ! !%#

Lo scostamento quadratico medio SQM nelle distribuzioni unitarie si calcola con queste due formule, di cui la seconda derivante dalla seconda proprietà della media aritmetica.

La media aritmetica è l’indice di dimensione più comune perché gode di importanti proprietà. La prima proprietà afferma che la media aritmetica rende nulla la somma degli scarti, cioè la differenza tra la modalità x e la media aritmetica. La dimostrazione viene chiesta all’orale:

Nelle distribuzioni di frequenza, le formule possibili per calcolare lo scostamento quadratico medio sono quattro:

Lo scostamento quadratico medio è un indice difficile da interpretare come valore assoluto: non si dice che la variabilità sia elevata o meno.

Per calcolare la varianza si utilizzano le stesse formule togliendo la radice quadrata: è espressa con un’unità di misura al quadrato rispetto alla media aritmetica e allo scostamento quadratico medio.

La seconda proprietà afferma che la media aritmetica rende minima la somma degli scarti al quadrato, mentre la mediana rende minima la somma degli scarti in valore assoluto:

Il coefficiente di variazione è il rapporto tra SQM e la media aritmetica (quest’ultima in valore assoluto). È un indice utile per confrontare la variabilità di diverse distribuzioni ed è indipendente dall’unità di misura del carattere; inoltre, non è influenzato dall’intensità (cioè dall’ordine di grandezza del fenomeno).

La terza è la proprietà di linearità della media aritmetica: data una trasformazione lineare di x, la media di y si può calcolare applicando la stessa relazione che vi è tra i caratteri x e y con le medie aritmetiche.

Lo scostamento quadratico medio e la varianza hanno diverse proprietà. La prima afferma che, data una trasformazione lineare, risulta:

Il termine “a” di una trasformazione lineare non ha effetti sugli indici di variabilità. Immaginando un istogramma che descriva la distribuzione di x, aggiungendo il numero “a” alla distribuzione, esso trasla l’istogramma di quel numero sull’asse delle ascisse, ma la sua forma rimane invariata.

La quarta è proprietà associativa della media aritmetica:

Gli indici di variabilità indicano la variabilità tra le modalità intorno alla media. Sono calcolati solo per caratteri quantitativi e sono sempre positivi se c’è variabilità, uguali a zero se non c’è variabilità (mai negativi). Questi indici sono:

• Lo scostamento quadratico medio (SQM o deviazione standard) che si indica con “sigma” σ;
• La varianza, che è lo SQM al quadrato;
• Il coefficiente di variazione, che è il rapporto tra SQM e la media aritmetica (quest’ultima in valore assoluto).

La seconda proprietà è la formula di scomposizione della varianza: immaginando un contesto analogo a quello della proprietà associativa della media aritmetica, si rileva un carattere sulle unità di “s” gruppi e all’interno di ogni gruppo si calcola la media e la varianza del carattere. La proprietà associativa della media aritmetica ci consente di calcolare la media generale (con la formula in blu, che ci dice che la media generale può essere calcolata come la media ponderata delle medie dei gruppi usando come pesi le numerosità dei gruppi).

3 < . Nelle situazioni di asimmetria negativa, invece, in questo caso poche unità presentano valori contenuti; vi è una “lunga coda sinistra” nella distribuzione data dai pochi valori molto piccoli delle x, che trascinano la media aritmetica verso sinistra.

L’ultimo istogramma nella realtà non si presenta quasi mai ed è il caso della simmetria rispetto a un asse che coincide col = ). valore della media aritmetica e della mediana (

Una forma analoga a questa si utilizza per calcolare la varianza generale del carattere partendo da numerosità, media e varianza dei gruppi: essa è la somma di due quantità, cioè la varianza interna e la varianza esterna. La varianza interna ricorda la proprietà associativa della media aritmetica perché è una media ponderata delle varianze dei singoli gruppi usando come pesi le numerosità di ciascun gruppo. La variabilità misura quanto le modalità delle singole unità si differenziano rispetto alla media: avendo dei gruppi, con la varianza interna si tiene conto solo della variabilità che c’è all’interno dei gruppi, ma per ottenere una varianza generale bisogna tener conto anche della varianza esterna, cioè della variabilità che c’è tra i diversi gruppi (tiene conto di quanto i gruppi sono vicini o lontani). Non si tratta di una varianza del carattere x (negli esercizi non vengono date informazioni su di esso), ma di una varianza generale che c’è tra le medie dei gruppi e la media generale.

L’indice di asimmetria di Fisher (si indica con la lettera “gamma” γ):

All’interno delle parentesi tonde vi è la formula della standardizzazione (z). Non è un indice facilmente interpretabile (così come la varianza).

Distribuzioni doppie

La distribuzione doppia è la rilevazione di due caratteri su un unico collettivo. L’obiettivo principale è lo studio della relazione tra i due caratteri. Si parte sempre da una distribuzione doppia unitaria con tre colonne: unità, modalità di x posseduta dalle unità, modalità di y posseduta dalle unità.

Una particolare trasformazione lineare è la standardizzazione di (z). La prima formula permette di passare da un carattere quantitativo x alla corrispondente versione standardizzata z. Generalmente, però, si usa la seconda formula. È una & = 0 = 1. trasformazione lineare particolare perché e)

1° sintesi: distribuzione doppia di frequenza

Il primo passaggio per sintetizzare una distribuzione doppia unitaria è passare ad una distribuzione doppia di frequenza. Si costruisce una tabella a doppia entrata: nella prima colonna si inseriscono le modalità di x, nella prima riga le modalità di y. All’interno si riportano il numero di unità che presentano la coppia x, y di modalità: queste si chiamano frequenze interne delle coppie di modalità. La somma delle frequenze riga per riga viene scritta nell’ultima colonna; la somma delle frequenze colonna per colonna viene scritta nell’ultima riga. Queste frequenze che stanno ai margini della tabella si chiamano frequenze marginali e non hanno doppio indice perché dipendono da una sola variabile.

Gli indici di forma si calcolano solo per caratteri quantitativi: i più importanti sono quelli di asimmetria.

Questi istogrammi rappresentano le tre situazioni che si possono verificare. Si parla di asimmetria positiva quando la maggior parte delle unità presenta valori contenuti della x e poche unità presentano valori molto elevati della x (“lunga coda destra” nella distribuzione). Le poche unità con valori elevati trascinano la media aritmetica verso destra, ma non la > . mediana perché è più robusta, quindi:

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Se s = t la distribuzione è quadrata. Le frequenze relative sono: uguaglianza porta alla seguente formula: c’è indipendenza assoluta se e solo se per tutte le celle (frequenze interne alla tabella) vale questa formula . .!* *! = , .= , . = (danno tutte lo stesso risultato):!* ! * . .! *

2° sintesi: rappresentazione grafica

= , ∀∀!* Nel caso di x e y caratteri qualitativi discreti: si rappresentano sul piano cartesiano le coppie (x_i, y_i) con frequenza non nulla.

2) Massima dipendenza assoluta: conoscere la modalità di x che si presenta su un’