Appunti ed esercitazioni di Matematica

Logica matematica

27/09/2021

Proposizione

Proposizione - enunciato/affermazione che può essere vero o falso e mai entrambi.

Proposizione deducibile, "deducibile" in quanto è possibile provare o confutare.

È possibile effettuare delle operazioni logiche tra le proposizioni come:

1. Equivalenza logica: Quando esprimono lo stesso concetto. P ≡ Q
2. Somma logica - che risulta vera se almeno una delle 2 è vera. P ∪ Q
   • V ∨ V = V
   • V ∨ F = V
   • F ∨ V = V
   • F ∨ F = F
3. Prodotto logico - che risulta vero solo se entrambe sono vere. P ∧ Q
   • V ∧ V = V
   • V ∧ F = F
   • F ∧ V = F
   • F ∧ F = F
4. Negazione logica - Data P → ¬P
   • P, ¬P
   • V, F
   • F, V

Implicazione logica

Implicazione logica → sarebbe una relazione tra due proposizioni P e Q in cui P ⇒ Q ("P implica Q"). Si può affermare che:

P è condizione sufficiente per Q (P cs Q)

Q è condizione necessaria per P (Q c.n P)

Complicazione logica

Complicazione logica ⇒ è una relazione tra due proposizioni P e Q tale che P ⇔ Q ("P complica Q"). Si può affermare che:

P è condizione necessaria sufficiente per Q (P c.n.s Q)

Q è condizione necessaria sufficiente per P (Q c.n.s P)

Teorema

Teorema → Enunciato in cui P (Ipotesi) ⇒ Q (Tesi)

Dimostrazione

1. Dilemma (Narrazione)
2. Per assurdo (Negando la tesi)

Logica matematica

Proposizione decidibile

Proposizione - enunciato/affermazione che può essere vero o falso e mai entrambi.

Proposizione decidibile - "decidibile" in quanto è possibile riportarla a coerenza.

È possibile effettuare delle operazioni logiche tra le proposizioni, così:

1. Equivalenza logica - quando esprimono lo stesso concetto. P ⇔ Q
2. Somma logica - che risulta vera se e comunque una delle 2 è vera. P ∨ Q "unito"

   P	Q	P ∨ Q
   V	V	V
   V	F	V
   F	V	V
   F	F	F

3. Prodotto logico - che risulta vero solo se entrambe sono vere. P ∧ Q

   P	Q	P ∧ Q
   V	V	V
   V	F	F
   F	V	F
   F	F	F

4. Negazione logica - data P -P

   P	-P
   V	F
   F	V

Implicazione logica

Implicazione logica → sarebbe una relazione tra due proposizioni P e Q in cui:

P ⇒ Q ("P implica Q"). Si può affermare che:

P è condizione sufficiente per Q (C.s. Q) &

Q è condizione necessaria per P (C.n. P)

Complicazione logica

Complicazione logica è una relazione tra due proposizioni P e Q tale che:

P ⇔ Q ("P complica Q"). Si può affermare che:

P è condizione necessaria sufficiente per Q (C.n.s. Q) &

Q è condizione necessaria sufficiente per P (C.n.s. P)

Teorema e dimostrazione

Teorema - enunciato in cui [P: Ipotesi] ⇒ [Q: Tesi]

Dimostrazione:

• Diretta (deduzione)
• Per assurdo (negando la tesi)

Insiemi

Un insieme si indica con le lettere dell'alfabeto maiuscole.

Gli elementi che compongono un insieme si indicano con le lettere dell'alfabeto minuscole.

Un insieme si può scrivere elencando tutti i suoi componenti: es. A={a; b; c; d; e; f}

Oppure attraverso una legge generatrice es. A={n : n N, n pari}.

Sottoinsieme

Dati gli insiemi A e B posso affermare che A è sottoinsieme di B.

A ⊆ B ⇔ ∀x A implica che x ∈ B

Se A ⊆ B e B ⊆ A ⇒ A = B → Coincidenti

Se A ≠ B non coincidenti ⇒ ∅ Insieme vuoto ∅ = insieme senza elementi

Sottoinsieme proprio

A è un sottoinsieme proprio di B ⇔ B ⟹ A ⊂ B

(A ⊆ B) ∧ (∃b ∈ B : tale che b ∉ A) esiste appartenente ⇒ non app.

Operazioni tra insiemi

Operazioni tra insiemi

1. Unione
2. Intersezione
3. Differenza
4. Prodotto cartesiano

Sia X insieme ambiente e A, B, C ⊆ X

A ∪ B = {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B} (somma logica)

Proprietà:

• Commutativa A ∪ B = B ∪ A
• Associativa (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• A ∪ ∅ = A
• Se A ⊆ B ⇒ A ∪ B = B

A ∩ B = {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B} (prodotto logico)

Proprietà: