Appunti e formule di Analisi e Geometria 1

2017/2018 Appunti e formule di Analisi e Geometria 1

Politecnico di Milano Prof. Gianluca Molagabriele Mazzolari Analisi e Geometria 1

Politecnico di Milano - Facoltà di Ingegneria Industriale

Limiti e continuità

Se il limite tende a 0 tenti di ricondurlo al limite notevole.

Se il limite tende all’infinito guardi chi ci arriva prima eliminando gli infiniti di ordine minore.

Forme indeterminate

• +∞ - ∞

1. +∞ - ∞

(a) Limite di una funzione polinomiale −1 lim ( + + ⋯ + )0 1 →±∞

Raccoglimento a fattore comune x n 1 2 lim ( + + + ⋯ + )0 2 →±∞ lim 0→±∞ =0∞ 2 22

((b) lim ( − + 1) = +∞ − ∞ = . . + )( − ) = − √→±∞ 2 22 −( +1)+√ +1 −12

lim ( − + 1) ∙ = lim = = 0√ 2 2 +∞+√ +1 +√ +1→±∞ →±∞∞

2. ∞

−1 + +⋯+ ∞0 1 lim = m>n lim () = 0 −1 + +⋯+ ∞→∞ →∞0 1

Per confronto m<n lim () = ±∞ di infiniti→∞

m=n lim () = →∞0

3. Scomposizione in fattori

0 2 −2−3 (−3)(+1) +1 4

lim lim = lim =22 −9+9 (−3)(2−3) 2−3 3→3 →3 →3

4. 1∞

5. ∞0

6. 00

Forme non indeterminate

∞0·∞ = 0 =∞0

Gabriele Mazzolari A.A. 2018/2019 Pagina | 1

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0∞0 = 0 =0∞

Limiti notevoli

→sin sin () sin lim = 1 → lim = 1 ℎè sin ~ ( → 0) lim = () →0 →0 →0

2 sin lim = 0 → lim ∙ sin = 0 →0 →0

1−cos 1−cos () 1−cos 1 1− lim = 0 → lim =0 lim = → lim =2 () 2 →0 →0 →0 →0

ln(1 + ) ln(1 + ())lim = 1 → lim =1 ()→0 →0

log (1 + )lim = log →0 () − 1

− 1lim = 1 → → lim =1 ()→0 →0 − 1

lim = ln →0 (1 (1+ ) − 1 + ) − 1 lim = → lim = →0 →0 →∞ ()

1 lim (1 + ) = → lim (1 + ) = → lim (1 + ) = ()→±∞ →±∞ →±∞

1 −1lim (1 − ) = →±∞ 11

()(1 (1lim + ) = → lim + ()) = →±∞ →±∞

Asintoticità (x→0)

2⊙sin⊙ ~ ⊙ 1 − cos⊙ ~ tan⊙ ~ ⊙2⊙ − 1~ ⊙ ln(1 +⊙)~ ⊙ (1 +⊙) ~ ⊙

Gerarchia di infiniti

(2)!log ≪ ≪ ≪ ≪ ! ≪ ≪ →∞

Gabriele Mazzolari A.A. 2018/2019 Pagina | 2

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Discontinuità

Continuità

 ()  lim () = lim ()−+ →→ 00

 ) = (0

Discontinuità di 1° specie (salto)

lim () ≠ lim ()−+ →→ 00

Discontinuità di 2° specie (asintoto da una parte o entrambe)

lim () = ± ∞→ 0

Discontinuità di 3° specie (punto da solo o non esistente (buco))

lim () = lim () ≠ ( )0−+ →→ 00

Ricerca asintoti

Asintoto orizzontale

lim () = ∈ ℝ = è →∞

Asintoto verticale

)( = ∄ lim () = ∞ = è 0 0→ 0

Asintoto obliquo

(Esiste solo se il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore, non di più)

() = lim →∞ = lim [() − ]→∞

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Derivate

Derivate fondamentali

 ′ ()() = → = è 0 ( // )

 ′ ()() = → = 1°/3°

 ′ − ′ −1()() = → = = → = 11 1−1/ ′o = √ = → = =22 2√

 ′ ()() = sin = cos

 ′ ()() = cos = −sin

 ′ 2()() = tg = = 1 + 2 1

 ′ 2()() = cotg = − = −(1 + )2 1

 ′ ()() = arcsin = 2√1− 1

 ′ ()() = arccos = − 2