Appunti di Tecnica delle costruzioni

I gusci

Si prende una generica superficie di rivoluzione, ottenuta considerando una generica curva meridiana e facendola ruotare di 360° (2π) attorno ad un asse di rivoluzione; la superficie di rivoluzione nel complesso si considera equilibrata rispetto alle generiche azioni esterne, che come già detto rispettano anch’esse l’assialsimmetria coì come la geometria.

Elementino di superficie

Sulla superficie complessivamente in equilibrio si vanno a prendere due meridiani tra loro infinitamente vicini, ovvero separati da un angolo infinitesimale dψ, ma si vanno a prendere anche due paralleli infinitamente vicini tra di loro e quindi separati da un angolo infinitesimale dθ. In questo modo è stato individuato un elementino della superficie di estensione infinitesimale e siccome l’intero guscio è in equilibrio sotto l’azione delle forze esterne, si estrae questo elementino di vertici: a, b, c e d.

Estraendo l’elementino da un sistema nel complesso equilibrato, anche il singolo elementino deve continuare ad essere equilibrato e per fare questo sulle superfici laterali dell’elementino si dovrà andare ad applicare le sollecitazioni interne che lo mantengono in equilibrio.

Andando a vedere da più vicino l’elementino: Le dimensioni dell’oggetto sono infinitesimali come già visto, quindi la prima ipotesi che si avanza è che il segmento sia circa uguale a perché pur non essendo perfettamente uguali la loro variazione di lunghezza è un infinitesimo di ordine superiore.

Calcolo delle lunghezze

Sono dei tratti del parallelo, quindi si deve ragionare sul parallelo per valutare quanto sono grandi; la curvatura Ry, come visto in precedenza, aveva raggio di curvatura sull’asse di rivoluzione, per cui: Siccome la superficie è stata sezionata con due paralleli allora in pianta il segmento è un arco di circonferenza, per cui se si conosce l’apertura dψ e il raggio r, il calcolo è immediato.

Nel calcolare la lunghezza dei tratti e non si fa alcuna approssimazione perché i due segmenti sono esattamente coincidenti visto che essendo la superficie assial simmetrica, tutti i meridiani sono coincidenti e quindi se si prendono due tratti di due meridiani adiacenti, intersecati dagli stessi paralleli, i due archi di meridiano sono coincidenti e quindi la loro lunghezza è esattamente la medesima.

In generale il punto Ox generalmente è in un punto che non si sa bene come individuare, esterno rispetto all’asse. Siccome ci si sta spostando lungo il meridiano di una quantità infinitesima l’angolo al centro è dθ e quindi la lunghezza dell’arco di meridiano è data dall’angolo al centro per il raggio di curvatura Rx nell’intorno del punto.

Azioni sulle superfici laterali

In questo modo è stato possibile definire la lunghezza dei quattro lati dell’elementino infinitesimo, ma si deve ancora capire però quali sono le azioni che si esplicitano lungo queste quattro superfici laterali; in particolare sono presenti azioni che appartengono a due famiglie distinte: la prima famiglia è l’analogo dello sforzo assiale per gli elementi “asta” e sono azioni che vengono chiamate membranali.

Ha lo stesso significato visto nelle lastre, se la lettera è piccola allora sono azioni per unità di lunghezza o di larghezza più specificatamente, per cui non è una forza ma è una forza per unità di larghezza. Per esplicitare la forza occorre moltiplicare la forza per unità di larghezza per la lunghezza del segmento di riferimento; partendo dal segmento sapendo che cd, vale Ry*dψ*senθ, allora la componente di vale:

Sulla faccia opposta ci sarà una componente analoga ma non uguale, ovvero si avrà sempre un nx, non è più nello stesso punto perché ci si è spostati di una quantità infinitesima, quindi si avrà nx + la sua variazione prima e quindi nx + (dnx/dx)*dx. Questa quantità dovrà essere moltiplicata nuovamente per la lunghezza del lato in modo da ottenere:

Queste forze sono ortogonali alla superficie (spessore dell’elementino) con la quale è stato eseguito il taglio per individuare l’elementino infinitesimo, quindi gli spessori delle due facce considerate hanno come lungo le loro normali e componenti di sollecitazione interna nx nx + la sua derivata prima.

Siccome si chiamano sono componenti parallele alla direzione x nell’intorno del punto in cui si fa il taglio, per cui sono tangential meridiano nel punto in cui si applicano. Ma ci sono anche le componenti che emergono sulle altre due superfici infinitesime dell’elementino; che sono dirette lungo Y, quindi le due componenti risultano essere tangenti all’asse Y, ovvero sono tangenti al parallelo nel loro punto di applicazione. Per questo motivo si chiameranno e siccome sono una forza per unità di larghezza, per trovare la componente occorre moltiplicare per la lunghezza di riferimento che è quella di ony ac bd.

Così facendo si ottiene il valore della prima componente, quella che agisce sul lato bd: Sulla base di tutto quello che è stato detto l’altra forza è esattamente uguale alla precedente, perché il sistema ha simmetria radiale e quindi la forza che emerge da una parte dovrà emergere uguale e contraria dall’altra parte per rispettare la simmetria radiale. Non solo la geometria la rispetta ma anche le azioni la rispettano e quindi produrranno componenti di azioni interna rispettose di questo tipo di simmetria.

Regime membranale e flessionale

In definitiva, queste sono le quattro componenti relative alle quattro superfici ottenute tagliando ed estraendo l’elementino; ognuna di queste componenti è tangente o ai meridiani (nx) o ai paralleli (ny). Da questo punto di vista sono analoghe a quanto si può vedere per lo sforzo assiale nelle aste (travi), nelle quali n è la componente di azione interna tangente e quindi parallela all’asse longitudinale dell’asta stessa.

Siccome l’elemento è superficiale non esiste un asse ma si ha un piano medio (come nelle lastre), che è posto a metà dello spessore, soltanto che non è più un piano posto su tutta la superficie ma è riferito soltanto all’intorno del punto A, ovvero il piano tangente alla superficie in A, e le componenti nx ny appartengono proprio a questo piano tangente.

Se il sistema fosse in equilibrio solo con le componenti nx ny, si avrebbe un regime membranale, che ricorda lontanamente ciò che si può presentare nei sistemi reticolari, i quali sono molto efficienti dal punto di vista meccanico e statico. Anche in questo caso se si riesce a coinvolgere solo il regime membranale si sviluppa una grande efficienza meccanica; ma non c’è solo questo tipo di componenti, infatti ce ne sono anche delle altre che appartengono al regime flessionale, così come nelle travi non c’è solo lo sforzo assiale ma in generale ci sono anche taglio e momento. Sullo stesso elementino visto in precedenza si va a descrivere il regime flessionale:

Momenti flettenti

Partendo dalle superfici (lunghezza del segmento infinitesimo per lo spessore del guscio) ortogonali al meridiano e in si ha una possibile componente di momento che tende le fibre lungo il meridiano, o per meglio dire le fibre nel punto A tangenti al meridiano; per cui prenderà il nome di mx. Però questa non è una coppia perché la si deve ancora moltiplicare per la lunghezza del segmento Ry*dψ*senθ calcolata prima, ottenendo:

Dall’altra parte si ha ancora mx, ma non solo, perché lungo il meridiano mx può variare in generale, per cui spostandosi da a si ha un acd ab variazione, per cui la componente è data da mx + la sua variazione prima lungo x, tutto quanto moltiplicato per la lunghezza del lato quindi:

Se adesso si guardano gli altri due lati si potranno avere dei possibili momenti flettenti, i quali tenderanno a sollecitare le fibre le fibre parallele al parallelo, per cui queste componenti prenderanno in nome di Lamy. Componente di destra è coincidente con quella di sinistra per via della simmetria e in particolare le due sono uguali ma di segno opposto per rispettare l’equilibrio.

Nel lato la componente è data da per la lunghezza del lato che è Rx*dθ, così come anche nel lato opposto il generico valore della componente flessionale è lo stesso:

(I 2 my sebbene siano uguali non si annullano ma esistono e nell’equilibrio la loro somma è 0 per simmetria).

Componenti di taglio

Queste sono le quattro componenti di momento che in generale si possono manifestare alle estremità dell’elementino in equilibrio; ma ciò non basta perché non sono state messe ancora in luce le possibili componenti di taglio. Cominciando come prima dal lato la componente di taglio è tangente alla superficie di taglio, oppure in cd, altri termini questa componente di forza è ortogonale al meridiano nel punto in cui emerge. Siccome è ortogonale alla direzione x prende il nome di tx e per farla diventare una forza la si deve moltiplicare per la lunghezza del segmento in modo da ottenere:

Questa però non basta perché esiste una componente anche dall’altra parte, diretta nel verso opposto rispetto alla precedente e analogamente a quanto descritto prima si può definire il valore di tale componente come tx + la sua variazione prima rispetto ad x, tutto moltiplicato per la lunghezza del segmento ab:

Negli altri due lati non si hanno componenti di taglio, per cui le non ci sono nel rispetto della simmetria yradiale; la componenti di taglio è solo la che è variabile lungo il parallelo a seconda delle azioni applicate. tx

Tutte queste componenti appena individuate sono quelle che caratterizzano il regime flessionale. In generale per carichi assialmente simmetrici ma di distribuzione generale i due regimi di sollecitazione visti finora, membranale e flessionale, convivono.

Regime membranale quantitativo

Adesso è necessario affrontare per primo il regime membranale da un punto di vista quantitativo, andando a capire quanto valgono le componenti individuate prima e come si possono legare alle azioni esterne.

Si prende una generica porzione di guscio, di meridiano qualsiasi, e si immagina di tagliare il guscio con un parallelo ad una certa altezza, caratterizzata dall’angolo θ. Su questa porzione di guscio si suppone che sussista una distribuzione di carico che rispetta la assial simmetria, siccome il taglio è stato fatto con un piano meridiano ciò che sta a sinistra dell’asse è simmetrico rispetto a ciò che sta a destra dell’asse. Nelle sezioni in cui è stato tagliato il guscio emergeranno le componenti rappresentate in figura, mentre nx le componenti non possono essere disegnate perché hanno direzione uscente dal piano (foglio), quindi ny per discutere l’equilibrio di questo piano meridiano ny non può essere coinvolto.

È possibile individuare la risultante verticale delle forze distribuite lungo la porzione di guscio considerata e la si chiama ; rappresenta la forza che raccoglie tutte le componenti verticali del carico distribuito lungo Qθ l’intera porzione di guscio.

Per valutare l’equilibrio nella direzione verticale occorre sommare anche le componenti verticali di che nx, però NON sono forze ma sono forze per unità di lunghezza e rappresentano una DISTRIBUZIONE DI COMPONENTI LUNGO TUTTA LA CIRCONFERENZA DEL PARALLELO. Per ricavare le componenti verticali si deve proiettare nx lungo la verticale e dopo aver individuato la posizione dell’angolo θ secondo il criterio delle rette ortogonali che si intersecano, si nota che sta nel vertice basso del triangolo, per cui essendo l’angolo opposto alla componente da trovare si usa il seno: nx senθ

A questo punto si può scrivere l’equazione di equilibrio: Entrambi i termini hanno segno positivo perché hanno verso concorde; la componente di nx com’era scritta prima non è ancora una forza ma solo una forza per unità di lunghezza, per cui occorre moltiplicare tale componente per la lunghezza di riferimento, la quale non è altro che la circonferenza del parallelo (2π*r) con cui è stato tagliato il guscio, in base a quanto visto in precedenza si ha che . La somma deve essere posta uguale a 0; siccome l’unica incognita dell’equazione è può essere esplicitata: nx,

In questo modo si è ottenuta una prima espressione che può fornire il valore di in un qualsiasi punto del nx guscio, una volta nota la risultante delle forze dirette lungo l’asse di assial simmetria (in questo caso verticali). È una semplice costante; lo si può individuare esattamente come θ. 2π Ry sen 2

Equilibrio delle forze

Quanto visto finora rappresenta soltanto una relazione biunivoca tra e ma ciò non è sufficiente perché Q nx, θ in questa espressione non figura. ny

Per ottenere si deve discutere un altro equilibrio, in particolare l’equilibrio dell’elementino individuato in ny precedenza, andando a discutere l’equilibrio delle forze in direzione Z, cioè lungo la direzione ortogonale al piano tangente (XY) al guscio nel punto A. . Siccome si ha un’estensione, per quanto piccola sia, le quattro azioni interne hanno una componente lungo z.

Ora si procede a sezionare l’elementino prima con un piano meridiano e poi anche con un piano parallelo, in modo da ragionare nell’ottica dell’equilibrio delle forze nella direzione Z. Partendo dalla sezione meridiana, si immagina di tagliare il meridiano lungo un piano meridiano e se ne considera una porzione infinitesima, di lunghezza pari ai lati e dell’elementino: ac bd

In questo caso si è interessati a valutare le componenti delle due azioni riportate nel disegno in direzione Z. L’angolo al centro è (visto che la sezione è verticale) e siccome si devono proiettare le due componenti dθ nx e nx + la sua derivata prima lungo x (entrambe moltiplicate per ) lungo Z bisogna fare attenzione al fatto che esiste un angolo relativo tra l’asse Z e il raggio Rx, per cui nx è ortogonale al raggio e non a Z e tale angolo relativo è pari a dθ/2.

Tracciando la parallela a Z si vuole individuare il valore delle componenti lungo Z; semplicemente si può notare che si è formato un triangolo rettangolo, di cui si conosce l’ipotenusa e che nel vertice esterno avrà come angolo l’angolo relativo dθ/2. Noti questi due valori è possibile ottenere anche il cateto a cui si è interessati, infatti basta moltiplicare la componente (ipotenusa) per il seno dell’angolo dθ/2; ma dθ/2 è un angolo infinitesimo per cui è lecito confondere il seno dell’angolo con l’angolo stesso. Così è possibile definire il valore della componente lungo Z:

Lo stesso identico ragionamento può essere applicato anche per definire la componente superiore:

Però in questa scrittura si presenta un infinitesimo di ordine superiore, dato dal prodotto tra due quantità infinitesimali, quindi per semplicità si può considerare trascurabile il secondo contributo; ecco che allora nella parte superiore rimane la stessa espressione vista per la parte inferiore, con la sola componente nx:

Essendo ormai note tutte le componenti lungo Z, a questo punto è possibile scrivere l’equazione di equilibrio andando a sommare i contributi delle in direzione Z su questo piano meridiano: nx Questo contributo è la componente generata da sull’elementino lungo la direzione Z, ma non è l’unica. nx

Adesso occorre fare un discorso analogo, però questa volta tagliando il guscio con un in modo piano parallelo da ottenere una circonferenza in pianta (quella del parallelo); se se ne considera soltanto una porzione infinitesima, lunga quanto la base dell’elementino e caratterizzata da un’apertura angolare che vale dψ, si ricava:

Ora non si vogliono più fare emergere gli nx ma piuttosto gli i quali però non sono ortogonali all’asse Z ny, per le stesse ragioni di prima, per cui siccome si è interessati a capire la proiezione lungo Z dei due ny uguali tra loro. Per trovare le loro proiezioni lungo Z si può ragionare come è già stato fatto, in modo da ottenere:

In realtà l’asse Z non appartiene al piano parallelo, perché nel piano parallelo ci sta l’asse Y, quindi l’asse Z disegnato in figura è soltanto la proiezione dell’asse Z sul piano parallelo, per cui anche le componenti che si stanno discutendo sono parallele alla proiezione di Z sul piano parallelo.

Per cui adesso è facile riuscire a capire il valore delle due componenti, infatti la somma delle due ny*dψ/2 dovrà essere moltiplicata per la lunghezza del segmento di riferimento, o che è Rx dθ: ac bd, Attenzione, perché fermarsi a questo punto significherebbe dire che la seconda componente appena ricavata lavora sul piano parallelo, però questo non è sufficiente perché si è interessati alla seconda componente lungo Z per cui dovrà essere proiettata lungo tale direzione.