Appunti di serie storiche

Sse-modulo 2 (e 1)

Teoria Modulo 1 Modulo 2 Tecniche di Smoothing Medie mobili Media semplice MM doppie (lineari) Recap e conclusioni MM Metodi di smoothing esponenziali Componenti di una SS L’approccio classico Metodo di scomposizione Metodi di smoothing di Brown, Holt e Holt-Winters Metodo di Brown Metodo di Holt a due parametri Metodo Holt-Winters a 3 parametri Altre procedure Funzioni di laboratorio modulo 2 google trends

Teoria Modulo 1

Processo stocastico e serie storica

PROCESSO STOCASTICO E SERIE STORICA: {x : = 1, … ,Una serie storica è una collezione di osservazioni riferite ad un certo fenomeno ,t N} Xt tZ∈ raccolte nel tempo e indicizzate rispetto ad un parametro t Le serie storiche hanno memoria del proprio passato e manifestano un certo grado di persistenza sse-modulo 2 (e 1) 1, , … ,Una serie storica , può essere considerata come una parte finita delle realizzazioni di un x x x1 2 n processo stocastico e quindi come determinazione di una sequenza finita di variabili casuali che ∞{X }compongono la successione .t ∣t∣=0 (Ω, , )Dati uno spazio parametrico T e uno spazio di probabilità , il processo stocastico èB P X(ω, t)Ω∈ Ω (t)una funzione finita, a valori reali e misurabile in . Fissando si ha una funzione reale che ω ω xω costituisce una realizzazione del processo stocastico.

Il processo stocastico viene quindi visto come una (ω)famiglia di realizzazioni e viene usualmente soppresso. Se invece viene fissato t si ottiene x(t) ω Xt che è una variabile casuale che dipende dal parametro t e qui il processo stocastico viene visto come una famiglia di variabile casuali.

Il processo stocastico è un meccanismo di generazione di numeri di natura casuale, mentre la serie storica è considerata come parte finita di una sequenza numerica generata dal processo.

L’analisi di una serie storica è condotta attraverso l’individuazione del processo stocastico generatore della serie. Tale ricerca avviene sulla base di un suo insieme finito di realizzazioni, la serie storica, dove è l’unica realizzazione della variabile casuale .x Xt t

Il caso che verrà preso in considerazione è il seguente: processi stocastici a parametro discreto, quindi uno spazio di probabilità continuo e uno parametrico discreto (periodi osservazioni sono equispaziati). Fissando un solo t si ottiene una variabile casuale con una distribuzione di probabilità associata.Xt

I momenti sono le caratteristiche numeriche delle funzioni di distribuzione. Il momento primo è il valore atteso, il momento secondo centrale è la varianza, quello misto non centrato è l’autocovarianza.

Proprietà ps stazionarietà

PROPRIETA’ PSSTAZIONARIETA’:Il ps è detto stazionario in senso stretto se tutte le funzioni di distribuzioni n-dimensionali, con n finito, , … , ∈ rimangono inalterate qualora l’insieme di punti , si traslato lungo l’asse dei tempi di un t t k1 nR . Questa ipotesi è molto restrittiva e difficile da verificare.

Si fa ricorso alla condizione del secondo ordine, stazionarietà in senso debole. Il ps è detto stazionario del secondo ordine se le funzioni di media, varianza e covarianza (deve dipendere solo dai due tempi i e j) non devono dipendere da t.

Ergodicità

ERGODICITA’: Normalmente la stima del primo momento per si otterrebbe facendo una media Xt campionaria di tutte le osservazioni ottenute per quel tempo t. Avendo solo una osservazione per tempo t, il teorema ergodico ci garantisce che, se il ps è stazionario allora si ha come stima della valore atteso, la media di tutte le realizzazioni nei vari n tempi. Tale stima è dimostrabile consistente. Quindi è detta m Nlim (m − = 0ergodica se: .μ)→∞N N

Invertibilità

INVERTIBILITA’ : è la possibilità di esprimere la variabile casuale in funzione delle variabili casuali X(t) passate, ossia e con l’aggiunta di una variabile casuale ( WN).X at−j t

Il più semplice processo stocastico è il processo white noise, , costituito da una sequenza di variabili at casuali incorrelate, a media 0 e a varianza costante finita (stazionario) e funzione di distribuzione di probabilità identica al variare di t.

sse-modulo 2 (e 1) 2 La funzione di autocorrelazione è una misura della struttura interna del processo stazionario. Come l’autocovarianza, esiste una una relazione biunivoca tra la funzione di autocorrelazione e la distribuzione in prob, per questo viene utilizzata per la stima del modello con correlogrammi.

L’autocorrelazione parziale tra e è la loro correlazione dopo aver rimosso la dipendenza lineare tre X Xt t+k − queste ultime variabili e le loro intermedie (t+1, ..., t+k-1). Si definisce il ps come in modo da avere Z X μt t il valore atteso pari a 0. Vengono quindi calcolate le stime delle variabili tramite una regressione lineare sui ^− valori intermedi tra t e t+k. Queste due variabili vengono poi sottratte alle variabili originarie ( ) e (Z Zt t ^− ) e ne viene calcolata la autocorrelazione.Z Zt+k t+k

Se il processo è stazionario, i momenti possono essere stimati in base ai dati osservati della serie storica (unica realizzazione del processo). Lo stimatore della media è corretto e consistente.

Teorema di Wold

TEOREMA DI WOLD: permette di rappresentare un qualsiasi processo stazionario, come somma fra: componente deterministica ottenuta come combinazione lineare di infinite onde periodiche elementari.Vt = Tale componente è prevedibile senza errore (determ). Infatti se , la conoscenza di una X Vt t realizzazione del processo ne conse la previsione senza errore in quato le successioni aj e bj note.componente puramente stocastica ottenuta come combinazione lineare di variabili casuali WN. è detta Zt puramente stocastica in quanto ègenerata esclusivamente dal processo white noise, quindi nota una realizzazione non è possibile determinare univocamente , ossia la varianza dell’errore di z Zt t previsione non è nulla. Il processo lineare generale ha media nulla, varianza finita costante, incorrelazione con il disturbo dello stesso periodo ed è quindi stazionario.

Costituisce la rappresentazione a media ∞ mobile di ordine infinito e si indica con MA( ) , se il processo è invertibile esso può essere scritto in ∞ funzione del suo passato, rappresentazione di ordine infinito AR( ).

Il processo AR è un processo che esprime in funzione del suo passato ponderato con i pesi . Il processo Z ϕt j MA è un processo che esprime come una combinazione lineare dei disturbi passati ponderati con i pesi Z θt j.

Confronto ACF e PACF in AR e MA

CONFRONTO ACF E PACF IN AR E MA: la relazione duale tra i processi AR e MA risiede anche nelle rispettive funzioni di autocorrelazione e autocorr parziale.

• AR: funzione di autocorrelazione che decade esponenzialmente dopo p coefficienti funzione di autocrr parziale che è pari a 0 dopo il p-esimo ritardo
• MA: funzione di autocorrelazione che è pari a 0 dopo q coefficienti funzione di autocorr parziale che decade esponenzialmente dopo il q-esimo ritardo

(B)Tramite inversione del polinomio è possibile scrivere un processo AR di ordine finito, in forma di un MA ϕp di ordine infinito. Un processo MA di ordine finito invertibile deve può essere riscritto con la stess logica in forma di un AR di ordine infinito.

ARMA

sse-modulo 2 (e 1) 3 ARMA. Un alto numero di param riduce l’efficienza della stima degli stessi; pertanto nella costruzione di un modello è spesso opportuno inserire sia la componente autoregressiva che quella a media mobile → modello misto: ARMA.

Il calcolo della funzione di autocorr parziale viene fatto esprimendo la parte a media mobile tramite la sua forma inversa. Il comportameno della funz di autocorr parziale di un ARMA(p, q) è identico a quello di una funz di autocorr parziale di un MA(q), quindi i coefficienti decadono verso lo zero in modo esponenziale dopo q.

Il calcolo della funzione di autocorr, analogamente si fa esprimento l’ARMA tramite la sua parte AR e si osservano gli stessi risultati dell’ar(p), quindi un decadimento dopo il ritardo p.

ARMA stagionali: sono in grado di catturare la periodicità che si evidenziano nella serie, per permettere una più accurata previsione della serie. Una serie è detta generata da un processo autoregressivo stagionale del sprimo ordine se il valore corrente può essere espresso come una funzione lineare del valore AR(1) s verificatosi s periodi prima, se il valore corrente può essere rappresentato dal disturbo corrente a t e MA(1)dal disturbo occorso s periodi prima.

Non stazionarietà

NON STAZIONARIETA’ che può riguardare sia la MEDIA della serie, in tal caso si dice che è presente un TREND, quindi una variazione del livello della serie in esame, sia a propostito della VARIANZA, che varia in funzione del tempo.

Per risolvere tale problema si usano i modelli ARIMA (I = integrated, che misura l’ordine di differenziazione).

Non stazionarietà in media: si manifesta quando una o più radici del polinomio che rappresenta la parte AR del processo, si trovano sul cerchio dell’unità. Quindi il polinomio è invariante all’aggiunta di una ϕ(B) costante C.

L’operatore differenza del primo ordine viene utilizzato per trattare una non-staz del livello medio, che segue una legge di incrementi di tipo lineare. Quello di secondo ordine è utilizzato per trattare una non-staz del livello medio con incrementi parabolici. Una differenza d-esima è utilizzata per eliminare una tendenza polinomiale di grado d del livello medio del processo. Ha lo svantaggio di far perdere dati al crescere di d e di indurre, a volte, autocorrelazioni negative spurie.

Mean reverting

MEAN REVERTING: la nozione di memoria è relativa al grado di dipendenza tra il processo ad un determinato istante t e la propria storia passata (o futura). Memoria elevata significa alta influenza del passato sui valori della serie. L’”assenza di memoria” significa che il processo evolve in maniera completamente indipendente dal passato.

Negli AR l’influenza del passato sul presente decresce mano a mano che si va indietro nel tempo se il processo è stazionario (radici dentro il cerchio unità) e si dice processo a memoria transitoria, mentre se le radici del processo AR si trovano sul del unità allora si dice processo a memoria permanente e in questo caso si parla di trend stocastico.

Modelli a trend stocastico comuni: 2processi a radice unitaria → es. random walk (media , var , ecc)Z tσ0 a = + processi a radice unitaria intorno ad una funzione di t → es. random walk con drift ( Z δt+ +[sulle slides è sbagliato] con media e altri momenti uguali al RW.Z a Z δ0t−1 t

In questi due casi si applica la differenza prima per ottenere un processo stazionario Se invece la componente di non-stazionarietà attributa alle sole variazioni della media del processo e la varianza è costante e in aggiunta si suppone che il livello medio della serie sia rappresentato da sse-modulo 2 (e 1) 4 una funzione deterministica , allora tale funzione rappresenta un trend deterministico. Tali trend g(t) sono sempre prevedibili in maniera esatta. Sottraendo al processo originale il suo trend si ottiene un ARMA stazionario a media nulla (detrendizzazione).

Tali processi possono essere stazionarizzati mediante due modi:

• Detrendizzazione: sottrarre il trend dal processo per renderlo stazionario
• Differenziazione: quando il trend è lineare la differenziazione prima e la detrendizzazione portano generalmente allo stesso risultato

Non stazionarietà in varianza: la variabilità non è costante nel tempo, non facile da eliminare, si ha bisogno di trovare una trasformazione ottimale che si imposta in modo tale sia la serie storica a rivelare quale le si adegui maggiormente (trasformazione di Box-Cox). E’ una funzione continua e per 0 il limite di tale funzione è il log naturale del valore. Per = -1 si applica l’inversa e così via. La logaritmica λ diminuisce il divario fra minimi e massimi ma può esser attuata solo su dati positivi, quindi bisogna shiftarli.

Il valore ottimale di può essere determinato utilizzando i dati rilevati e massimizzando la verosimiglianza λ sotto ipotesi di normalità e trovare quel valore che la massimizza.

Un altro modo per trovare il valore ottimo &e