Serie Storiche - appunti generali

Serie storiche - Processo stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo, Z(t,ω) con t ∈ T e ω ∈ Ω (spazio campionario).

Indice che indica il tempo.

t fissato → t ↦ Z(t,ω) è una variabile casuale.

ω fissato → ω ↦ Z(t,ω) è una traiettoria o realizzazione.

→ Serie storiche: singola realizzazione d'un processo stocastico.

Processo stocastico

Traiettorie (serie storiche).

Sezioni delle traiettorie (v.c).

Successione ordinata di v.c.

→ Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

• Ergodicità → Riproducibile ed estensibile i risultati da una generica realizzazione al processo.
• Stazionarietà → Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi.

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2, ..., Z_tm} → Insieme di v.c dal processo stocastico Z(t,ω): t=0,±1,±2,...

Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1,...,Z_tm) = F(Z_t1+k,...,Z_tm+k) ∀ k ∈ ℕ (1).

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scritta sopra vale ∀ m ↔ troppo forte come condizione possibile da verificare.

Serie storiche - Processo stocastico

Def. Un processo stocastico è una famiglia di variabili casuali indicizzate dal tempo:

Indice che indica il tempo.

t fisso → Z_t(t,ω) è una variabile casuale.

ω fisso → Z_ω(t,ω) è una traiettoria o realizzazione.

Serie storiche: singola realizzazione di un processo stocastico.

Processo stocastico

Traiettorie (serie storiche).

Sezioni delle traiettorie (v.c).

Successione ordinata di v.c.

Utilizzeremo la nostra traiettoria per fare inferenza se il processo stocastico gode di:

• Ergodicità → Riproducibilità ed estensione ai più dati da una generica realizzazione del processo.
• Stazionarietà → Invarianza rispetto ad una traslazione arbitraria lungo l'asse dei tempi.

Stazionarietà

{Z_t1, Z_t2, ..., Z_tm} → insieme di v.c. dal processo stocastico Z_t(ω,t): t=0,±1,±2,...

Il processo è stazionario se:

Funzione di ripartizione multidimensionale F(Z_t1, ..., Z_tm) = F(Z_tk+h, ..., Z_tk+h+m-1) ∀ k ∈ ℕ (1).

Stazionarietà in senso stretto: se la condizione scritta sopra vale ∀ t/m → troppo forte come condizione possibile da verificare.

Funzione media:

M_t = E[Z_t]

Funzione varianza:

σ²_t = E[Z_t - M_t]²

Funzione di autocovarianza:

γ(t₁, t₂) = E[(Z_t1 - M_t1)(Z_t2 - M_t2)]

covarianza fra due serie storiche.

Funzione di autocorrelazione:

ρ(t₁, t₂) = γ(t₁, t₂) / (σ_t1σ_t2)

correlazione fra due serie storiche.

Stazionario in senso debole: se tutti i suoi momenti congiunti (stazionarità in congiunta) fino all'ordine m e j è sono invarianti rispetto a t₀.

Stazionario del secondo ordine se la media e cov. costanti.

OSS: la stazionarietà in senso stretto implica la stazionarietà in senso debole se i momenti fino all'ordine 2 sono finiti.

Nel P.S.

• M_t = ME[Z_t²] < ∞, σ² = O² ∀t
• Dal b) siccome la stazionarietà in senso stretto implica γ(t₁, t₂) = γ(t₁ + k, t₂ + k) = γ_k ρ(t₁, t₂) = ρ(t₁ + k, t₂ + k) = ρ_k Questo vuol dire che un processo stazionario con i primi due momenti finiti ha autcov e autocor. che dipendono solo dall'intervallo di tempo k.

OSS: un processo stocastico è gaussiano se la distribuzione congiunta è normale.

Stazionarietà forte ≡ stazionarietà debole.

Le funzioni di autocovarianza e autocorrelazione

γ_k = cov (z_t, z_t+k) = E(z_t − μ) (z_t+k − μ)

ρ_k = γ_k / γ₀ dove γ₀ = Var(z_t) = Var(z_t+k) Le due funzioni soddisfano queste propr