Statistica economica - Appunti

Analisi delle serie storiche – Introduzione

Definizione intuitiva di serie storica: insieme di osservazioni relative ad un dato fenomeno, ordinate nel tempo.

Esempi di serie storiche

• Temperatura corporea oraria di pazienti sottoposti ad un trattamento medico;
• Prezzi giornalieri di un titolo;
• Importazioni totali mensili o trimestrali;
• Movimenti migratori annuali.

Differenze tra serie storiche

• Natura del fenomeno (sociale, finanziaria, economica, demografica)
• Frequenza di rilevazione (oraria, giornaliera, … annuale – non necessariamente i dati devono essere equispaziati)
• Numerosità campionaria (legata alla natura del fenomeno e alla frequenza di rilevazione)

Caratteristica fondamentale comune alle serie storiche: relazione di dipendenza tra le osservazioni, che sono ordinate nel tempo. L’ipotesi è che le n osservazioni provengano da n diverse variabili aleatorie dipendenti contrariamente alla statistica classica dove in genere si dispone di n osservazioni indipendenti provenienti dalla stessa variabile aleatoria.

Campionamento casuale semplice: inferenza dal campione alla popolazione.

Analisi delle serie storiche: inferenza dalla serie storica al processo generatore. 1

Obiettivo dell’analisi delle serie storiche

Obiettivo dell’analisi delle serie storiche: studio della natura di tale dipendenza, attraverso modelli atti a spiegare e prevedere la dinamica delle serie storiche e attraverso la scomposizione di una serie nelle componenti (non osservabili) che la costituiscono.

Modellistica: l’ipotesi alla base della modellistica è che la serie osservata sia stata generata da un processo stocastico descritto da un modello probabilistico parametrico .t

Scomposizione: l’ipotesi alla base è che la serie osservata sia il risultato dell’azione combinata di componenti non direttamente osservabili (variabili latenti) che possono però essere definite, identificate e stimate sulla base di ipotesi circa il loro comportamento nel tempo.

Esempi di grafici di serie storiche

Serie della produzione dei beni industriali di investimento

Serie della produzione dei beni industriali di investimento (base 1990=100) gennaio 1985 – ottobre 1995: dati mensili

140120100806040200 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95lug-85 lug-86 lug-87 lug-88 lug-89 lug-90 lug-91 lug-92 lug-93 lug-94 lug-95 2

La serie mostra un leggero trend crescente con una diminuzione nell’anno 1993. Evidente presenza di picchi di minimo nei mesi di agosto: presenza di stagionalità.

Serie dei disoccupati in senso stretto

Serie dei disoccupati in senso stretto (in migliaia), gennaio 1984 – dicembre 1995: dati trimestrali

120010008006004002000 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95lug-84 lug-85 lug-86 lug-87 lug-88 lug-89 lug-90 lug-91 lug-92 lug-93 lug-94 lug-95

La serie non presenta una tendenza (crescente o decrescente) ma un “salto” in corrispondenza di gennaio 1993. Si tratta di un cambiamento strutturale di origine deterministica: in quell’anno, infatti, è stato modificato il modo di misurare la disoccupazione in senso stretto. Se il cambiamento fosse stato di natura stocastica e non avesse riguardato solo la disoccupazione (e l’occupazione) ma l’intera economia, tutte le serie storiche economiche e sociali mostrerebbero un “salto” in corrispondenza di gennaio 1993 o di qualche periodo successivo. Si nota anche un picco stagionale di minimo nel trimestre estivo dovuto all’occupazione stagionale. 3

Serie storica dei turisti in Emilia Romagna

Serie storica dei turisti in Emilia Romagna, gennaio 1985 – agosto 1995: dati mensili

14000000120000001000000080000006000000400000020000000 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 19941985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JAN JANJUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL JUL

Serie puramente stagionale caratterizzata da punte di massimo nei mesi di agosto. È evidente la presenza di un dato anomalo, nell’agosto del 1989: in quell’anno il mare Adriatico è stato colpito dal fenomeno delle mucillagini. 4

Serie storica delle importazioni dall’Irlanda

Serie storica delle importazioni dall’Irlanda, gen. 1984 – set. 1995 e previsioni da modello ARIMA (0,1,1)(0,1,1) fino a dicembre 1996 (dati mensili)

12450,00 x t400,00 Serie osservata350,00 Valori stimati e previsti300,00250,00200,00150,00100,0050,00 t0,00 4 55 6 8 9 1 2 604 7 3 48 15 934 6 9 2 587 90 9698 9 9998 8 8 98 8 9 98 988 8 8 9 9n-n- n- n-n-n-n- n- n- n-n- n- n-g-g- g- g-g- g- g- g- g-g-g- g- g-gege ge ge ge ge ge gege ge ge gege lu lulu lu lu lu lululu lu lu lu lu

Serie caratterizzata da un trend ascendente e da una variabilità irregolare e crescente. Sospetto valore anomalo in corrispondenza di dicembre 1995. Un modello lineare che tenesse conto della stagionalità è stato identificato e adattato alla serie: dallo stesso è stato ottenuto un anno di previsioni.

Come accennato all’inizio, identificare un processo che si suppone abbia generato la serie osservata è un modo per analizzare una serie storica. Alternativamente, o meglio, in modo complementare, si può supporre che la serie osservata sia il risultato dell’azione combinata di diverse componenti che non sono direttamente osservabili, ma possono essere stimate sulla base di ipotesi circa il loro comportamento nel tempo. 5

Serie storica delle donne canadesi disoccupate

Serie storica delle donne canadesi disoccupate di età maggiore di 25 anni nel periodo dal 1976 al 1997 (dati mensili)

600550500450400350300250200150100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

Serie caratterizzata da un trend ascendente, cambiamenti strutturali, presenza di componente stagionale.

Trend-ciclo

550500450400350300250200150100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97 6

La tendenza è un movimento liscio che descrive i cambiamenti di lungo periodo della serie.

Componente stagionale

12011010090 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

La componente stagionale è caratterizzata da un andamento oscillatorio che si ripete regolarmente ogni anno. In questa serie, la componente stagionale è di tipo evolutivo, ossia il suo comportamento non è costante ma caratterizzato da periodi di maggiore e minore ampiezza.

Una volta spiegato l’andamento della serie attraverso tendenza-ciclo e stagionalità quel che resta è la cosiddetta componente irregolare ben rappresentata da un processo puramente casuale. Trend-ciclo e componente irregolare costituiscono la serie storica destagionalizzata. È importante correggere la serie da fattori stagionali per effettuare previsioni. 7

Componente irregolare

120.00110.00100.0090.0080.00 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97

Serie destagionalizzata

600550500450400350300250200150100 gen-76 gen-77 gen-78 gen-79 gen-80 gen-81 gen-82 gen-83 gen-84 gen-85 gen-86 gen-87 gen-88 gen-89 gen-90 gen-91 gen-92 gen-93 gen-94 gen-95 gen-96 gen-97 8

Un esempio di serie storica finanziaria

Serie storica dei prezzi dell'Indice DAX

Serie storica dei prezzi dell'Indice DAX 01/01/90-07/07/01 dati giornalieri

9000800070006000500040003000200010000 01/01/90 16/04/90 30/07/90 12/11/90 25/02/91 10/06/91 23/09/91 06/01/92 20/04/92 03/08/92 16/11/92 01/03/93 14/06/93 27/09/93 10/01/94 25/04/94 08/08/94 21/11/94 06/03/95 19/06/95 02/10/95 15/01/96 29/04/96 12/08/96 25/11/96 10/03/97 23/06/97 06/10/97 19/01/98 04/05/98 17/08/98 30/11/98 15/03/99 28/06/99 11/10/99 24/01/00 09/05/00 22/08/00 05/12/00 20/03/01 03/07/01

Indice DAX: 10 anni di dati giornalieri

Serie storica dei prezzi dell'Indice DAX 01/01/90-31/12/90 dati giornalieri

24002200200018001600140012001000 01/01/90 10/01/90 19/01/90 30/01/90 08/02/90 19/02/90 28/02/90 09/03/90 20/03/90 29/03/90 09/04/90 18/04/90 27/04/90 08/05/90 17/05/90 28/05/90 06/06/90 15/06/90 26/06/90 05/07/90 16/07/90 25/07/90 03/08/90 14/08/90 23/08/90 03/09/90 12/09/90 21/09/90 02/10/90 11/10/90 22/10/90 31/10/90 09/11/90 20/11/90 29/11/90 10/12/90 19/12/90 28/12/90

Indice DAX: 1 anno di dati giornalieri

L’analisi del grafico di una serie storica è fondamentale nell’analisi delle serie storiche: è importante tuttavia essere consapevoli delle caratteristiche dei dati che si stanno analizzando. 9

Definizione formale di serie storica

Definizione formale di serie storica: sono necessari i concetti di variabile aleatoria e processo stocastico.

Definizione di variabile aleatoria

Definizione di variabile aleatoria. Una variabile aleatoria (v.a.) è una funzione misurabile a valori reali definita su uno spazio probabilistico ossia →(R, ), ∈-1X: (Ω, F,P) B(R), P X (B) F per ogni B∈ B(R)X

dove

• Ω: Spazio degli eventi Ω
• F Sigma-algebra di
• P Probabilità definita su (Ω,F)
• B(R) Sigma-algebra di Borel definita sull’insieme dei numeri reali R
• (R,P Probabilità indotta da X su B(R).X

Definizione di processo stocastico

Definizione di processo stocastico. Un processo stocastico è una successione di variabili aleatorie indicizzate da un parametro che nell’analisi delle serie storiche è il tempo, t∈T, dove T è uno spazio parametrico discreto o continuo. Il processo stocastico si indica come {X } .t t∈Tω

Casi particolari: come varia X (ω;) al variare di e tt

• ω ω∈Ωt e variabili, {X (ω;), } processo stocastico;t t∈T
• ω ω=ω , {X (ω; )} “traiettoria” del processo t variabile e fissato 0 t 0 t∈T stocastico;
• ω;t fissato e variabile t=t , {X (ω;)} variabile aleatoria;0 t0
• ω ω=ω;t e fissati, ossia t=t e , {X (ω; )} numero reale;0 0 t0 0
• ω ω ω dati t , t ,…, t e fissati , ,…, , {x , x ,…, x }, serie storica.1 2 N 1 2 N 1 2 N 10

Definizione di serie storica

Definizione di serie storica. Una serie storica è una realizzazione finita di un processo stocastico. La serie storica si indica come {x } , dove N<∞.t t=1,…,N

Le variabili aleatorie che costituiscono un processo stocastico sono diverse, ossia caratterizzate da diverse distribuzioni di probabilità.

Legge di un processo stocastico

Legge di un processo stocastico. La legge di un processo è data dalla famiglia di funzioni di ripartizione ∈Rn{F (x)} , dove T={t=(t ,…, t ), t < t <…< t , n=1,2,…} e x =(x ,…, x ) ,t t∈T 1 n 1 2 n 1 n∩X ∩ ∩ ossia F (x) = P(X <x <x … X <x ).t t1 1 t2 1 tn n

Teorema di Kolmogorov (1933) per la caratterizzazione univoca di un processo sulla base delle sue funzioni di distribuzione marginali.

Le {F (x)} caratterizzano univocamente un processo stocastico {X } se e t t∈T t t∈T ∀t∈T, ∀n=1,2,… ∀1≤i≤n,solo se e lim F (x)= F (x(i)), dove t(i)e x(i) sono ixi→∞ t t(i) vettori n-1 dimensionali che si ottengono dai vettori t(i) e x(i) rispettivamente eliminandone le componenti t e x .i i

Ad esempio, per i=2 ed n=2 dovrà essere, lim F (x) =x2→∞ t∩X ∩XP(X <x <x )=P(X <x <∞)= P(X <x ), ossia la distribuzione t1 1 t2 2 t1 1 t2 t1 1 congiunta di X e X deve essere convergere alla distribuzione marginale di t1 t2 X quando x tende all’infinito.t1 2 11

Modellistica

Impossibilità, a livello pratico, di caratterizzare un processo tramite le condizioni di Kolmogorov (anche ammettendo che la distribuzione del processo fosse nota, ci sarebbero infiniti parametri da stimare), quindi necessità di

• Sintetizzare le distribuzioni attraverso indicatori di posizione e variabilità (in genere momenti di ordine 1 e 2) e
• Restringere la classe dei processi entro cui identificare quello che ha generato la serie (in genere vincoli di memoria ed eterogeneità).

Ciò avviene attraverso

• Indicatori sintetici di posizione e di variabilità (momenti primo e secondo) e
• Vincoli di memoria sul grado di dipendenza tra le variabili al tempo t e t-k; vincoli di eterogeneità affinché il processo sia omogeneo, in termini probabilistici, nel tempo (proprietà dei processi stocastici).

Momenti di un processo stocastico

Valore atteso o media di un processo stocastico

∫ μE[X ] = xdF (x) = , t∈Tt R Xt t

È una misura di posizione o della tendenza del processo al tempo t.

Varianza di un processo stocastico

σ² 2tV [X ] = E[X - E(X ) ] = , t∈Tt t t 12

È una misura di dispersione o variabilità del processo rispetto alla media al tempo t.

Covarianza tra due variabili di un processo stocastico

γ ±1, ±2,…Cov [X ,X ] = E{[X - E(X )] [X - E(X )] = (k), t∈T, k=0,t t-k t t t-k t-k t

È una misura della dipendenza lineare tra due variabili distanti k ritardi al tempo t.

Proprietà di un processo stocastico

Stazionarietà in senso forte e in senso debole. Un processo è stazionario in senso forte se la sua distribuzione è invariante rispetto a traslazioni sull’asse temporale, mentre è stazionario in senso debole se i suoi momenti centrati di ordine uno e due non dipendono dall’istante in cui sono rilevati.

Stazionarietà forte

Un processo stocastico {X } è stazionario in senso forte se F (x)= F (x)t t∈T t+τ t∀t∈T ∀τ=1,2,...,e ossia se la sua legge è è invariante rispetto a traslazioni nell’asse dei tempi.

Stazionarietà debole

Un processo stocastico {X } è stazionario in senso debole set t∈Tμ ∞ ∀E[X ] = < t∈Tt σ ∞ ∀2V[X ] = < t∈Tt γ ∀ ±1, ±2,…Cov[X , X ] = t∈T, k=0,t t-k k 13

Ossia se ha media e varianza finite e costanti e autocovarianza che non dipende dal tempo t ma solo dal ritardo k.

La proprietà di stazionarietà è necessaria per potere effettuare inferenza sul processo stocastico generatore sulla base di una realizzazione finita. La proprietà assicura infatti che la struttura probabilistica del processo, pur non restando invariata nel tempo, sia caratterizzata da una certa omogeneità. A questa condizione, la stima dei momenti del processo sulla base del campione risulta corretta indipendentemente dall’intervallo in cui viene rilevato dal momento che intervalli della serie della stessa lunghezza hanno le stesse caratteristiche probabilistiche.

Relazione tra stazionarietà forte e debole. La stazionarietà in senso forte riguarda la struttura probabilistica del processo che deve rimanere invariata al variare dell’insieme di variabili che viene considerato. La stazionarietà in senso debole riguarda i momenti primo e secondo del processo che si suppongono indipendenti dall’istante temporale in cui sono rilevati. La stazionarietà forte implica la stazionarietà debole se e solo se i primi due momenti del processo sono finiti (condizione non necessaria affinché un processo sia stazionario in senso forte). La stazionarietà debole non implica necessariamente quella forte (dal momento che l’uguaglianza dei momenti non è informativa circa la forma distributiva delle variabili coinvolte).

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole: il processo white noise. σ ∞ ∀a²Un processo stocastico {a } tale che E(a )=0, V(a )= < t∈T et t∈T t t∀,a )=0 k≠0 si dice processo white noise e si indica conCov(a t t-k∼wn(0,σ a²{a } ).t t∈T 14

Esempio di processo stocastico stazionario in senso forte

Esempio di processo stocastico stazionario in senso forte: il processo i.i.d (indipendente e identicamente distribuito). ε ε εUn processo stocastico { } tale che , ,… sono variabili aleatorie i.i.d. at t∈T 1 2ε ε σ ∞ ∀2media nulla E( )=0 e varianza costante V( )= < t∈T è un processo ε;t tε ∼i.i.d. 2i.i.d. e si indica con { } (0,σ ).ε;t t∈T

Essendo finiti i momenti di primo e secondo ordine, il processo è stazionario anche in senso debole.

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole e in senso forte

Esempio di processo stocastico stazionario in senso debole e in senso forte: il processo gaussiano.

Un processo stocastico {X } è gaussiano se e solo se le distribuzioni di t t∈T -1tutte le {X } sono normali multivariate, ossia se f (x)=(2π)-(n/2)|Σ| exp[-t t∈T tΣ μ ΣT -1(1/2)(x-μ;) (x-μ;)]), dove è la media (vettore) e è la matrice di varianza e covarianza del processo.

Invertibilità

Un processo stocastico {X } è invertibile se può essere espresso come t t∈T funzione dei suoi valori passati più una componente puramente casuale, ∼wn(0,σ a²ossia X =f(X , X ,&