Appunti di Meccanica applicata alle macchine 2 [MAM2]

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Di seguito potete trovare l'anteprima della mia dispensa di Meccanica Applicata alle Macchine 2 (lezioni sostenute dalla Prof. Carbone nel corso 2017/2018) di circa 60 pagine completamente …

Esame Meccanica applicata alle macchine 2

Facoltà Ingegneria ii

Dal corso del Prof. Carbone Giuseppe

Università Politecnico di Bari

A.A. 2017-2018

58 pagine

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Appunti di meccanica applicata alle macchine 2

Autore: Gaudio Giovanni

20 aprile 2018

Premessa

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Indice

1 Dinamica 3D 4
1.1 Tensore di inerzia e proprietà 4
1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato 5
1.3 Equazioni cardinali della dinamica 6
1.4 Teorema dell’energia cinetica 8
1.5 Matrice di rotazione 8
1.6 Teorema di Poisson 9
2 Dinamica dei rotori 11
2.1 Bilanciamento 11
2.1.1 Bilanciamento statico 11
2.1.2 Bilanciamento dinamico 12
2.2 Accoppiamenti motore-carico 14
2.2.1 Accoppiamento diretto 14
2.2.2 Equilibrio dell’accoppiamento 16
2.2.3 Accoppiamento con trasmissione 18
2.2.4 Accoppiamento con frizione 20
2.2.5 Accoppiamento con volano 22
3 La lubrificazione 26
3.1 L’usura superficiale 26
3.2 Diagramma di Stribeck 28
3.3 Equazione di Raynolds 29
3.4 Pattino a gradino 34
3.5 Cuscinetto Michell 36
3.6 Caso reale di pattino qualsiasi 40
3.7 Cuscinetto portante completo 41
4 Materiali viscoelastici 46
4.1 Caso semplificato 46
4.1.1 Analisi del modello 47
4.1.2 Risposta del materiale 48
4.2 Caso reale generale 50
4.2.1 Modulo viscoelastico complesso 50
4.2.2 Influenza della temperatura 52
4.2.3 Rilevamento di E 53
Bibliografia 54
Elenco Figure 55
Elenco Tabelle 57

Capitolo 1

Dinamica 3D

1.1 Tensore di inerzia e proprietà

Il tensore di inerzia è un’applicazione lineare rappresentabile attraverso una matrice 3 3 (tensore del secondo ordine). Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ (u¯₁, u¯₂, u¯₃)_S di centro Ω, ed uno solidale al corpo rigido (e¯₁, e¯₂, e¯₃)_K̄ di centro O, il tensore d’inerzia può essere facilmente ricavato dalla definizione di momento della quantità di moto:

X − ×
K̄ = (P O) m v̄_k
k k k

X − × × −
= (P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]
k k k k

X X − × − × × −
= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]
k k k k k k

  C}| {z
X 2 − × | − | − − ⊗ −
= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄
 
k k k k
 
k | {z }
σ(O)

Pertanto risulta che σ(O): n punti

 h i
X 2
   | | − − ⊗ −
Punti: σ = r~ I (P O) (P O) m
σ σ σ
 ij k k k k
11 12 13
 
σ σ σ
σ(O) = k
21 22 23
  Z
σ σ σ h i
 23 1 32 33  | | − − ⊗ −
Rigidi: σ = ~r I (P O) (P O) ρdW
 ij  W

Per esempio considerando n punti materiali di posizione r¯_k = (r₁, r₂, r₃):

     
2 1 0 0 r r r r r
n corpi 1 2 1 3
1
X 2 2 | | −
0 1 0 r r r r r
σ = r¯ 2 1 2 3
12 k
     
2 2 0 0 1 r r r r r
k 3 1 3 2 3
n corpi

X 2 | | −
= r¯ I r r
k 1 2
k
n corpi

X
= (−r r)
1 2
k

Il tensore d’inerzia presenta le seguenti caratteristiche:

Simmetrico: le sue componenti sono simmetriche (σ_ij = σ_ji) anche perché σ(O) è somma di tensori simmetrici quali I_C e rispettivamente matrice identità e matrice dei momenti centrifughi (dove quest’ultima rappresenta le proprietà del materiale). Tale caratteristica permette di affermare che σ(O) è diagonalizzabile.
Diagonalizzabile: per la proprietà di simmetricità esiste un sistema di riferimento in cui tutti gli elementi fuori dalla diagonale principale sono nulli, la cosiddetta terna principale d’inerzia. Il calcolo parte dalla scelta di una terna qualsiasi solidale al corpo e si calcola σ(O) rispetto ad essa, quindi si procede risolvendo un problema agli autovalori dove questi ultimi rappresenteranno proprio i momenti di inerzia massimo, intermedio e minimo all’interno della terna principale d’inerzia definita dagli autovettori trovati (è comunque sufficiente che σ(O) presenti almeno due dei termini tra σ₁₂, σ₁₃ e σ₂₃ nulli per affermare che ci troviamo in una terna principale d’inerzia).
Semidefinito positivo: presenta tutti i propri autovalori non negativi. In generale può presentare componenti positive o nulle sulla diagonale principale, e positive negative o nulle nelle altre posizioni.
Dipendente dalla distribuzione delle masse: gli elementi fuori da diagonale principale vengono chiamati momenti deviatori e sono fonte di sollecitazioni sui supporti degli organi meccanici. Per questo motivo è fondamentale che il centro di massa del sistema giaccia sull’asse di rotazione del corpo e che quest’ultimo sia un asse principale d’inerzia, in maniera tale da evitare l’insorgere di vibrazioni non previste e dannose.
Indipendente dall’atto di moto: e non influenzato dal orientazione del SDR infatti il calcolo di σ(O) avviene preferibilmente all’interno di un sistema di riferimento solidale al corpo rigido in maniera tale che sia indipendente dal tempo (componenti costanti istante per istante). Solo successivamente può essere proiettato su un sistema di riferimento inerziale attraverso la relazione:

T
Rσ (O) = σ (O)R
SΣ T R

Dove rappresenta la matrice di rotazione e la sua trasposta. Tale operazione però comporta la perdita dell’indipendenza temporale.

1.2 Teorema di Huygens-Steiner generalizzato

Il seguente teorema permette il calcolo del tensore d’inerzia rispetto ad un punto B qualsiasi, quando è noto quello calcolato nel centro di massa G nel sistema solidale al corpo rigido:

S Z h i
2 − − − ⊗ −
σ(B) = (P B) I (P B) (P B) ρdW =
W

Z Z h i
2 − − − − − ⊗ − −
= (P G + G B) I ρdW [(P G + G B) (P G + G B)] ρdW
W W
{z } | {z }
| H H
1 2

Gli integrali risultano essere rispettivamente:

Z 2 − −
[(P G) + (G B)]
H = I ρdW
1 W

Z 2 − − − −
= (P G) + 2(P G)(G B) + (G B) I ρdW
W

Z Z 2 2 −
− − · − +m(G B)
= (P G) I ρdW + 2 (P G)ρdW (G B)
I I
W W
{z }
| =0

Z −
{[(P − − ⊗ − − ⊗ − −
G) + (G B)] [(P G) + (G B)]} ρdW
2 W

Z {[(P − ⊗ − − − ⊗ − −
G) [(P G)]} ρdW m(G B) (G B)
= W

Pertanto il tensore d’inerzia σ(B) per il teorema di Huygens-Steiner è pari a:

on 2 − − − ⊗ −
σ(B) = σ(G) + m (G B) I (G B) (G B) (1.1)

1.3 Equazioni cardinali della dinamica

Si definisce sitema inerziale un sistema che vede i corpi muoversi di moto rettilineo uniforme. Adottando due sistemi di riferimento uno inerziale Σ (u¯₁, u¯₂, u¯₃)_S di centro Ω, ed uno solidale al corpo rigido (e¯₁, e¯₂, e¯₃) di centro O, per un insieme di punti materiali risulta che:

Prima equazione cardinale della dinamica

d d X X
EF̄ m v̄ )(v̄ ) = (= m ā = m
k k k k k k dt dt
k k !

2d dd d ˙
X
= m r̄ ) = (mr̄(G)) = ( Q̄(G)) = Q̄
k k 2dt dt dt dt
k

˙
EF̄ = Q̄ (1.2)

Seconda equazione cardinale della dinamica

X
K̄(O) − ×
= (P O) m v̄
k k k
k

" #
d ˙
X
K̄(O) − ×
= (P O) m v̄
k k k
dt k

X X
− × − ×
= (P O) m ā + [v̄ v̄(O)] m v̄
k k k k k k k
k k

k E − × − × M̄ − ×
= (G O) mā(G) v̄(O) Q̄ = (O) v̄(O) Q̄

˙
EM̄ K̄(O) ×
(O) = + v̄(O) Q̄ (1.3)

Per i corpi rigidi, ricordando che vale la relazione v̄(P ) = v̄(O) + ω̄ (P O), la prima equazione cardinale continua a valere, mentre per la seconda possiamo scrivere che:

X
K̄(O) − ×
= (P O) m v̄
k k k
k

X − × × −
= (P O) m [v̄(O) + ω̄ (P O)]
k k k k

X X − × − × × −
= (P O) m v̄(O) + (P O) m [ω̄ (P O)]
k k k k k k
k k

h i
X 2 − × | − | − − ⊗ −
= (G O) mv̄(O) + m P O I [(P O) (P O)] ω̄
k k k k
k

− ×
= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄

d ˙ K̄(O) − ×
= (G O) mv̄(O) + σ(O)ω̄
dt

d − × − ×
= (G O) mā(O) + [v̄(G) mv̄(O)] mv̄(O) + [σ (O)]_Σ
dt

d − × × ×
= (G O) mā(O) + v̄(G) mv̄(O) + [σ (O)ω̄] + ω̄ σ (O)
S S
dt

d × − × − × σ (O) (ω̄) + ω̄ σ (O)
= (G O) mā(O) v̄(O) mv̄(G) + S S
dt

˙ − × − × ×
= (G O) mā(O) v̄(G) Q̄ + σ(O) ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄]

Allora riscrivendo l’equazione 1.3 risulta che:

E ˙
M̄ × − ×
(O) = σ(O)ω̄ + ω̄ [σ(O)ω̄] + (G O) mā(O) (1.4)

Volendo generalizzare ulteriormente assumendo polo B qualsiasi:

( E E E
M̄ M̄ − × F̄
(B) = (G) + (G B) Trasposizione dei momenti

E ˙
M̄ ×
(G) = σ(G)ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] dalla eq. 1.4

E ˙
M̄ × − ×
(B) = σ(G)ω̄ + ω̄ [σ(G)ω̄] + (G B) mā(G)

1.4 Teorema dell’energia cinetica

L’espressione dell’energia cinetica è pari a:

1 1
X X
2
T = m v¯ = m v¯ v¯
j j j j j
2 2
j j

1
X × −
m [v̄(O) + ω̄ (P O)] v¯
= j j j
2
j

1 1
X X × −
= m v̄(O)v¯ + m [ω̄ (P O)] v¯
j j j j j
2 2
j j

1 1
X X · − × ·
m v¯ v̄(O) + [(P O) m v¯ ] ω̄
= j j j j j
2 2
j j

1 1
· K̄(O) ·
= Q̄ v̄(O) + ω̄
2 2

1 1 1
2 2 2
· ·
= mv (G) + [σ(G)ω̄] ω̄ = mv̄ (G) + [σ(G)ê ê ] ωω ω
2 2 2
1 2 2

⊗
= mv (G) + [σ(G) : ê ê ] ωω ω
2 1 1
2

T = mv (G) + I ω (1.5)
ωω
2 2

Da cui si può notare che i contributi di energia cinetica non vengono mai dai momenti deviatorici.

1.5 Matrice di rotazione

Il tensore del secondo ordine è una matrice antissimetrica che consente di esplicitare il legame esistente tra diverse terne di riferimento. Dati, per esempio, due sistemi di riferimento uno inerziale Σ (u¯₁, u¯₂, u¯₃), ed uno solidale al corpo rigido (e¯₁, e¯₂, e¯₃), risulta che le proiezioni di S su Σ sono:

 
R R R
11 12 13

R R R
û = ê + ê + ê R R R
1 11 1 12 2 13 3 21 22 23
  
S
Σ
  
R R R → R
û = ê + ê + ê R R R
=
2 21 1 22 2 23 3 31 32 33
 
 
↑ ↑ ↑

R R R
û = ê + ê + ê
  
3 31 1 32 2 33 3 ê ê ê
1 2 3

Si può dimostrare anche che nel caso opposto (passaggio da Σ a S) la matrice di rotazione SΣ R è proprio la trasposta di ΣS R. S, L) Nel caso più generale a più sistemi di riferimento (Σ, e supponendo di voler ricavare L, le componenti di un generico vettore w̄ nel sistema Σ, che sia però noto nel sistema si osserva che:

L
Σ R
S LS L R
w̄ = w̄ z }| {
S
Σ S S
Σ LS L L
Σ L
L
Σ
→ R R R
w̄ = w̄ = (R w̄ ) = w̄
S
Σ S
Σ R
w̄ = w̄
L
Σ

R ottenendo così una nuova matrice di rotazione che permette di ricavare direttamente le componenti di w̄ in Σ. Le rotazioni finite devono essere moltiplicate tra loro necessariamente nell’ordine stabilito, infatti godono della proprietà associativa, ma non di quella commutativa (una successione diversa delle stesse rotazioni finite non conduce il corpo nella stessa configurazione), al contrario delle rotazioni infinitesime che possono essere sommate tra loro senza problemi (godono della proprietà commutativa).

Nota la matrice di rotazione, è possibile effettuare la ricerca di un asse di rotazione fisso per il corpo, risolvendo un problema agli autovalori. Dalla risoluzione dell’equazione di terzo grado in λ, si ricaveranno tre autovalori di cui uno sicuramente reale il cui autovettore rappresenta l’asse ricercato, e due complessi coniugati.

1.6 Teorema di Poisson

Dato un vettore qualsiasi w̄ con Σ (u¯₁, u¯₂, u¯₃) e S (e¯₁, e¯₂, e¯₃):

(w̄ = w û₁ + w û₂ + w û₃ rispetto a Σ
1 1 2 2 3 3

0 0 0
S
w̄ = w ê + w ê + w ê rispetto a S
1 1 3 1 2 3

Ricordando che le proiezioni dei versori su Σ possono essere determinati con l’ausilio della matrice di rotazione R, ed effettuando le derivate delle espressioni precedenti:

dw̄ dw̄

= ẇ û + ẇ û + ẇ û =
 1 1 2 1 3 3

dt dt
 Σ

d w̄ dê dê dê dw̄
1 2 3
0 0 0 0 0 0
 ×
= ẇ ê + w + ẇ ê + w + ẇ ê + w = + ω̄ w̄
 1 2 3 1 1 2 2 3 3

dt dt dt dt dt S

Possiamo ricavare il teorema di Poisson generalizzato:

dw̄
dw̄ × Th. Generalizzato (1.6)
= + ω̄ w̄
dt dt
S
Σ

La matrice di rotazione cambia continuamente le sue componenti nel tempo, e quindi risulta necessario capire come essa evolva, al fine di conoscere il moto del corpo note le condizioni iniziali. A tal proposito si sfrutta il teorema di Poisson congiuntamente alla definizione di derivata di un vettore:

dê_j d
 j ˙
Ṙ R Ṙ
û + û
= (R û ) = û =
 ij i ij i ij i ij i

dt dt
dê_j
 j
Σ → Ṙ ×
= û = ω̄ ê
ij i j
dt

dê_j Σ
 ×
= ω̄ ê
 j

dt Σ

Risolvendo il prodotto vettoriale ω̄ × ê_j osserviamo che il vettore colonna ottenuto può essere pensato come prodotto tra una matrice Ω di rotazione antisimmetrica a traccia nulla (le cui componenti rappresentano in questo caso le velocità angolari del corpo nella terna Σ), ed il versore ê_j:

 
−ω 0 ω
3 2
−ω × ω 0
Ω
ê = ω̄ ê = ê
3 1
j j j
 
−ω ω 0
2 1

Pertanto risulta che:

dê_j
Ṙ × × ×
= û = ω̄ ê = ω̄ (R û ) = (ω̄ û )R
ij i j ij i i ij
dt
Σ

Ṙ û = (Ωû )R moltiplicando entrambi i membri per û
ij i i ij k

Ṙ · ·
û û = [(Ωû ) û ]R
ij i k i k ij

Ṙ Rδ = Ω
ij ik ki ij

Ṙ R = Ω espandendo a tutti i versori ê
ki ki ij j

Ṙ R = Ω I Espr. Matriciale (1.7)
Σ

T
R moltiplicando entrambi i membri per:

T T T
ṘR RR → ṘR = Ω Ω =
Σ Σ

Per proiettare le equazioni del moto son

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