Appunti di Matematica (2° semestre)

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Author: davidezanini95

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Appunti presi durante le lezioni del professor Egidio Battistini, durante l'Anno Accademico 2014-15, nel Polo Territoriale di Mantova.Sono presenti in questa seconda parte, gli argomenti …

Esame Matematica

Facoltà Architettura e società

Dal corso del Prof. Battistini Egidio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2014-2015

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Estratto del documento

Matematica 2º semestre

Y = x^∞, x ≥ 0, x ∈ R.

Aumentando ∞, le parabole si schiacciano per stare di più verso l'asse X.

Curva limite (discontinua)

Y = x^m/n.

Deve essere una funzione iniettiva (il punto ammette 1 immagine), per poter fare la funzione inversa.

Y = x² non è iniettiva: x ≥ 0.

Y = x² è iniettiva se:

La funzione inversa

Y = x^1/2.

Definisco ⁺√x_'' l'unica soluzione di x = y². Assunto 4, la soluzione è 2 e non +2.

N.B.: dal 5° grado, compreso, in poi non ho formule risolutive.

Matematica 2º semestre

Y = x^∞, x ≥ 0, x ∈ R.

Quando x ➝ +∞
X² ➝ 0
X² ➝ +∞

Aumentando a, le parabole si schiacciano, restando di più verso l'asse X.

Curva limite (discontinua)

Y = x².

Deve essere una funzione iniettiva (1 punto = 1 immagine x poter fare la funzione inversa).

Y = x² non è iniettiva:

{ x ≥ 0 { y = x²

La funzione inversa

Y = 2_√(x), y: x = y².

Definisco 2_√x, unica soluzione di x = y², quindi se dessimo 4, la soluzione è 2 e non +2.

Y = x + sin x.

X = y + sin y.

NB: dal 5° grado, compreso, in poi non ho formule risolutive.

Y₂ = x^3/2.

P(0,b).

P₁(b,0).

Simmetria rispetto alla bisettrice del 1° - 3° quadrante.

α = 1.

α = 1/2.

α = 1/3.

Funzione dispari: simmetria rispetto all'origine degli assi.

Funzione pari: simmetria rispetto all'asse delle Y.

Y = x^5/2.

5/2 = 3.

Y = x^5/2 si troverà tra y = x² e y = x³.

α = 1.

α = 5/2.

α = 3/5.

α = 1/2.

α = -1.

|x| = -2.

Y = 1/x².

Y = 1/√x.

Y = sin x.

Y = cos x.

Y = tan x.

Funzioni trigonometriche

Se x è piccolo:

X ∼ tan x.

X ∼ sin x.

Sin x ≤ x ≤ tan x.

Sin x ∼ x ∼ x.

Tan x ∼ x ∼ x.

Sin ∏ periodo 2∏ ⇒ funz. dispari.

Tan ∏ periodo 1∏ ⇒ funz. dispari.

Formule

Sin²x + cos²x = 1.

Sin(α + β) = sinα cosβ + sinβ cosα.

Cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ.

Sin 2α = 2 sinα cosα.

Cos 2α = cos²α − sin²α.

X = _π/² ⇒ 2 cos²^x/² - 1 = cos x.

1 - cos x = 2 (1 - sin²^x/²).

2 - 2 sin²^x/² - 1 = cos x.

Cos x = 1 - 2 sin²^x/².

∆ = 1 - ^x²/₂.

Cos x ∼ 1 - ^x²/², x ∼ 0.

Cos(x - ^π/₂) = cos x cos(^π/₂) − sin x sin(^π/₂) = -sin x.

Y = ¹/_√(2-x).

Y = ₁/^x.

Y = ¹/_x-^π/₂.

Se vado avanti, metto ^π/₂.

Se vado indietro, metto −^π/₂.

¹/x - ^π/₂.

X = _π/₂ - x.

Funzione tangente e arcotangente

Y = f(x) { y = tan x, -π/2 < x < π/2 }.

Tan x - arctan x.

Y = f^-1(x) ⇒ x = y: x = tan y, y = arctan x.

Arctan x ≃ π/2 - 1/x, x → ±∞.

Funzione seno e arcoseno

Y = f(x) { y = sin x, -π/2 ≤ x ≤ π/2 }.

Sin x.

Y/2 - +arcsin y.

Y = f^-1(x) ⇒ x = y: x = sin y, y = arcsin x.

Funzione esponenziale e logaritmo

Y = a^x.

A > 1.

0 < a < 1.

A = 2.718182 ⇒ ex - e^x.

Y = a^x.

X ∈ R.

F: R → R⁺.

Y = f^-1(x).

F^-1: R⁺ → R.

X = a^y.

Y = log_ax.

Matematica 16-03-2015

Y = f(x).

Y = f(x) + α.

Se ho y = f(x + α).

Indietro, se α > 0.

Avanti, se α < 0.

Cos x è sin (x + π/2).

Y = α · f(x).

In 0 sono entrambi 0.

Es: y = 2 · sin x.

Es: y = 1/2 · sin x.

Raddoppio le ordinate e mantengo uguali le ascisse.

Y = f(αx). Con α = 2, prendo ogni ascissa e la dimezzo (f(x) si comprime il grafico).

Con α = 1/2, il grafico si estende, si dilata.

Y = -f(x) → cioè con α = -1.

Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ascisse.

Y = f(-x) → α = -1.

Il grafico si specchia rispetto all'asse delle ordinate.

Y = sin x.

Nel seno, f(ξ) = -f(x), che si può dire come f(x) = -f(x).

Funzione dispari.

F(x) e -f(x) sono uguali.

Sintetica p.

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