Appunti matematica 2 semestre

Funzioni in più variabili

Immaginiamo che A sia un insieme di n variabili reali. Una funzione è una qualsiasi corrispondenza univoca tra gli elementi di A e l’insieme dei numeri reali:

F: A ⊆ Rⁿ → R

z = F(x₁, x₂, ..., x_n)

Si definisce dominio naturale di F: A ⊆ Rⁿ → R il più grande sottoinsieme di R nel quale è possibile svolgere le operazioni.

Codominio: è l'insieme dei valori che può assumere una funzione al variare della variabile indipendente nel suo dominio di definizione.

Funzione di produzione Cobb-Douglas

Una funzione di produzione associa agli input produttivi Capitale K e Lavoro L il valore della produzione: Y = F(K, L).

Un esempio di funzione di produzione di tipo Cobb-Douglas è la funzione:

Y = 10K^1/2L^1/2

Il dominio naturale della funzione di produzione Cobb-Douglas è:

dom F = {(K, L) ∈ R²: K ≥ 0 e L ≥ 0}

Curve di livello

Sia F: A ⊆ R² → R. Si definisce curva di livello k di F l’insieme:

{(x, y) ∈ dom F: F(x, y) = k}

Le curve di livello non si intersecano mai. Sono curve di livello:

• Le curve di indifferenza;
• Gli isoquanti;
• Gli isocosti;
• Le isobare;
• Le isoterme.

Proprietà delle funzioni in più variabili

Una funzione F: A ⊆ Rⁿ → R si dice limitata superiormente quando esiste L ∈ R t.c. F(x) ≤ L ∀x ∈ dom F.

Sia F: A ⊆ Rⁿ → R limitata superiormente. Un punto x* ∈ dom F si dice punto di massimo globale quando F(x*) ≥ F(x) ∀x ∈ dom F.

Una funzione F: A ⊆ Rⁿ → R si dice limitata inferiormente quando esiste l ∈ R t.c. F(x) ≥ l ∀x ∈ dom F.

Sia F: A ⊆ Rⁿ → R limitata inferiormente. Un punto x* ∈ dom F si dice punto di minimo globale quando F(x*) ≤ F(x) ∀x ∈ dom F.

Estremanti locali

Sia x₀ ∈ Rⁿ. Si dice intorno di raggio ε di x₀ l’insieme:

U_ε(x₀) := {x ∈ Rⁿ: ‖x - x₀‖ < ε}

Sia F: A ⊆ Rⁿ → R. Un punto x₀ ∈ dom F si dice punto di MASSIMO LOCALE quando esiste U_ε(x₀) tale che:

F(x₀) ≥ F(x) ∀x ∈ dom F ∩ U_ε(x₀)

Sia F: A ⊆ Rⁿ → R. Un punto x₀ ∈ dom F si dice punto di MINIMO LOCALE quando esiste U_ε(x₀) tale che:

F(x₀) ≤ F(x) ∀x ∈ dom F ∩ U_ε(x₀)

Ogni estremante globale è anche locale.

Le derivate parziali

Si definisce derivata parziale di F rispetto alla variabile x la derivata prima di f: x + 2y.

F_x(x, y) = f_x(x) = 3x

Vettore gradiente

Il gradiente di una funzione F: A ⊆ Rⁿ → R è il vettore che raccoglie le derivate parziali:

∇F(x₁, ..., x_n) = [F_x1(x₁, ..., x_n) ... F_xn(x₁, ..., x_n)]

Teorema di Fermat

Siano F: A ⊆ Rⁿ → R e x₀ ∈ int A un estremante almeno locale di F. Se F è derivabile in x₀, allora:

F_xi(x₀) = 0 ∀i = 1, ..., n

Il punto x₀ è un punto stazionario.

Matrice hessiana

Sia F: A ⊆ Rⁿ → R due volte derivabile in x ∈ int A. Si dice matrice hessiana la matrice (n × n) delle derivate parziali seconde:

• In generale, la matrice hessiana non è simmetrica.
• È sempre quadrata.
• Sulla diagonale principale ci sono tutte le derivate seconde pure, il resto miste.

Minori principali

Data una matrice quadrata H di ordine n, si definisce minore principale di NW di ordine k, k = 1, ..., n, (H_k) il determinante della sottomatrice quadrata di ordine k ottenuta dall’intersezione delle prime k righe e k colonne di H.

Ottimizzazione

Può essere:

• Libera
• Vincolata

Ottimizzazione libera

Condizione necessaria: I punti stazionari non sono necessariamente estremanti. Se i minori principali di NW della matrice hessiana non sono nulli:

Se < 0 e > 0 allora X è MASSIMO locale.

Se > 0 allora X è MINIMO locale.

Se non corrisponde a nessuna di queste due catene allora x è un PUNTO DI SELLA.

Ottimizzazione vincolata

Siano F: A ⊆ Rⁿ → R, G: A ⊆ Rⁿ → R, i = 1, ..., r < n, il problema di ottimizzazione vincolata è tale che il numero di vincoli è minore del numero di variabili.

Teorema di Lagrange

Condizione necessaria: Se il determinante della matrice hessiana della funzione lagrangiana è positivo si ha un punto di MASSIMO LOCALE. Se il determinante della matrice hessiana della funzione lagrangiana è negativo si ha un punto di MINIMO LOCALE.

Calcolo finanziario

Contratti che prevedono scambio di somme di denaro nel tempo:

• Mutui
• Prestiti personali
• Crediti al consumo
• Leasing
• Obbligazioni

Operazioni di capitalizzazione

Una somma di denaro disponibile oggi viene scambiata con una futura certa (es: acquisto di un BOT). Elementi:

1. Capitale iniziale (C)
2. Montante (M), M > C
3. Durata (T) è data da t - t₀

Operazioni di attualizzazione

Una somma di denaro disponibile in futuro e certa viene scambiata con una somma disponibile oggi (es: sconto di effetti). Elementi:

1. Nominale a scadenza (S)
2. Valore attuale (A), S > A
3. Durata (T)

Interesse e sconto

Interesse = I = M - C > 0

Sconto = D = S - A > 0

Modelli di capitalizzazione e attualizzazione

• Modello Additivo: M = C + I e A = S - D
• Modello Moltiplicativo: M = C × f e A = S × f

Il montante è direttamente proporzionale a C. A è direttamente proporzionale a S e deve essere sempre minore di S. Gli interessi dipendono dalla durata.

M = C + I(t) = M(t). Il montante dipende dalla durata M(t) = C × f(t).