Appunti di Laboratorio di Automatica

Sistema dinamico

Il SMALL 0,45: DEFAULT 0,75: BOLD 0,90: sistema dinamico.

Il concetto di sistema dinamico è una relazione matematica tra ingressi, le cause, e grandezze in uscita, gli effetti. Le grandezze in ingresso si possono usare e manipolare in vari modi. A prescindere dal tipo e dalla natura delle grandezze, si può sempre esplicitare la relazione matematica relativa del sistema dinamico.

Si illustrano i "modelli fisici" che possono creare infiniti comportamenti di sistemi, anche di natura diversa tra loro. Per esempio, uno stesso rapporto matematico tra grandezze in ingresso può presentarsi in un sistema elettrico, in uno statico, in un fluido, meccanico o dinamico. Dunque questi tre sistemi fisici sono descritti da uno stesso sistema. Può succedere anche il contrario.

fctAo ))0 t mmmR "^ >- )get htt)-= c vct)→ 0 Oo _ Il // 11//) INPUT ict Ct) INPUT fct9 ) input:: : output htt )) OUTPUT output vct vct):: : fzvct# httcoadzvct 9ft )) flt Che e- µ ))Ao) = = funzionamento.

Come al contrario si può pensare, esempio. Questo autoveicolo è un sistema complesso, un sistema descritto contenente sistemi che, a partire da vari input, restituiscono un unico fattore di diverse uscite tra loro: accelerazione, velocità, posizione, etc...

Se definito è sistema dinamico, lavora per un continuo intervallo di tempo e in maniera non discreta. Parlasi di sistema dinamico se le variabili contenute vengono modificate nel tempo. Viceversa, se i parametri non si sono, il sistema dice stazionario. Il sistema stazionario è di natura fissa.

Differenza tra processo stazionario e non stazionario

La differenza è che un processo stazionario fa corrispondere sempre uno stesso input ad uno stesso output in ogni tempo. I processi non stazionari no.

Un esempio di sistema dinamico è l'algoritmo del calcolo per la radice di un numero: stima.

)YCK all'iterazione di K a: e l'? algoritmo 1) è) ) 1,2( 12=0 ylkt YCK Kyta= - ., ., . ferma Ta Ta) 2) che (si ad )YCK gente ta→ a= a == - Mr output.

L'output si dice punto di equilibrio del sistema. Una configurazione di equilibrio mantiene in lui gli che viene impostata o genera.

Ingressi e disturbi

Disturbi ingressi e: un sistema dinamico può subire interferenze.

• Calcolabili, isolabili, ma non dovute a proprietà fisiche dell'ambiente in cui ci si trova. Molto spesso queste interferenze si sommano agli input del sistema dinamico e sono costanti che possono essere eliminate o non alterate; tale è la definizione di disturbo.
• Anche sistemi dinamici con disturbi possono rimanere o tornare in stato di equilibrio.

In alcuni sistemi le condizioni iniziali adoperati potrebbero "contenere qualcosa" in più, probabilmente dovuti a valori in eccesso, dovuti ritardati al comportamento del sistema. Nell'esempio dell'integrazione tramite metodo dei trapezi, le "condizioni iniziali" possono non essere valori dell'uscita ritardata derivata 1.

Modello in classi di età

Modello classi di età: Xi individui della i-esima classe all'anno K; Gi tasso di fertilità della classe i; tasso di sopravvivenza della classe i; dopo la classe n si esce. Nelle classi totali l'uscita y è il numero di individui che esce.

( ) X2Xi di )lett )X ( K CKX2 and Xpt t= t, e. .. .

Dato T, il numero dei nuovi individui è prodotto dalla fertilità: il tasso di ogni classe, somma degli individui. Il numero degli individui al secondo anno è dato da XzXz [ )kt ( K <= individui tra predetto il tasse di sopravvivenza per numero z.

lo E e XnOn )( (Xn ) K ehtt = -1i- dalla è Y data. L'uscita è data dalla somma di tutti gli individui in K.

) XZCKY )( anni Xp K )(Xnt Kt <t ,= classi di tutte... In forma matriciale: .-( -)X. lett B D0 Niente andi= uia. - - e2 ,,-6 0 spariscono O. .Ó . .. . )XCKfa O. . .. .. '' i.; ..e . i:- En0 O -100 .-[) ] )(1( K11lettb. ×-= -- .

Forma standard e stato

Lo stato e la forma standard prendendo espliciti in un sistema elettrico, in esempio, abbiamo la tensione dal generatore e la tensione sull'induttore.

R uct-R.ictttl.fr )icttensione Ulti: dal generatore. ^§I 'uct )L Yct uct Roi CHyct tensione yct ))) :=> - induttore sull' v- 0 tfuct[ SiX. Budunque ) A(f) Xct )i × += - =~ LY DuCit>a)((f)Rx tYCTI ✓+> = -TU.

Ingresso I. U5.: stato uscita, forma standard, s, Ictci comportamento )predire che di il si accorge per iniziali delle condizioni yct ) necessarie ed sono fornite. Queste )(da X to univoche ci vengono.

Nell'istante passato lo stato Xct separa ogni futuro nel senso: Xct riassume tutto ciò che del passato mi occorre per predire il futuro. Conoscere questo stato permette, come in questo caso, di calcolare le possibili altre condizioni di uscita.

Questa definizione generale però non copre tutti i sistemi dinamici e non permette di predire il comportamento di una parte dell'uscita. Lo stato introdotto potrebbe essere ignorato.

Sistema statico e sistema lineare

Sistema statico: un sistema statico è un sistema senza stato. DuLa sua equazione riduce il rapporto tra y ed s a input/output istantaneo.

Sistema lineare differenziale BICI ) }{ i [sistema tempo sia A di Isv a=: un (IR [ y )]y continuo t' cdo = discreto T I. algebrica=membro. Se il membro destro di entrambe le equazioni è funzione lineare di X e U, il sistema si dice lineare.

Notazione grafica dei sistemi SIMULINK: D> somme ict+ ") xct) l outputtB C sosso= >o "^ulti t )yltt^ A < t operazioni input loop.

Sistemi stazionari e sistemi non lineari

I sistemi stazionari producono risposta stessa, indipendentemente dal tempo, invariante. A livello grafico questi sistemi producono rappresentazioni grafiche identiche ad ogni iterazione, ma traslate di un cit.

Il modo più facile per ottenere un sistema stazionario è adoperare ingressi costanti ed eliminare i possibili disturbi.

ultiUlti ulti )^ uct)uct I sistemi lineari non BICI )citabili { i tutti sistemi [ A espiinoni come = (f)[lineari DI si dicono dati Csononon e =f-da x.{ se ci sono potenze di Xiv= non, ..)

Rappresentazione black box

La rappresentazione del sistema dinamico "black box": PUTS il OUTPUTS sistema )YictUn )Ct dinamico o>) variabili Stati> )Uzct yzctocon Xp tempo nel Xn-- .. _ ., . .. ))Umct ymcti> ^.

Il contenuto non conosco, ma tipicamente mette in relazione ingressi ed uscite IX. Axt Bv={ DuCXy t=.

Problemi di modellazione

La vera natura matematica della modellazione dei sistemi: problemi di modellazione. Quando si propone un modello per un determinato sistema dinamico è necessario porsi alcuni quesiti?

• 1 Esiste somiglianza tra modello e fisica?
• 2 Quale livello di precisione mi occorre?
• 3 Sono equivalenti le forze? C'è corrispondenza tra i simboli?
• 4 I domini sono esplicitati.

Sistemi dinamici multipli

Sistemi dinamici multipli: se avessimo un sistema composto da componenti di natura diversa, ad esempio un motore elettrico, i suoi componenti provenienti sarebbero da domini diversi.

B+ != != sono fine §" . .ilti -EM JCina) ==km - == --a- Dominio elettrico, dominio meccanico, motore s> graph.

Bond graph

Il linguaggio dei bond graph: il linguaggio dei blocchi è molto importante. Non è solo un linguaggio grafico, bensì un linguaggio computazionale che permette di lavorare con le equazioni dei sistemi dinamici.

È rilevante il fatto che un singolo blocco può rappresentare un modello fisico di un sistema anche di natura diversa.

Bond graph 01: in generale quello che si va a modellare sono gli scambi di potenza. Le possibilità di scambio di potenza sono finite e sempre ricorrenti.

Facciamo un esempio: potenza = energia al differente tempo. metershaftdrive ✓✓ < missioni trans potenza flusso sforzo Ooo = . Shaftnaif ^ )( )(f- vwheel< -- bili di potenza aria oggetto in bond Rolling cui scorre la potenza Resistance to we. Half Shaft Fa -FR Te WZ TTTi.

In differenti Transmissienwn Motor Vehicle Shaftal Drive Mass w w, ,23 W3FzFw Half Shaft-Oppcsing ns% Weight Wheel due incline to road.

Modello ideale elettrico e fluido

Il modello ideale del elettrico fluido: possiamo definire una analogia elettrica-fluida.

• La corrente, in Ampere (A), è come un flusso liquido.
• La tensione, in Volt (V), è come una pressione.
• La corrente va verso il punto a tensione più bassa.
• Un generatore crea corrente verso un punto a tensione più alta.

Si può pensare ad un conduttore come un tubo in cui scorrono particelle cariche.

• Le particelle scorrono per "differenza di pressione" pzP > tra Pz e Pala, creando una zona di intensità di flusso iuni. Questa si dice tensione.

L'intensità è data da numero di particelle i = tempo di osservazione.

La corrente scorre da componenti attivi a passivi. Ad esempio, fluisce corrente da una batteria elettrica ad una resistenza.

R )estremi (Agli ladi resistenza MMM una "quella alta" dal più capo a bassa fluisce corrente verso R0hm, relazione ilapiù ale ±: -a-e. Dove R è la costante di resistenza specifica.

-Bipolari RO passivo tt -ti § -. .§ Bi polo t- - ti ti Attivo §B.

Poli attivi

Poli attivi: i poli attivi sono gli elementi attivi forzanti del flusso, portando il flusso da stato inferiore a superiore, in termini di tensione.

Esistono 2 tipi di bipoli attivi.

• Sorgenti di corrente, che forniscono stessa corrente ai capi v, indipendentemente dalla tensione. Si indica nei bond graph con Flow [ ] oppure → -Ss. Tensa.
• Sorgenti di tensione, che si indicano con se, generano sempre una stessa tensione effort ][ t-. oppure t-.

Le sorgenti di tensione, quando spente, si comportano come semplici conduttori. Altri simboli per sorgenti di tensione sono: - t t-- i 11 1 I.

Potenza nei circuiti elettrici

Potenza elettrica in circuiti: P f È Voi. Avevamo definito e = =. È importante ricordare che le sorgenti di tensione reale, quando sfruttate al massimo, al punto in cui viene richiesta massima corrente, dopo un certo punto tendono a cominciare a fornire una tensione sempre più bassa. Eventualmente la tensione si azzererà.

Dunque, a differenza della realtà grande tensione k, noi utilizzeremo generatori ideali di tensione che forniranno stessa tensione per qualsivoglia corrente richiesta.

Poli passivi

131 Poli passivi: di elementi circuitali, i poli passivi sono quelli che non generano tensione o corrente, ma sono semplicemente attraversati da essa.

Questi componenti passivi sono attraversati da corrente. Poiché senza una e con il punto, indichiamo la derivata positiva dal polo positivo a quello negativo. La potenza assorbita è data da e =.

Viene indicato dal simbolo: - -+ -Va VB>e.

Esistono 3 tipi di poli passivi.

• Resistenza R, componente + che -, dissipa potenza sotto forma di calore.
• Condensatore C, componente + che -, accumula energia sotto forma elettrostatica.
• Induttanza, componente che t- -, llllll accumula energia sotto forma elettromagnetica.

Poiché potenza = sforzo flusso, accumulare potenza significa sostanzialmente accumulare sforzo o flusso: condensatore o induttanza. La resistenza non accumula nulla e viene detta componente statico, poiché risponde sempre allo stesso modo.

Questo componente non ha stato o memoria. Il componente R è descritto da: Flow{ RoRoeffort l'{ indice di è; %= -Flow Rostanza11 effortRo -.=

Componenti con memoria

Per descrivere le componenti altre due sono necessarie altre due grandezze: qcti-otfltldz-siqct.tt{ )( spostamento ) dispacement :( pict momento momenti fate )pct )) dz ect→: =(E)=.

Dunque i componenti dotati di memoria possono e sono determinati con una rappresentazione di stato. La seguente è dei componenti c: cicli I5- 9 e fct )1 =