Appunti di Idraulica

Principio di conservazione della massa

Pensiamo a un elemento di fluido (liquidi, gas) che si muove lungo una traiettoria, e si assiste a una variazione del volume. Se questo elemento di fluido è composto sempre dello stesso numero di molecole, che cosa è che non varia? Quello che non varia è la massa.

Derivata parziale e variazione di grandezze

Come possiamo esprimere il fatto che una grandezza non varia quando questa grandezza è a cavallo di una particella in movimento? Quando facciamo riferimento ad una derivata parziale di una qualunque grandezza b:

Es: ∂b/∂t → lim_Δt→0 [b(x + Δx, t + Δt) - b(x, t)] / Δt + Δx

Noi non facciamo altro che pensare al limite del rapporto incrementale di questa grandezza, ossia, stiamo individuando un punto fisso dello spazio, il modo con cui questa grandezza in questo punto varia.

Esempio sulla variazione della temperatura

Stiamo guardando come cambia una grandezza in quel punto nello spazio. Come cambia la temperatura di una palla di cannone in movimento? Una palla di cannone in movimento sarà caldissima in prossimità del punto A, perché man mano che si allontana si raffredderà. Quindi noi stiamo andando a fondo nella variazione nel tempo di una grandezza, parlando della variazione della temperatura a cavallo della palla di cannone e stiamo parlando della variazione della massa a cavallo di questa particella in movimento.

Derivata totale e legge del moto

Allora, qui non abbiamo a che fare con una derivata parziale, ma con una derivata totale (derivata sostanziale), dove la derivata materiale sostanziale procede in coincidenza non solo con la legge del moto (passiamo nello spazio della particella a cavallo delle quale assistiamo alla variazione delle grandezze). Allora scriveremo:

lim_Δt→0 [b(x + Δx, t + Δt) - b(x, t)] / T + Δt

Espressione del principio di conservazione delle masse

A questo punto posso esprimere il Principio di Conservazione delle Masse come:

dM/dt = 0

Da questa formulazione esplicita, vediamo se ci sono delle leve in cui questo concetto viene espresso come un principio della conservazione della massa. Poi la massa posso definirla così:

H = ∫ f(x, t) dV, p = densità

Massa riferita ad un elemento di fluido dal volume definito. A sua volta, la densità è espressa come una funzione della variabile indipendente espressa in termini di un sistema di riferimento (cartesiano) e nel tempo.

Corso d'Idraulica 1/03/16 Aula 38 Lezione 1 Prof. Galleanno

Secondo esempio di derivata parziale

Pensiamo a un elemento di fluido (liquidi, gas) che si muove lungo una traiettoria, e si assiste a una reazione di velocità. Se questo elemento di fluido è composto sempre dallo stesso numero di molecole, che cosa è che non varia? Quello che non varia è la massa.

Come possiamo esplicitare il fatto che una grandezza non varia quando questa è a cavallo di una particella di un determinato? Quando facciamo riferimento ad una derivata parziale di una qualunque grandezza b:

Es: d/dT → lim_ΔT→0 [b (x+Δx, T+ΔT) - b (x, T)] / ΔT

Noi non facciamo altro che pensare al limite del rapporto incrementale di questa grandezza, ossia, stiamo individuando un punto fisso dello spazio, il modo con il quale questa grandezza in questo punto varia.

Esempio: Stiamo guardando come cambia una grandezza in quel punto nello spazio. Come cambia la temperatura di una palla di cannone in movimento? Una palla di cannone in movimento sarà caldissima nel posarsi del punto A, però man mano che procede si raffredderà. Quindi, stiamo già parlando della variazione nel tempo di questa grandezza, parlando della variazione della temperatura a cavallo della palla di cannone e stiamo parlando della variazione della massa a cavallo di questa particella in movimento.

Derivata totale e conservazione della massa

Allora qui non abbiamo a che fare con una derivata parziale, ma con una derivata totale (derivata sostanziale), dovendo la derivata materiale sostanziale l'obbligazione di procedere in coincidenza anche la legge del moto (passaggio nello spazio della particella a cavallo della quale assistiamo alla variazione della grandezza). Allora scriviamoci:

lim ΔT→0 {b (x+Δx, T+ΔT) - b (x, T)} / (T + ΔT)

A questo punto posso esprimere il Principio di Conservazione delle Masse come:

dM/dT = 0

Da queste formulazioni esplicitate, vediamo che un principio della conservazione della massa è stato espresso.

Poi la massa posso definirla così:

H = ∫∫∫ p (x, T) dV, p = densità

Massa riferita ad un elemento di fluido dal volume definito. A sua volta, la densità è espressa come una funzione della variabile indipendente espressa in termini di un sistema di riferimento (cartesiano) e nel tempo.

Quindi, il primo modo con il quale forniamo la derivata sostanziale della massa, è che la derivata sostanziale...