Campi scalari e vettoriali
e w ≤ R2
Prodotto scalare
a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3
(ta) · b = t(a · b)
(a+b) · c = a · c + b · c
Prodotto vettoriale
a x b =| a1 a2 a3 || b1 b2 b3 || i j k |
Permette scomporre in prodotto scalare e somma: (a x b) x c = (a · c)b - (b · c)a
Uniforme se non uniforme
Classificazione
Calcolo al vettoriale di un vettore A lungo una linea chiusa γ che ha come vettore tangente τ un verso prefissato:
- Linea su flusso nullo
- Concatenazione nulla
- Integrazione nulla
Circolazione
La circolazione è legata allo vortice del fluido.
Flusso
Di un vettore A attraverso la superficie A si introduce in un verso assegnato:
ΦA = ∫A A · nd A
Captatura del vetore proiettato di n [M3/S] Portata
X1; e W ⊆ R2
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2
a3 b3 a3 b3
a(ã) = (xi) t
Uniforme se non uniforme
Prodotto vettoriale
a × b = -b × a (ax) = xaca, b, b, 0, a, c
Prodotto monometrico
Prodotte scintbratter prodotte con somma (b2 c)a × (b + c) = a × b + a × c
Compo in deradio
Circolazione
Di un vetere è lungo una lingua chiusa C integrale = L = ∑C k ∫Ö a · c d
Linee di flusso padolle
Vortice
La cirrutisone è latta allo virtusce del fluido.
Circrutote con
Flusso
Di un vetere a attraversa la superficie A si niducde in un vetere osservato a in A
ΦA = ∫∫A as an dA
Caderconda dell'étoreortiale da M[M3S]PORTATA
Flusso videttore à attraveso la superficie ℑA
Divergenza
Sorgentepuntiforme volumeda piccolissimo da volume uniforme
fu del v-divdiv
Per un versore non cambia segno ≡ solo ombra
importasorgente dvo > v ex > 0
Quando div = 0 campo solenoidale
Le linee di flusso sono sempre chiuse
Rotore
limA->0A-1∫nxÂdÂ=rotÂ
Consideriamo le componenti perpendicolare ai Ai
∫ni·τ1dα+limA->0∫ÂinxÂdÂ
Lungo μ il rotore è massimo.
Il rotore rappresenta l'intensità di vortice
se rotore obliqua camporotazionale
Le lineecircolazione del lungo linea
Gradiente
∮A Φ n̂ dA = gradΦ
Teorema di Gauss
∫A a̅ n̂ dA = ∫WA div a̅ dV
Teorema di Stokes
∮A a̅ . τ̂ dℓ = ∫a̅ rotā n̂ dA
Note
(operatore di Hamilton)
rotā =∇ × ā
gradΦ = ∇Φ
per un grad-f
div ( grad φ) = ∇ . ∇φ = ( ∇ . ∇ ) φ = ∇2 φ
In coordinate cartesiane ortogonali
fincoiona integrale all’intk Δx3 j Δx2 i Δx 1
( x3, y2, z3 )
lim Δvi →0 1/ Δx Δy Δz [ i Δ ( i ) Δ Δ ( i Δ( i )Δ Δ ]
lim Δvi →0 ( i Δ ) ( i Δ ) Δ= ∂ ( Fi ) ∂x 1= ∂ ) j ∂y k ∂z
divφ = ∇ . ∇2 = ∂x ∂y + ∂z = Σ 1 ∂αi . i - ∂αi.a y1 - x2 x1 y2 (scrivi di sopra e sotto) = t indice mutravi prega scrivere nella somma in un collegare e il primo margintoroto:
= ∇ x ∇ φ= i ( ∂α / = j(∂x 2∂y 2) ∂x j(∂x 1) ∂z
gradφ = ∇ φ = ∂φ , ∂φ ∂φ , ∂φ .= i ∂x + j∂y
div ( grad φ ) = ∂ 3 1 = Σ j ∂z - ∂z ∂x , α → ∂α i / ∂x
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