Appunti di Elettrotecnica

Messina Antonio Emmanuel - Politecnico di Torino 2021-2022

Elettrotecnica - Appunti Elettrotecnica

Elettrotecnica 2021-2022 - Emmanuel Messina

Indice

• Introduzione all’analisi dei circuiti
  • Analisi dei circuiti
  • Approccio circuitale
  • Circuiti a parametri concentrati
  • Leggi di Kirchhoff
  • Potenza elettrica
  • Classificazione dei bipoli
  • Circuiti elementari
  • Connessione in serie e in parallelo
  • Partitori di tensione e corrente
• Analisi nodale e amplificatori di circuiti
  • Leggi di Kirchhoff in forma matriciale
  • Teorema di Tellegen
  • Metodo dei nodi
  • Metodo dei nodi con generatori di tensione
  • Metodo dei nodi con generatori dipendenti
  • Generatore di tensione non connesso al riferimento
  • Amplificatore operazionale
  • Amplificatore operazione ideale
  • Analisi nodale
• Teoremi fondamentali
  • Linearità
  • Teorema di Millman
  • Principio di sovrapposizione degli effetti
  • Principio di sostituzione
  • Teorema di Thevenin
  • Teorema di Norton
  • Calcolo delle resistenze equivalenti in presenza di generatori controllati
• Circuiti dinamici
  • Condensatore
  • Induttore
  • Circuiti dinamici del primo ordine
  • Metodo sistematico
  • Risposta transitoria e permanente e significato fisico della costante di tempo
  • Carica e scarica di un condensatore
  • Circuiti del primo ordine con ingressi costanti a tratti
  • Circuiti di ordine superiore al primo: secondo ordine
  • Equazioni di stato in un circuito superiore al primo
• Regime sinusoidale
  • Circuiti con generatori sinusoidali & fasori
  • Proprietà fasori
  • Impedenza e ammettenza
  • Impedenze in serie e in parallelo
  • Reattanza e suscettanza
  • Metodo simbolico dei fasori
  • Analisi nodale, sovrapposizione, Thevenin & Norton
  • Potenza in regime sinusoidale
  • Potenza reattiva e valore efficace
  • Potenza complessa

Capitolo 1: Introduzione all’analisi dei circuiti

Analisi dei circuiti

I sistemi elettrici sono basati sull’elettricità, ovvero l’insieme di quei fenomeni che coinvolgono cariche elettriche. Si classificano in S.E per l’informazione, che si occupano del trattamento di segnali elettrici, e S.E per l’energia, che si occupano del trasporto di energia. La presenza di cariche elettriche porta sempre fenomeni elettromagnetici. Per studiare tali fenomeni servono:

• Grandezze
• Relazioni costitutive dei materiali
• Equazioni di Maxwell

Grandezze

• E(x,t): campo elettrico, determinato da una distribuzione di cariche
• D(x,t): induzione elettrica determinata dall’interazione di E con un materiale elettrico
• H(x,t): campo magnetico determinato dal movimento di cariche
• B(x,t): induzione magnetica, determinata dall’interazione di H con un materiale magnetico
• J(x,t): densità di corrente di conduzione

Relazioni costitutive

Per i materiali isotropi (ovvero che si comportano ugualmente in qualsiasi direzione, il contrario è anisotropi), i parametri sono quantità scalari. Se i materiali hanno proprietà di linearità, permanenza e omogeneità, allora i parametri non dipendono dallo stato elettromagnetico, dal punto e dal tempo e sono descritti da costanti scalari.

Approccio circuitale

Nell’approccio circuitale, date tutte queste considerazioni, si fanno delle semplificazioni per trattare il problema.

• Le grandezze vettoriali sono sostituite da grandezze scalari (V tensione, I corrente)
• Le equazioni di Maxwell sono sostituite dalle leggi di Kirchhoff
• L’ambiente è rappresentato da un elemento circuitale

Definiamo circuiti elettrici, insiemi costituiti da elementi circuitali connessi tra loro e descritti da tensione e corrente. L’approccio della teoria dei circuiti implica che si impongano delle limitazioni:

• Frequenze di lavoro basse (campi e.m. lentamente variabili, condizioni stazionarie e quasi)
• Natura dei componenti (ogni elemento presenta un solo fenomeno)

Corrente

La corrente è un movimento ordinato di cariche elettriche. Preso un certo numero di cariche attraverso una sezione di un cilindretto, abbiamo in un istante di tempo:

• L’intensità è indipendente dalla sezione scelta
• Si misura in Ampere
• La scelta del verso è arbitraria

Tensione

Il campo elettrico compie lavoro sulle cariche. Se prendiamo in considerazione una carica che si muove da a a b lungo una linea, in condizioni stazionarie il lavoro non dipende da tale percorso, ma la variazione dell’energia è legata al potenziale. Definiamo la tensione come l’opposto della variazione di potenziale. La tensione si misura in Volt.

Anche in questo caso la scelta del verso può essere arbitraria.

Circuiti a parametri concentrati

Gli elementi circuitali hanno un terminale con cui comunicano con il mondo esterno e con cui possiamo connettere tra di loro. Un elemento circuitale ideale con due terminali si chiama bipolo, in cui:

• L’intensità di corrente di un terminale è in ogni istante pari a quella dell’altro terminale
• La tensione tra i due terminali è indipendente dal percorso scelto

Ci sono due convenzioni di riferimento: la convenzione dell’utilizzatore e quella del generatore. In quella dell’utilizzatore si nota come si entra dal lato positivo, al contrario di quello del generatore che entra dal negativo. Ci sono elementi più complessi, ovvero i multipoli, ovvero con più terminali. Si andrà a considerare la corrente in ogni terminale e la tensione tra coppie di due terminali.

Un circuito elettrico è l’interconnessione di più elementi circuitali. Lungo le interconnessioni non ci sono fenomeni elettromagnetici, il potenziale è costante e quindi le interconnessioni non compiono lavoro. Le variazioni di energia sono solo negli elementi circuitali.

Leggi di Kirchhoff

Un po’ di definizioni:

• Nodo: punto in cui sono connessi due o più terminali (a, b, c)
• Sequenza chiusa di nodi: sequenza di nodi che forma un percorso chiuso (a->b->d->e->a). Se uno dei nodi compare più volte non si ha una sequenza chiusa.
• Maglia: percorso chiuso che non contiene altri elementi al suo interno; ci si muove tra bipoli senza lasciare nessuno all’interno, altrimenti si ha un anello. A sinistra la maglia, a destra l'anello.

Legge di Kirchhoff per le correnti (KLC)

La somma algebrica delle intensità di corrente in un qualsiasi nodo è uguale a zero istante per istante per il principio di conservazione della carica. Per somma algebrica si intende la somma che tiene conto del verso e in base al verso si cambia il segno degli operandi.

• Si può definire l'eguaglianza tra la somma delle correnti entranti e quella delle correnti uscenti.
• I versi sono scelti arbitrariamente.
• In alcuni casi conviene piuttosto che scegliere i nodi, scegliere una superficie S.

Legge di Kirchhoff per le tensioni (KVL)

La somma algebrica delle tensioni lungo una sequenza chiusa di nodi è uguale a 0. Anche essa deriva dal principio di conservazione e valgono le stesse osservazioni di prima per somma algebrica e verso di percorrenza.

Potenza elettrica

Si definisce potenza istantanea assorbita da un bipolo, l’energia assorbita nel tempo. Si misura in Watt. La formula di prima è espressa per la convenzione degli utilizzatori (si notava anche dal disegno), situazione diversa è per la convenzione dei generatori per cui si aggiunge un meno.

Generalmente: se p(t)>0 l’energia è assorbita dal bipolo, se p(t)<0 l’energia è erogata dal bipolo.

Da notare come la potenza assorbita e quella erogata siano uguali e opposti di segno.

Energia elettrica e passività

L’energia elettrica assorbita da un bipolo in un intervallo (t1, t2) è:

• Se tale integrale tra -infinito e t è >=0 allora si definisce bipolo passivo e non può erogare più energia di quanta in precedenza ne abbia assorbita.
• Altrimenti si dice attivo.
• Se è solo >0 allora è strettamente passivo.

La somma algebrica delle potenze istantanee assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante.

Classificazione dei bipoli

Il comportamento di un bipolo è descritto da una relazione costitutiva che sul piano è raffigurata come curva caratteristica.

• Lineari vs non lineari
• Dinamici vs a-dinamici: Dove per dinamici se la relazione è differenziale, a-dinamici se è algebrica
• Attivi vs Passivi
• Tempo invarianti vs Tempo varianti: dove dipende dal fatto se variano o non variano nel tempo

Bipoli a-dinamici lineari

Il legame tra tensione e corrente è di tipo algebrico: av(t) + bi(t) + c = 0. F(v, i) = 0, a, b, c sono costanti.

• C=0 si ha un resistore
• B=0 si ha un generatore di tensione
• A=0 si ha un generatore di corrente

Resistori lineari

v(t) = Ri(t) - Legge di Ohm, dove R è la resistenza che si misura in ohm. Un resistore è rappresentato così, dove affianco abbiamo il grafico del legame tra tensione tra v e i con R coefficiente angolare. i(t) = Gv(t), formula inversa con G l’inverso della resistenza ed è chiamato conduttanza. Il resistore è un bipolo passivo. La legge di Ohm per la convenzione dei generatori è:

Generatori indipendenti

Generatore ideale di tensione: è caratterizzato da questa relazione v(t) = e(t) dove qualunque sia il valore i(t) possiamo avere v(t) = una funzione qualsiasi ad esempio “4sin(5t)”. Possiamo avere quindi una tensione e(t) indipendentemente dalla corrente. Nel caso in cui e(t) = 0 abbiamo che v(t) = 0 e quindi V(A) - V(B) = 0 per definizione e quindi ancora i punti A e B hanno lo stesso potenziale. Abbiamo un corto circuito che per definizione è un generatore nullo in cui la tensione è nulla ma si ha qualsiasi valore per la corrente. Dato un resistore quanto dovrebbe valere R per avere un corto circuito? v(t) = Ri(t) per la legge di Ohm ma in questo caso v(t) = 0, i(t) assume un valore qualsiasi e quindi R = 0!

Generatore ideale di corrente: Presenta un comportamento duale al generatore prima descritto ma basato sulla corrente. i(t) = a(t) per ogni v(t), possiamo avere una corrente indipendentemente dalla presenza o meno di tensione ora.

Analizzando il caso particolare ovvero a(t) = 0 e quindi i(t) = 0, dato un resistore che ha i(t) = Gv(t) per essere uguale a 0 esso dovrà avere G = 0. Si parla in questo caso di circuito aperto e si ha G = 0 e di conseguenza R = infinito.

In sintesi

• R = 0 corto circuito
• G = 0 circuito aperto

Generatori dipendenti (pilotati)

Ci sono due tipi di generatori dipendenti:

• di corrente
• di tensione

Essi dipendono entrambi da una grandezza pilota che può essere sempre o di corrente o di tensione. Abbiamo quindi:

Generatore ideale di tensione: impongono che la tensione dipenda da un’altra grandezza pilota.

Generatore ideale di corrente: impongono che la corrente dipenda da un’altra grandezza pilota.

I circuiti aperti e corto circuiti sono utili per descrivere gli interruttori. Si nota a sinistra come l’immagine in cui l’interruttore è aperto rappresenti un circuito aperto, mentre quando l’interruttore chiude si ha un corto circuito.

Circuiti elementari

Dove a sinistra è presente un generatore di tensione e a destra un generatore di corrente. Analizzando il primo caso, la tensione ai capi vale v(t) (l’immagine è sbagliata), se applichiamo la KVL in a->b->a otteniamo che:

v = e + v - e = 0

Questo però vale nel caso in cui abbiamo la convenzione degli utilizzatori come in questo caso, nel caso in cui avessimo la convenzione dei generatori il segno chiaramente sarebbe opposto:

v = -e - v - e = 0

Calcolando le grandezze disponibili avremmo:

• La corrente attraverso il resistore: i = v/R (Per Ohm) ma v abbiamo detto che è uguale a e per gli utilizzatori e a -e per i generatori e quindi la formula finale è: i = e/R. La e cambia di segno solo se cambiamo anche il verso della corrente in quanto in questo caso avremmo –(-e)/R.
• La corrente attraverso il generatore: i = i = v/R = e/R. Questa si calcola usando la KCL nel nodo tra generatore e resistore dove i è la corrente e che parte dal generatore, i è quella che entra nel resistore.
• La potenza assorbita dal resistore: P = v * i = e * e/R = e²/R (Conv. Utilizzatori)
• La potenza assorbita dal generatore: P = -e * i = -e²/R (Conv. Generatori)

Connessione in serie e in parallelo

Si dicono connessi in serie se hanno un terminale in comune e a quel nodo non è connesso nessun altro bipolo. Sono connessi dalla stessa corrente. Due bipoli si dicono connessi in parallelo se hanno due terminali in comune. Nel caso di più bipoli: v(a) = v(b) = … = v(n). Possiamo ridisegnare il circuito come se fossero legati tutti in un solo punto. Se applichiamo la KCL in quel punto otterremo che la i presente ai capi è:

i = i1 + i2 + i3 + … + in e questo vale per i bipoli in parallelo. Per quanto riguarda i bipoli in serie si applica la KVL e si ottiene l’analogo risultato ma con v:

v = v1 + v2 + v3 + … + vn

Connessione di resistori

Dato un circuito, possiamo semplificarlo per calcolare meglio. Se abbiamo dei resistori in serie o in parallelo, possiamo sostituire il circuito con uno equivalente. Si ha un circuito equivalente se si ha la stessa relazione.

Connessione di resistori: serie

Utilizziamo la KVL e per quanto detto prima e per la legge di Ohm:

v = v1 + v2 + v3 = i (R1 + R2 + R3)

Se consideriamo l’altro circuito a destra:

v = Ri

Questi bipoli sono equivalenti se:

R = R1 + R2 + R3 + … + Rn

Connessione di resistori: parallelo

Usando la KCL e la legge di Ohm:

i = i1 + i2 + i3 = v (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)

Considerando il circuito a destra:

i = v/R

Per fare in modo che essi siano equivalenti allora abbiamo:

1/R = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3

Oppure G = G1 + G2 + G3 + … + Gn

Notazione: Indichiamo n resistenze in parallelo così R1 || R2 || R3 || … || Rn

Nel caso di due resistenze in parallelo:

Questo vale solo se si hanno due resistenze! Da tre in poi questa roba non vale!

Generatori di tensione in serie

Due bipoli sono equivalenti se hanno la stessa relazione. Si applica KVL e legge di Ohm:

i = v/R = e1 + e2/R

Per quanto riguarda l’altro circuito:

i = e/R

Per e = e1 + e2 + … + en fare in modo che siano equivalenti.

Generatori di corrente in parallelo

Applicando KCL i = a1 + a2 e usando Ohm:

v = R(a1 + a2)

La a del circuito equivalente deve essere uguale ad a1 + a2 + a + … + an

Partitori di tensione e corrente

Regola del partitore di tensione

La R del circuito equivalente è R = R1 + R2 + R3, la v per la KVL è = e, applicando Ohm abbiamo:

Per calcolare le tensioni del circuito a sinistra avremo:

...

E così per tutti gli altri.

Questa regola è applicabile quando si ha...