Appunti di Complementi di Idraulica

Complementi di idraulica

Appunti – Antonio Malasomma – Correnti a pelo libero

Nelle correnti presenta uno sviluppo maggiore lungo una direzione rispetto alle altre, ad esempio nel deflusso in un fiume, o una tubazione e così via. Le correnti a pelo libero presentano una quota parte del proprio contorno a contatto con l’atmosfera; la sezione idrica può avere dimensioni e forme variabili, spesso si ha a che fare con sezioni cilindriche ma, attenzione; parlare di canale/sezione cilindrica, non vuol dire che il canale ha tale forma, bensì che ha una sezione idrica che si ripete identicamente lungo l’ascissa del canale.

Nel canale l’acqua defluisce secondo una condizione gradualmente variata, cioè nel caso in cui i filetti fluidi siano sensibilmente rettilinei e paralleli la corrente si dice gradualmente variata e la pressione varia con legge idrostatica lungo la normale n ai filetti.

Le sezioni idriche possono presentarsi in forme differenti, ad esempio rettangolare, trapezia, mistilinea e molte altre ancora. Si definisce il tirante in una sezione dell’alveo, come la distanza tra il punto più depresso della sezione e il pelo libero (formalmente è meno corretto dire che il tirante è la distanza tra il pelo libero e il punto più depresso di una sezione, perché non si può calcolare la distanza di un piano da un punto ma si può invece calcolare la distanza di un punto da un piano, in altre parole si può fare la distanza tra il punto più depresso della sezione e il pelo libero, inteso come piano, ma non viceversa).

Infine, l’insieme dei punti più depressi delle diverse sezioni rappresenta la linea di fondo del canale, ovviamente nei canali che a differenza dei fiumi hanno un percorso imposto e non arbitrario, l’acqua defluisce sempre verso quote piezometriche minori, ovviamente, la posizione del pelo libero non è vincolata e può pertanto essere variabile.

La cosa importante da tener conto, è che la velocità della corrente presenta valori nulli in prossimità del fondo e delle pareti dell’alveo, ma al contrario ha velocità massime (o quasi) in corrispondenza del pelo libero. Avvicinandosi alla parete, la velocità cala, essenzialmente per due effetti, il primo è dovuto alla tensione superficiale ovvero all’interazione intermolecolare tra le particelle del fluido e la parete, che va a creare un vincolo, rallentandole, il secondo è dovuto alla turbolenza, ossia quel moto vorticoso dell’acqua, che presenta sempre una componente del vettore velocità di agitazione opposto alla direzione del moto, perché è un qualcosa di intrinsecamente tridimensionale e cioè ha tre componenti nello spazio, fatto salvo in corrispondenza del pelo libero, dove non può avere una componente verticale, altrimenti le particelle d’acqua salterebbero fuori; ciò significa che per effetto della turbolenza, man mano che ci si avvicina al pelo libero, il relativo profilo delle velocità deve subire necessariamente una distorsione (anche il pelo libero in prossimità delle pareti).

In particolare, l’effetto combinato della tensione superficiale e delle turbolenze, fa sì che la velocità massima non si attesti precisamente in corrispondenza del pelo libero ma poco al di sotto. Di fatto nel tracciare i profili di corrente, si fa riferimento alle velocità medie locali ovvero alla media delle velocità istantanee delle molecole d’acqua nella corrente, disinteressandosi delle velocità di agitazione.

Ricapitolando – Ipotesi di base correnti a pelo libero

• Canale cilindrico sezione ripetuta. i = tan α.
• La linea di fondo è inclinata rispetto all’orizzontale di α. Avendo indicato con α l’inclinazione del fondo rispetto a un asse orizzontale x.
• Corrente gradualmente variata. Distribuzione idrostatica delle pressioni nelle varie sezioni idriche, con relativa quota piezometrica costante.
• La sezione idrica è quella che si ottiene, così come il tirante, tracciando un piano secante ortogonalmente al fondo e quindi leggermente inclinato di un α rispetto alla verticale. In tal caso le sezioni sono verticali. tan α ≍ α ≍ sin α.
• Si considerano alvei di piccola pendenza, cioè si assume: Un angolo per il quale un alveo può intendersi di piccola pendenza deve far sì che siano rispettate le approssimazioni appena scritte (α in radianti).

Con le ipotesi di base fatte, si potranno fare diverse semplificazioni molto semplici ed utili alla risoluzione del problema. Considerando un punto sul pelo libero, dove le pressioni sono pari a quella atmosferica, la quota piezometrica del pelo libero corrisponde col valore della quota piezometrica dell’acqua in quella sezione.

Memo – La piezometrica rappresenta il luogo geometrico dei punti che distano dal piano di riferimento di una quantità pari alla quota piezometrica dei punti nelle varie sezioni che si susseguono; e quindi dà un’indicazione di come varia la quota piezometrica lungo una certa condotta/alveo. Per gli alvei di piccola pendenza con corrente gradualmente variata, il pelo libero rappresenta la piezometrica.

Distinzione tra i, I e J

• i – Pendenza longitudinale del canale.
• I – Inclinazione della piezometrica rispetto all’orizzontale, indica il passo con il quale la corrente dissipa la quota piezometrica (più inclinata più dissipazione in distanze minori).
• J – Pendenza della linea dell’energia (ottenuta sommando alla quota piezometrica l’altezza cinetica. Equazione di Bernoulli).

Tali simboli indicano ovviamente cose differenti e, spesso possono anche coincidere. Nelle condizioni di moto uniforme, ovvero quando il campo di moto della corrente si mantiene costante da sezione a sezione, cioè con eguale portata, tirante, sezione idrica, velocità ecc., ergo, in un canale cilindrico, la linea del pelo libero deve essere parallela alla linea di fondo, e quindi la cadente piezometrica I è uguale alla pendenza longitudinale del canale i. Lo stesso dicasi per J, poiché come detto le velocità sono costanti da sezione a sezione, quindi il termine cinetico è lo stesso da sezione a sezione e quindi J ha la stessa pendenza di I e di i.

Si ricorda che nel caso delle condotte in pressione invece l’andamento della piezometrica è totalmente indipendente dall’andamento della condotta stessa, ad esempio per una tubazione che porta acqua al quinto piano, la cadente piezometrica è declive al contrario della condotta che è verticale. Nel caso di correnti a pelo libero si è visto che c’è una forte dipendenza tra l’inclinazione della linea di fondo e l’inclinazione della cadente piezometrica, che in condizioni di moto uniforme devono essere parallele.

Come si comporta quindi la corrente se nel canale cambia la portata? Cambia il tirante, perché l’inclinazione della cadente è bloccata a differenza delle condotte in pressione, quindi varia il livello dell’acqua; quindi data una portata Q, è fissata la cadente piezometrica ma non lo è la sezione idrica.

Perimetro bagnato = ,

A questo punto, stando in condizioni moto uniforme, si può utilizzare una formula del moto uniforme. Quindi la portata Q defluirà in moto uniforme, quando si andrà a mettere, a sistemare con un tirante, e quindi con una sezione e una velocità media di portata, tale che nel suo moto dissipa una I, ovvero una quota piezometrica per unità di percorso, pari all’energia che gli fornisce il canale inclinato i. Questa inclinazione i fornisce una forza motrice all’acqua perché sta scendendo lungo questo piano inclinato e tende ad accelerare, la corrente scende mettendosi in moto uniforme con un tirante/velocità tali che I assuma proprio un valore di i. Quando c’è quest’uguaglianza, la corrente viaggia in moto uniforme.

Naturalmente, al variare del tirante, varia anche la sezione idrica, il perimetro bagnato, ossia il perimetro della sezione che si trova a contatto diretto solo con il liquido e non con l’atmosfera (gas), questo perché tra il liquido e il gas gli sforzi tangenziali sono praticamente trascurabili e l’errore commesso nel trascurarli è praticamente nullo, infine varia anche il raggio idraulico pari al rapporto tra la sezione e del perimetro bagnato: = (ℒ) = (ℒ) = (ℒ).

Tirante

Relazione di Gauckler-Strickler

Si fa riferimento ad esempio alla relazione di Gauckler-Strickler:

1 2 1 2 =      ⇒   = (ℒ) (ℒ)
2 3 2 3

Assegnato un canale: la geometria, il materiale (k_st) e la pendenza (i). Da ricordare che la forma del canale che può essere la più varia possibile, ma essa si traduce sempre nelle funzioni: = (ℒ) = (ℒ) = (ℒ).

Assegnato un valore di portata Q, si ricava il tirante con cui defluisce in condizioni di moto uniforme. Ovviamente si deve tener conto che i valori dei coefficienti di scabrezza presenti in letteratura, sono di fatto aleatori e molto variabili, quindi difficili da trattare con precisione. Infatti nelle tabelle sono sempre forniti degli intervalli in cui possono variare tali coefficienti, e non un numero ben preciso.

Alla luce delle considerazioni appena fatte, si può riassumere il tutto dicendo che in un canale, ogni portata Q defluisce con un tirante h e viceversa, ogni tirante h permette il deflusso di una portata Q (in condizioni di moto uniforme). La condizione di moto uniforme si ottiene = con la sostituzione e dall’equazione di Gauckler-Strickler riscritta:

1 2 = (ℒ) (ℒ) ⇒ Per ogni tirante si ottiene una Portata (Q) e, l’insieme delle
2 3

coppie di valori (ℒ ; ) che soddisfano la relazione di moto uniforme, qualsiasi relazione che si sceglie di usare, costituisce la scala di deflusso in moto uniforme per quel canale. Essa si può porre in forma grafica o tabellare o entrambe:

Quando l’acqua si trova in condizione di corrente a pelo libero all’interno di un canale, e non è forzata a viaggiare in una certa maniera, vuol dire che la condizione di moto uniforme non è scontata, a differenza di una condotta in pressione, dove mettendo sempre una stessa quantità d’acqua, ovvero la stessa portata quindi la stessa velocità media di portata, in più, l’acqua è incomprimibile e le pareti della tubazione indeformabili, allora defluirà per gioco forza in condizioni di moto uniforme ⇔ = ⁄. Quindi non può essere altrimenti. Nelle correnti a pelo libero l’acqua è libera, infatti sopra c’è l’aria che non costituisce un vincolo, quindi non si ha la certezza che essa defluisca in condizioni di moto uniforme.

Altezza cinetica in aumento

h diminuisce

In figura sono chiaramente visibili la piezometrica (linea nera) e il profilo dell’energia (linea rossa) ottenuto sommando il termine dell’altezza cinetica alla piezometrica. A prescindere dalla correttezza grafica, va tenuto conto che se la portata è costante lungo tutto l’alveo, e ad esempio ad un certo punto diminuisce il tirante, significa che la sezione diminuisce, ed essendo: σ = / allora la velocità aumenta e con essa anche il termine cinetico, quindi la linea dell’energia sale.

Si vede, infatti, che il tirante nel passare da h₁ a h₂ fa sì che la sezione idrica diminuisca da σ a (σ-dσ), e ciò comporta univocamente un incremento della velocità a parità di portata, ergo un aumento del termine cinetico.

2 ′ : = + + 2

Energia Totale (E) è riferita al piano orizzontale = 0.

Equazione del moto

L’equazione del moto per il deflusso può essere scritta come:

∂E = −J
∂s

In cui s è l’asse della condotta che va da monte verso valle, quindi per s crescente, l’energia posseduta dall’acqua va diminuendo secondo l’inclinazione della J rispetto ad un piano di riferimento orizzontale. Nel caso di moto uniforme allora I = J. Il trinomio di Bernoulli può essere scritto in un’altra forma, scrivendo il termine z come somma di due termini distinti:

= + – distanza del punto P dal fondo del canale. = 0 – distanza dalla linea di fondo del canale rispetto a

2 2 2 1    1    ++ = + + = + h + ⇒ = + + = + ��
2 2 2 2   2

Sostituendo nell’equazione del moto si ottiene:

2 2
∂ 1∂∂ 1 Q Q(z )= −J ⇒ + = −J (1)++ h +��z �� ��h ��f f
2 2∂s 2g∂s∂s 2g σ σ

Si vede che:

∂z_f ) (s ) (z ) )(z = sin α ⇒ = −(s sin α ⇒ = −i ⇔ − z − s − z − s
1 2 2 1 1 2 1 2
∂s (z ) dz− z₁
⇒ = − sin α ⇒ = − sin α ⇒ tan α ≍ α ≍ sin α = i ⇒
(s ) ds− s₁ 2

dz = −i Pendenza longit. del Canale
ds

Quindi la (1) si può scrivere come:

2 2
1 ∂ 1Q Q∂ + = −J ⇒ + =i − J
−i + ��h �� ��h ��
2 22g ∂s 2g∂s σ σ

Si pone il termine:

21 Q
H =h+ Energia specifica totale
22g σ
(h)

che rappresenta l’energia posseduta dall’acqua rispetto al fondo del canale, da cui si può ancora scrivere l’equazione del moto delle correnti a pelo libero:

∂H =i − J
∂s

La relazione:

∂E = −J
∂s

– J indica che l’acqua nel suo moto perde energia totale con un tasso ovviamente negativo, in quanto in diminuzione, ora nell’equazione appena ricavata invece, il segno della differenza (i − J) può essere positivo, negativo o nullo. N.B. Tutte le considerazioni fatte fino a questo punto sono valide in condizioni di moto permanente cioè di campo di moto indipendente dal tempo. Le definizioni di energia Totale e di Energia Specifica totale possono essere applicate sezione per sezione, note che siano tiranti, sezioni ecc.

Energia specifica e stato critico

Si assegni una certa sezione di un canale, nella quale defluisce una certa portata Q, che può defluire con qualsiasi tirante e corrispondentemente avrà un certo valore dell’energia specifica totale:

21 Q
f(H, h, Q) = 0 H =h+
22g σ
(h)

La funzione qui scritta lega a un’assegnata portata e tirante un valore dell’energia specifica totale, se in quella sezione si fa variare la portata, si avrà un altro legame. Quindi lega tre variabili, che in una ben precisa sezione devono assolutamente rispettare quella funzione.

σ(h)

Una volta assegnata la sezione e la portata, si avrà un legame tra h e H, che assume uno specifico andamento, di seguito studiato.

21 Qℒ → ∞ ⇒ σ(h) → ∞ ⇒ H = h + ⇒ H = h asintoto obliquo
22g σ(h)

2Q1 ⇒ H → ∞ asintoto oorizzontale (h = 0)
ℒ → 0 ⇒ σ(h) → 0 ⇒ H = h +
22g σ(h)

Questa curva presenta un minimo, cioè la portata Q può defluire con infiniti tiranti, ma per ℒ = ℒ un valore di , si ha un valore minimo dell’energia specifica totale, ed in particolare ℒ è proprio il tirante di stato critico, relativamente questa è detta condizione di stato critico ed è l’energia specifica totale minima che si attesta nelle condizioni di stato critico.

Per ottenere la condizione di stato critico basta derivare:

2Q1
H =h+
22g σ(h)

2 Q (ℒ)−2
=1+ =0
�� 3ℒ ℒ
2g σ(h)

(ℒ) il termine è il limite del rapporto incrementale ovvero, in corrispondenza dell’aumento del tirante ci sarà un incremento della sezione, quindi si può scrivere: = (ℒ) ℒ ⇒ = (ℒ). ℒ

Quindi in definitiva si avrà:

2 2QQ
L(h) = 0 ⇒ L(h) = 11 − 3
3g σ(h) g σ(h)

Si può definire anche un valore della velocità che possiede la corrente quando si trova in condizioni di stato critico, detta velocità media di portata critica:

2 2 ) )Q L(h L(h )Q (c c
2) ��= 1 ⇒L(h = 1 ⇒ V = 1 ⇒ =c c
) ) )3 2 (g σ(h σ(h ) )gσ(h gσ(h_c c c c

σ(h)(h) =h ⇒ = ��m L(h)