Appunti di Analisi matematica I

Appunti di analisi I

Glossario di analisi

Grafico: insieme delle coppie ∈ ℝ × ℝ ∶ = () ed è un sottoinsieme del piano cartesiano.

Distanza: sia ≠ sia : × → ℝ la funzione che associa a ogni coppia un numero reale.

Distanza metrica: La distanza metrica su è la se soddisfa tre condizioni:

• Non negatività della distanza: ∀, ∈ , (, ) ≥ 0 e = ⇔ (, ) = 0
• Simmetria della distanza: (, ) = (, )
• Disuguaglianza triangolare: (, ) ≤ (, ) + (, )

Spazio metrico (, ): è l'insieme assieme ad una applicazione e va da : × → ℝ

Spazio metrico completo (rispetto ad una distanza metrica fissata): se ogni successione di Cauchy in è convergente ad un elemento di .

Parte intera: è il più grande intero più piccolo di x ≤ ≤ + 1

Differenza tra disuguaglianza e disequazione:

• Disuguaglianza: vera per qualsiasi valore.
• Disequazione: vera per determinati valori delle incognite.

Interno di A ( )= = { ∈ ∶ ∃ > 0 ∶ ⊂ }

Parte positiva di : = (è non negativa poiché ≥ −())

Parte negativa di : = (è non negativa)

Osservazione: + −( ) ( ) = − ()

Strumenti da lavoro

Principio di induzione: Date infinite proposizioni indicizzate con , il principio di induzione dice che se:

• • è vera1
• • Supponendo che sia vera allora è vera +1

Rinominazione degli indici: Se non è vera chiamo la proposizione vera.

In quali casi applico il principio di induzione? Per esempio nella disuguaglianza di Bernoulli.

Metodo di sommazione di Gauss (con dimostrazione) ( + 1)1+ 2+ ⋯+ = 2

Somma di quadrati:

3 3 2∑( + 1) − =3∑ +3∑ +=1 =1 =1

Somma di cubi:

4 4∑( + 1) − = ⋯=1

Regolarizzazione di una funzione: moltiplicazione della funzione per x

Maggiorazione: disuguaglianza che permette di ricondursi ad un problema noto.

Insiemistica

Punto di accumulazione, punto di aderenza e punto di frontiera

Punto di accumulazione: Sia ⊂ ℝ ∈ ℝ, si dice punto di accumulazione di E se ∀ = − , + esiste almento un punto di diverso da .

Punto di aderenza: si dice punto di aderenza di se ∀ esiste almeno un punto di .

Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione): Se ⊆ ℝ ≠ è limitato e infinito ⟹ ∃ almeno un punto di accumulazione di .

Nota bene: Se esiste un punto di accumulazione di ne esistono infiniti. In un insieme finito non esistono punti di accumulazione.

Derivato di : l’insieme , derivato di è l’insieme di tutti i punti di accumulazione di .

Punto interno: si dice punto interno se esiste un suo intorno in cui cadono solamente punti di A

Punto esterno: si dice punto esterno se esiste un suo intorno in cui non cadono punti di A

Punto di frontiera: si dice punto di frontiera se nel suo intorno cadono punti sia dell’insieme sia del suo complementare.

Interno di ( )= = { ∈ ∶ ∃ > 0 ∶ ⊂ }, insieme costituito da tutti i punti interni di .

Esterno di : insieme costituito da tutti i punti esterni di Bordo o frontiera di : insieme costituito da tutti i punti di frontiera di .

Estremo superiore, estremo inferiore

Maggiorante: sia ⊂ ℝ, diremo che ∈ ℝ è maggiorante di A se ∀ ∈ riesce ≤ .

Osservazione: Se = ℝ non esiste il maggiorante (poiché sup ℝ = +∞).

Minorante: sia ⊂ ℝ, diremo che ∈ è minorante se ∀ ∈ riesce ≤ .

Se = ℝ non esiste il minorante (poiché inf ℝ = −∞).

Insieme limitato: un insieme si dice limitato se possiede maggiorante e minorante.

Assioma di Dedekind (o di contiguità o di completezza): Per ogni insieme limitato esiste il minimo dei maggioranti (estremo superiore) ed esiste il massimo dei minoranti (estremo inferiore).

Proposizione (con dimostrazione): Se A è limitato, allora sup e inf sono punti di accumulazione.

Osservazione

• Se non esistono maggioranti allora sup = +∞
• Se non esistono minoranti allora inf = −∞

Caratterizzazione estremo superiore: sup è l’estremo superiore di A, ovvero il minimo dei maggioranti, se e solo se:

• ∀ ∈ ≤ sup [è un maggiorante]
• ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ sup − < ≤ sup [è il minimo dei maggioranti]

Caratterizzazione estremo inferiore: inf è l’estremo inferiore di A, ovvero il massimo dei minoranti, se e solo se:

• ∀ ∈ inf ≤ [è un minorante]
• ∀ > 0 ∃ ∈ ∶ inf ≤ < inf + [è il massimo die minoranti]

Teorema di unicità dell’estremo superiore (con dimostrazione): L’estremo superiore è unico.

Teorema di unicità dell’estremo inferiore (con dimostrazione): L’estremo inferiore è unico.

Massimo e minimo locale

Massimo globale: se l’estremo superiore di un insieme è raggiunto.

Minimo globale: se l’estremo inferiore di un insieme è raggiunto.

Massimo locale: se l’estremo superiore di un sottoinsieme è raggiunto.

Minimo locale: se l’estremo inferiore di un sottoinsieme è raggiunto.

Punto di massimo globale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di massimo globale per se ≤ ∀ ∈ .

Punto di minimo globale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di minimo globale per se ≥ ∀ ∈ .

Punto di minimo locale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di minimo locale per se ∃ = ∈ ∶ − < ∶ ∀ ∈ ( ) si ha che ≤ ().

Punto di massimo locale: sia : ⊂ ℝ → ℝ, con aperto e sia ∈ , si dice punto di massimo locale per se ∃ = ∈ ∶ − < ∶ ∀ ∈ ( ) si ha che ≥ ().

Osservazione: Se è punto di minimo locale per ⟹ è punto di massimo locale per −. Se è punto di massimo locale per ⟹ è punto di minimo locale per −.

Intorno sferico

Intorno di centro ∈ ℝ e raggio è l’insieme dei punti che distano da meno di .

• Intorno aperto: = ∈ ℝ: − < ,
• Intorno chiuso: = ∈ ℝ: − ≤ ,
• Intorno spuntato o bucato: = ∈ ℝ: 0 < − < ,

Intervallo

Intervallo:

• Intervallo chiuso: [, ] = {: } = ≤ ≤
• Intervallo aperto: (, ) = {: < < }
• Intervallo semiaperto: (, ] = {: < ≤ } e [, ) = {: ≤ < }

Insiemi

Insieme aperto:

• Si dice insieme aperto se ∀ ∈ ∃ = {: − < } tale che ⊂ .
• Si dice insieme aperto se ogni suo punto è un punto interno.
• Si dice aperto se e solo se non contiene nessun punto di frontiera.

Proprietà insiemi aperti:

• L’unione di insiemi aperti è un insieme aperto.
• L’intersezione di due insiemi aperti è un insieme aperto.

Insieme chiuso:

• ⊆ è chiuso ⟺ contiene tutti i suoi punti di accumulazione
• C è chiuso ⟺ ∈ ∶ → * ⟹ *∈
• ⊂ si dice chiuso se è complementare di un insieme aperto
• C è chiuso se e solo se è uguale alla sua chiusura.
• è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di frontiera.

Teorema (con dimostrazione) o prima definizione di insieme chiuso ⊆ è chiuso ⟺ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Proprietà:

• L’intersezione di insiemi chiusi è un insieme chiuso
• L’unione di un numero finito di insiemi chiusi è chiuso.

Osservazione: Q non è chiuso, ad esempio: lim (1 + ) = →∞

Nota bene: Un insieme non aperto non è necessariamente chiuso.

Chiusura dell’insieme A: ∩︀ = ∪ dove è il derivato di A (ovvero l’insieme di tutti i punti di accumulazione dell’insieme).

Osservazione: La chiusura dell’insieme A è il più piccolo insieme chiuso contenente A, ovvero l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi contenenti A.

Insieme compatto

Diciamo che l’insieme è compatto o sequenzialmente compatto se ogni successione in ammette una sottosuccessione convergente a qualche punto di .

Osservazione: Un insieme è chiuso se e solo se per ogni successione ⊂ che converga in , il suo limite appartiene ad .

Osservazione (con dimostrazione): Se è un insieme compatto e ⊂ è un insieme chiuso, allora anche è compatto.

Teorema (con dimostrazione): Se è compatto, allora è chiuso e limitato.

Teorema: Per un insieme , le seguenti affermazioni sono equivalenti:

• è compatto
• Ogni copertura aperta di ammette una sottocopertura finita, cioè per ogni famiglia { : ∈ Γ} di insiemi aperti tale che ⊂ esiste un sottoinsieme finito Γ ⊂ Γ⋃ 0∈Γtale che ⊂ ⋃ ∈Γ
• Ogni sottoinsieme infinito di ha almeno un punto di accumulazione in .

Insieme sequenzialmente compatto (ovvero compatto per successioni): ⊂ si dice ( ) sequenzialmente compatto se da ogni successione ∈ si può estrarre almeno una sottosuccessione ( ) convergente ad un elemento ̅ ∈ .

Teorema di Heine-Borel (con dimostrazione): Condizione necessaria e sufficiente affinché ⊂ ℝ sia compatto è che sia chiuso e limitato.

Nota bene: In uno spazio vettoriale di dimensione infinita, se è chiuso e limitato non è vero che K è compatto. Questo vale solo per spazi a dimensione finita.

Osservazione: è aperto ⟺ =

Insieme convesso: Quando presi due punti appartenenti all’insieme, il segmento che congiunge questi due punti è tutto contenuto nell’insieme.

Proposizione: Un sottoinsieme di ℝ è convesso ⟺ è un intervallo.

Insieme induttivo: ⊆ si dice induttivo se:

• 0 ∈
• se ∈ ⟹ + 1 ∈

Massimo e minimo

Max(, )Massimo: siano , ∈ ℝ, = 2+−|−|

Min(, )Minimo: siano , ∈ ℝ, = 2

I numeri reali

Numero: elemento di un insieme per cui valgono:

• Proprietà algebriche: Somma e Prodotto
• Proprietà di ordinamento
• Assioma di contiguità (di Dedekind)

Proprietà algebriche

(⟹ ℝ è un campo) Nell’insieme ℝ sono definite due operazioni:

• Addizione
• Moltiplicazione

Con le seguenti proprietà:

• Associatività
• Commutatività
• Distributività
• Esistenza dell’elemento neutro
• Esistenza dell’opposto
• Esistenza del reciproco

Dalle proprietà precedenti seguono tutte le regole usuali dell’algebra elementare:

• ∙0= 0
• Semplificazione per l’addizione: se + = + ⟹ =
• Semplificazione per la moltiplicazione: se ∙ = ∙ ⟹ =
• Definizione di sottrazione: ∃! ∶ + = ⟹ = −
• Definizione di divisione: ∃! ∶ ∙ = ⟹ = ÷
• Legge di annullamento del prodotto: se = 0 ⟹ = 0 ∨ = 0 ∨ entrambi = 0

Proprietà di ordinamento totale

(⟹ ℝ è un campo ordinato) La proprietà che permette di confrontare due numeri reali attraverso la relazione ≤.

Proprietà:

• Proprietà di dicotomia: ≤ ∨ ≤
• Proprietà di transitività: se ≤ ∧ ≤ ⟹ ≤
• Proprietà di antisimmetria: se ≤ ∧ ≤ ⟹ =
• Proprietà riflessiva: ≤
• Se ≤ ⟹ ∀ ∈ ℎ + ≤ +
• Se 0 ≤ ∧ 0 ≤ ⟹ 0 ≤
• ( )+ = +

Assioma di Dedekind (o di contiguità o di completezza): Per ogni insieme limitato esiste il minimo dei maggioranti (estremo superiore) ed esiste il massimo dei minoranti (estremo inferiore).

Osservazione:

• ℚ non è completo
• ℝ è completo

Teoremi sui numeri naturali

Principio di Archimede (con dimostrazione): Se , ∈ ℝ sono positivi allora ∃ ∈ ℕ : ⋅ > +

Teoremi sui numeri razionali

Proprietà di densità di (con dimostrazione): ∀, ∈ ℝ e < , ∃ ∈ ℚ ∶ < < ⟹ ci sono infiniti numeri razionali compresi tra due numeri reali e .

Teoremi sui numeri irrazionali

Teoremi sui numeri reali

Osservazione: ℝ non è compatto perché non è limitato.

Successioni

Successione: Una successione è una funzione che ha come dominio l’insieme dei numeri naturali.

Definizione alternativa: {0} () ( ) { }

Successione: sia : ℕ − → ℝ con ∈ ℕ, → = e = , , , … 1 2 3

Modalità di suddivisione delle successioni

• In base al segno
• In base alla convergenza
• In base alla crescenza

Segno di una successione

• Positiva se > 0 ∀
• Negativa se < 0 ∀
• Non positiva se ≤ 0 ∀
• Non negativa se ≥ 0 ∀
• Nulla se = 0 ∀
• A segno variabile, se ⋅ < 0 +1
• Definitivamente positiva se ∃̅: ∀ > ̅ > 0
• Definitivamente negativa se ∃̅: ∀ > ̅ < 0
• Definitivamente non positiva se ∃̅: ∀ > ̅ ≤ 0
• Definitivamente non negativa se ∃̅: ∀ > ̅ ≥ 0
• Definitivamente nulla se ∃̅: ∀ > ̅ = 0
• Definitivamente a segni alterni se ∃̅: ∀ > ̅ ⋅ < 0 +1

Come capire il segno di una successione

1. Tramite disequazioni. ( ): Associo alla successione una funzione ℝ → ℝ, e dopodichè individuo degli intervalli compatibili con l’insieme dei numeri reali.
2. Tramite principio di induzione.

Osservazione: Esistono due tipi di successione:

• Successione convergente
• Successione divergente

Definizione: Successione convergente: ( ) ( ) sia una successione, diremo che ∈ ℝ è il limite finito di per → +∞ se ∀ > 0 | |∃̅ ∈ ∶ ∀ ≥ ̅ si ha − < .

Osservazione: Il limite è un punto di accumulazione della successione, poiché in ogni intorno centrato in cadono infiniti punti della successione.

Osservazione: Una successione è convergente se e solo se ammette punto di accumulazione.