Appunti di Analisi 2

Eq diff. 2° ordine

Moto: F = m a

Molla: F_el = -kx(t) => x'' + ω²x = 0

V = dx/dt => x'(t)

a = dv/dt => x''(t)

Sol generale: x(t) = C₁sin(ωt) + C₂cos(ωt)

Eq diff a variabili separabili

y' = g(x)h(y) => dy/h(y) = g(x)dx

=> ∫dy/h(y) = ∫g(x)dx

Equazione del 1° ordine lineare

y' = a(t)y + b(t) a e b continue sol. generale: y(t) = e^A(t) ⋅ [ c + ∫ e^-A(t') b(t')dt ]

con A(t) = ∫a(t)

Più nello specifico:

eq. omogenea associata

z' = a(t)z

z' / z = a(t) => ∫ dz/z = ∫a(t)dt => ln|z| = A(t) + c

z = e^A(t)⋅e^c_C

y'(t) = c(t)e^A(t)

y'(t) = a(t)y + b(t)

c'(t)e^A(t) b(t) => c(t) = ∫ b(t) e^-A(t') dt + c

y(t) = Ce^A(t) + ∫ b(t) e^A(t') dt

Equazioni a variabili separabili

y'' + y = 0

y(x) = C₁cos(x) + C₂sin(1)

Equazioni a variabili separabili

x variab indip

y, z sono funzioni

xy' dipende dal rapporto y'/x

es. y' = y² + y / x ; z = 1/y

posiziono y = x / z

y' = z' x + z = 1

=> z' x + z = 1 ➔ eq a variabili separabili (z' = z² - x / x * 1 / x - x)

so cost = z = 0 ➔sol non cost =

da ∫ 1/b(t)dt = ∫ a(x)dx

b(t) = z² a(x) = 1/x

∫ z² ➔ ∫ dz/z = ∫ dx/x

ln |z| = ln |x| + c

z = - λ/ ln|x| + c funzione |ln|x| + c = 0

|x| ≠ e^c x≠ t e^-c

Eq diff. 2° ordine

Moto: F = m a

V = dx/dt -> x'(t)

a_x = dV/dt = x''(t)

F = m a

-kx(t) = mx''(t) -> x'' + ω²x = 0

Sol generale: x(t) = C₁sin(ωt) + C₂cos(ωt)

Eq diff a variabili separabili

y' = g(x) h(y) => dy/h(y) = g(x) dx => ∫dy/h(y) = ∫g(x) dx

Eq lineare del 1° ordine lineare

y' = a(t)y + b(t) a e b continue sol. generale: y(t) = e^A(t) · [ c + ∫ e^-A(t) b(t) dt ]

con A(t) = ∫ a(t)

Più nello specifico:

eq omogenea associata z' = a(t) z

z'/z = a(t) -> ∫dz/z = ∫a(t) dt -> ln|z| = A(t) + C*

z = e^A(t) · e^C→ z = Ce^A(t)

Y(t) = C(t)e^A(t)

Y'(t) = a(t)y + b(t)

C'(t) e^A(t) + c(t) e^{a(t)eA(t) + b(t)}

y'' + y = 0

Y(x) = c₁cos x + C₂sin 1

Equazioni a variabili separabili

X => variab indip

Y/Z = sono funzioni

y' dipende dal rapporto y/x

es: y' = y² + y/x² - x

posso y/x = z -> y = zx => z'x + z = z²

Equazione a variabili separabili (z' = z² x)

do ∫1/b(t)dt = ∫a(x) dx/ b(t) = z² a(x) = 1/x

∫1/z² dz = ∫1/x dx

-1/z = ln|x| + c

y = -λ/ln|x| + c

possibile ln|x| + c

|x| ≠ e^-c

x ≠ t e^-c

Eq diff. del II ordine lineare e a coeff. cost.

ay''+by'+cy = f(t)

Eq omogenea associata: ay''+by'+cy=0

Trovate le radici del polinomio caratteristico

p(l)=0, aλ² + bλ + c = 0

• Se λ₁, λ₂ ∈ R, sol. gen.: y = C₁e^λ₁x + C₂e^λ₂x
• Se λ₁ = λ₂, sol. gen.: y = C₁e^λx + C₂xe^λx
• Se λ_1,2 = α ± β, sol. gen.: y = e^αx [C₁cos (βx) + C₂ sin (βx)]

parte reale parte Immag.

delle risoluzioni di λ

ESE:

λ_1,2 = 0 λ_3,4 = ±iλ

y(t) = C₁e^0.5t + etc[C₁ cos t + C₂ sin t]

Eq non omogenee

ay''+by'+cy = f(x) = f+forzante

Sol. generale: y = y₀ + y¯ soluz. particolare

sol. eq. omogenea

ES. 1ẍ + ω²x = Bcos(ηt) mi aspetto una x(t) = A cos(ηt) ẋ(t) = A (−η) sin (ηt) ẍ(t) = A (−η)²cos (ηt) = −η²A cos(ηt) −η²A cos(ηt) + ω²A cos(ηt) = B cos(ηt) A = sol. eq. omogenea sol. particolare ES. 2

y''+2y' = e^−2x

P(λ) = λ²+2λ = 0 ➔ λ_1,2 = 0

yo = C₁e^−2x + C₂e^−2x λ_1,2 = 0

Quando 1 coeff è anche radice del polinomio, devo pensare nella y¯ a un polin. di 1° ord. (Bx)

y¯= Ae^x + Bxe^−2x

y'' = Ae^x + (B − 2Bx)e^−2x

y'' = Δeq − 2By