Appunti corso di Matematica 1

Tas omediodivariazione

TAS OMEDIODIVARIAZIONE~f. i-• )) )Plxoiflxo Hoth) fcxotha ,))flxothpendenza fcxo= -media -flx ER) azza ba= ,dimedio variazionetassoflxoth-nflxd-ealxo-htb-alxotb-h-ahf.citassoilè medio variazionediCxotasso di )fistantaneo 'variazione#al 0 070 nob) 0-2×2)fcx e variazionemedio ditassozlxothY-2XOT-o.2htnhxoh-e 2h-4xoh.is#÷" :'407limo '4×0 f )fcxo 2×02XO41- 2h →=e =ÈÌ¥EÉ "" "

Tasso istantaneo di variazione

TASSOISTANTANEODIVARIAZIONELCOeficente retta tangenteangolare della)pin fGoh¥fGIim derivata' Go ) inf-MIO XOconesempioG)f- 3×-12= ditasso variazionemedio (3×0+2))fGot¥fC 34ohm -12 -= --12/-3×0/-21/ # 3h= =3a -tasso diistantaneo variazione)FLXOTN FCXO 3) LimoIim µ-=f-nasoflx) è=medio di variazionetassoflXOttD-fCxDe@Xoth.qXO cileni-h - -ndiistantaneotasso variazioneLeifLimo e'

Tasso istantaneo e derivata

TASSOISTANTANEOEDERNATAOUal graficotangenterettaazione di)lxo flxo)inf :, ')flxo xDlxo )tf (y X= -esempi lungooggetto traiettoriamotoin unarettilinea legge orariacon )slta- velocità) dell'Lts' oggetto=funzione f derivabiledicericorda siuna in: ed è finitoesisteseXo ) )Iim flxoxh fcxo--ha 0 hesempio x2G)f- a=tasso di variazionemedio alxotHoth 'ffotMn-fl )a -= -1# -9¥)tsxohthah29×0 += -hah )Info '-129×0=20×0-7 Ho Lahahhaha:#9-ah↳ +osofcx) 2×2+3×+2= di variazionetasso medioflxotht-fl.to ?-=n--2lxothYt3(Xothf 2-(2xo2-i3Xo-#| Xoh2ha 3h++4 2h -14×0+3== _h diricorda Il variazionemedio delletasso: deila medi'somme sommae tassi!variazionediIim -14×0+3 4×0+32h =0↳ axrtbltc)fcx =medio di variazionetasso )attutitioixotaxohth✓ohtahtbh ahtb= 2 29×0 +=a- variazionediistantaneotasso )'f lxo tb29×0=')flx TBXTCax= ditasso medio variazione' )blxothGoth) ( )t axcitbxotca tc -ahahahZaxoh= +! -ahtb+zaxo di variazioneistantaneotasso' xDf- ( otb2=

Derivate

DERIVATEfCx)CEf/ |C OX 1?È" È ":aer.no 9×1099à ato909 INlog +70XX ,e ), ( xfogafoga 1dio ah NOX ,,I lflx) X= * Xkdimedio rxtasso variazione =Hhjfeoth)jf ÈÌÈ1¥42 -1== ;.) {)kglxflxo KER I×= = a#Ètasso variazionedi =medio =kgcxothn-kg.lt#=k.glXothI-XohIK dimediotasso. variazioneditasso dimedio mediotassoK= .variazione di f divariazione gvariazioneistantaneo ditasso dimedioInfo KIYOtasso =flxvariazione )diÈ ftp.kge 'film) e)ekg' t') cxltfcxfa ) e)glx )flx =p+ )=•derivate+18 18×17fila)fli) == FSÌflx) )file o costanteè- una= →fu )fica ¥log=3 X =f- ') f A)Lt 7×-4 7e ='f) G)Ht 2×+4f- 4h18lx == diMicahtight # faflat 90galfoga X[ = =:( }D NOx : logcblogaclogab = . Xtlogaeiffogexflxtlogae (10galf log= - -(eheh I E%= 2×-1102×-1{ se12×-11)te = (2×-1) lose 2×-1-finissi ::*ezfI ;t'tu o*LÌ ÌIOfai xothex.io{ toh sedi variazionemediotassofGothnf = xothexo COse-'=p :[ :÷.?0+ =OXe - -1O X×-medio di 0variazionetasso con a-ftp.t#-fxd=flN-nfld-dhnt *=hoÈ{ -1* In loh-1- =# !' ! %¥ :*!= :o ,in XO:÷#÷÷ :: tangente +0=0inPz•II 1←•Ps Psderivatalaesiste primain nonXzte X },, )FG angolosidi puntipoi Pz P sono},,

Algebra e derivate

ALGEBRACIEHEDERNATESI OMOb)(a) derivabileR:f g →, intervallo cosìIl dominio è apertoun b)(a) possibileèepreso Xo divalori hdefinire anchecuii per(a) b)Xothil epunto flgftgAllora anche f- g sono, ,dominioderivabile nel loro' '( ')ftg f Ig= figf- g) 'fg+=④ ' ''g) f fgg-= g-h derivabile etf gconog= ) alloraderivabile glxin' )g) getf- )'G) ( g' Ltfo =

Monotonia

Monotonia nellasia f intervalloI-p.IR LI è: unrealeretta )dicefallora monotonasi :)flxn )crescente Eflxse- )fondatastrettamente* crescente se- )a) tcxrdecrescente fse z- flxdafc.atstrettamente decrescente se** - è* crescenteStse ,.< X2per ogni è ancheXp crescentedecrescente' Ste** se .è anchedecrescente^ •i ' l\ • I' 1iiii.i 'l/ ia Yo Xp X2 XU Xs ' 6! f-tela ?b) strettamente ¥crescente{ , debolmentecrescenteè ?monotonab) ?ètela monotona, globalmenterisposta mano: ,XD [XD ]43[ 'stXO fXs ho →, ,, ,(a) EIRf- axtb ba= , 070b) O÷670- .ftft atozoa .:ftst ftst970 lo: a:' EIR)flx ax> af-070 oa-LO9ft HO970: alloradipendeVXa da aedaxALO XEO lacome perderivatainflcx) Zax=3e)f- #= X.970loatift 970 EX9=0 ftGio)' 39×2f LX =

Legame tra monotonia e segno della derivata

LEGAMETRAMONOTONIAESEGNODEUADERNATAPR.itfunzionef di alloraf 'dotataunase e ,è t'crescentef solo G)se zoe se- f t' Hoostrettamente crescenteè se- )f filedecrescente EO7è ⇐- filaf decrescenteè coSt ⇐- .esempio 'ftst f > o t' 4)cheèstst 70verononma filxcoperchè c' anchee=P)flx'f ' 3×220 ha in unaHox orizzontaletangenteFunzionano »ta" "E- his ]tu Io+ 1t+ e= ,f- O X I XzXEf- 1 diOlt LXL Xr41 Xp)G- xDf (tflxn t) immagine che+ → la rettapassandoha ateper][ Af G- x2tu + tflxdxl-hflxdefftxrfl.tl xDf- quandoconcavaè [ aitt e¥ IXi EXL,

Concavità e convessità

CONCAVITÀCCONVESSITÀSI( nellaf intervallo rettaI èI Ra un→: )reale )concava( (Allora convessaf dicesi se(E)4-fltx f)tflxdtl-hflxdfsidicestret lst.convessdseflthtl.txD+, tflxdtu-hfc.nlxD (c)) ⑦ )[I ogniE te 0,1ogni perXzper xn e,→ )'film) 43zf'ZfFI al 'flegataè disegnofra "allegata fdiè segno

Derivate di ordine successivo al primo

DERNATEDIORDINESUCCESSNOALPRIMOSC) derivabilefa è funzione siunadefinisse derivata seconda'# AD" LAf =G) FGXX2 "es f D:te NO= -' ) 'f- telx x-p¥2= X zia- →A)" ex' a += 1X2 ='# n'M' 'y)k ④=dotata ' "f- ffdi e t' l'f-f- 'è è hodecrescenteeconcava[ f è "fconcava 0( Ef è ' decrescentestretto strettofconcava e. %(f) ' fstrehlo concava." lafconcava "fconvessa zo EIRXtb)flx ba a= , :•÷) )f)e) )fltxpt G-f- )lattflxp flxqXa e t=' G)f a=" G)f convessa2O →= ↳ E concavaflx) ah EIRa=+G)'f- 20N=Lt)f- " 29 strettia convessaoconvessa >orzo= convessaa- conco e↳ .Io concava Street concavaaco .Se f feffunzione dotata "è di derivateuna "è f)f- èf7 decrescenteconcava ⇐ "f f A)è e 40concavaf- " f èLx) strettaco concava' )èf lxf èconnessa crescentef- è " )(fconnessa 7⇐ x zo" èA)f- f strettao> convessa

Limite generale

Limite limite generaledi )in Infattioperazione -1ha significato quandoanche p Ioa =,( )aes 2= , .. .{ 2)Xa ×: >=¥ ht XEA XEKK : illimitatamentese dicea superiormentesi piccolopiùil diè asupera tra maggiorantii= asuperes co+: =5)(2)Aes =. emaggior di K 6ante AK -100K: =estremo asuperiore -5](A 2,5es =. -52maggioranti -6Kdi K Keith:5 AaSuper -5 C- ] chiamatoviene maxdell' insieme afQ co±=, l'+ indicao estremo superiore di uninsieme destraillimitato a sinistraaa- i , EIRdefinisce Uintorno disi centro a)indicato Ulairraggio re , )Utica intervallodi ' ogniintorno co e+ Mitch )destra ( (illimitato MEIRa )to intervallodiv ogniintorno • è- ) )illimitato sinistra MEIR(fa Ma ,1)(2)U 12a r= =1 -1. ..-31 2( ( )) )4,32,1 2h✓ 2.1= =,) )GO.toficoU =#) fa 5)faU = ,e-G)f- -12X=3 :÷→ a---.}e --→ tataÌn:Nella definizione che segue a riferimento a intorni U(a) e U(l) senzafare distinzione tra numeri e +limite accumulazionesia f di:D ER 112 acon→ ptologhiD intorno infinitidi contieneperelementiAD)di . adlimite tendeF cheammet