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Trasformata di Laplace

Definizione (richiamo sui complessi)

Così si definisce una var. complessa:

s = + jj = √-1, , ∈ ℝ

G(s) è una funzione che lo dai complessi ai compl.

G: ℂ → ℂ

es., G(s) = s² - G(s) = √8

G(s) = ^s+1/_s+2

Considero il caso di funzioni di variabile complesso e vari complessi razionali fratte

G(s) = b_ms^m + b_m-1s^m-1 + ... + b₁s + b₀

Per definizione è il rapporto fra due polinomi

nel nostro caso poi consideriamo n ≥ m

ovvero deg(DEM) ≥ deg(NUM) e questo corrisponde a qualcosa di fisicamente realizzabile

Questa è la forma polinomiale di G(s)

Si considera la forma fattorizzata (si phosphorus)

Detto z₁,...,z_m le radici del NUM e p₁,...,p_w

allora G(s) può essere fattorizzato come segue:

per tenere conto del coeff. moltiplicativo

G(s) = k(^{(s-z₁)...(s-z_m)}/_{(s-p1)...(s-pw)})

Trasformata di Laplace

Definizione (richiamo sui complessi)

Consideriamo una variabile complessa:

s = σ + jω

_{Re {s}}, j = √-1, σ, ω ∈ R

G(s) è una funzione che la variabile complessa ai complessi.

G: ℂ → ℂ

es. G(s) = s², G(s) = √8

Considero il caso di funzioni a variabile complessa e valori complessi: radici nulle

G(s) = (b_ns^m + b_m-1s^m-1 + ... + b₁s + b₀) / (sⁿ + a_n-1s^n-1 + ... + a₁s + a₀)

Per definizione è il rapporto fra due polinomi nel nostro caso poi consideriamo n ≥ m ovvero deg (DEN) ≥ deg (NUM) e questo corrisponde a qualcosa di fisicamente realizzabile

Questa è la forma polinomiale di G(s)

Si considera la forma fattorizzata (si mettono nelle radici)

Dette z₁, ..., z_m le radici del NUM e p₁, ..., p_w

allora G(s) può essere fattorizzato come segue:

G(s) = k (G(s) - z₁) ... (G(s) - z_m) / (s - p₁) ... (s - p_w)

In particolare

G(s) = bm s^m + ... + bo = bm (s^m + bm_m-1 s^m-1 + ... + bo_m)/sⁿ + ... + ao_n == k (s - zm)...(s - z1)/(s - pn) ... (s - p1)

in questo caso k = bml

Per definizione z1,...,zm sono gli zeri di G(s)

Per definizione p1...pn sono i poli di G(s)

Trasformata di Laplace (parente con Fourier)

Da dove nasce il concetto di trasformato?

Da trasformare il problema

Abbiamo un problema problema oggetto

es. Risolvere un'eq. diff. lineare a coeff. cost.

Problema oggetto

Risolvere eq. diff.

ȳ + y = e^t P. operato

metodi di risolvenza ai eq. diff.

Troviamo y(t)

Soluzione oggetto

Qui: non dobbiamo trasformare il problema.

Ma può essere conveniente trasformare il problema, tramite un operatore di trasformate e trasforma il problema in un problema immagine

jy + y = (t)

s_y(t) + y(t) = (t)

Problema opposto

Risoluzione diretta

Problema immagine

Soluzione immagine

Op. di antitrasformazione

Mi permette di togliere la sy(t) = 1 / (s+1) (t)

Adesso ho anche la s per cui dipende la y

Quest’operatore che ci permette di fare alcune operazioni è la trasformata di Laplace

Per risolvere le equazioni diff. uso la trasf. di Laplace

È un operatore che mi permette di rappresentare y(t) dalla sua trasformata

y(t) → Y(s)

ed s ha proprio il significato che può sostituire la derivata

Quindi trovo la soluzione immagine nel dominio di Laplace

Y(s) = 1 ⋅ UCs / s+1

quindi l’operatore ci consentirà di risolverci il problema nel tempo in un problema dove l’eq. diff. è diventato una equazione algebrica e l’incognito è la trasformata non soluzione

La difficoltà si è trovato nell'antitrasformata: Ha - ci sono le tabelle che aiutano

Definizione (trasf. Laplace)

(Funzione del tempo) Sia y(t) un segnale del tempo