Appunti Controlli

Segnali e sistemi

Dato sistema tipi esistono di sistemis 2un: ingresso 5memoriaSistema ') il l11 senza yl uscita)>: →. Hanno bisogno didel concetto stato> Non }{} °{sistema > tttK MImemoria to(t.lt) it2) con (K: y◦ to≥ to to≥. ≥. E statideglivettorese: inizialetoi istante: infunzioni latere funzioni poiuni considerateche da certo puntovengono un: ,dell'prima0 istante tempo inizialediparisono aè funzionesegnale a- >una: un -sistemiClassi di2>: tempo' IRcontinuo se: =tempo discreto' se =: sistemideiClassificazioneEs (legge t)F FNewton madi = ti= (: > mo.} 'l' celtoF ((- sullti istantaneoMitIngresso sistema) vedo uscito= _dell'istante ingressouscita nello' stessoact) )yct = memoriaSistema senza>aggiungo uscitanuovauna: %tvelocità /fa di> (i ( ) MITI ttodi V)✓ toto ≥+( =t) )t -1 T)✓( (= = t.tnto> sistema memoriacon dell' all' istantevaloredice il uscitaDef disistema si senza memoria seun: dipende dell'valori ingressotempo dai tt tempi diversi danon adicesiIn sistema memoriailcaso contrario con dell'dicesi tempoalsistema tvalorecausaleDef il uscitaseun non: dell'daidipende ingressovalori ttempi olimaggioriadiconoi sistemiIn contrario causaticaso si non causalememoriasistema con ✓) (tylt )-2M ✓simul t ) )ylt ) -- ✓✓sin Sin Mitylt ( 1)) ()Ult ) )+= - ✓sin sin Ult )+1) )ylt (ult )( )= + ✓ylti--dUltIdt_-@jnf.l h ✓h ))ult)ult -- ✓ ✓hlim ) )htuttduct ) dt ult))ylt = +- -- e. -o→TUIT=/ ✓todi ✓t)ylt ≥) .to

Stato iniziale

Stato inizialeStato {→ } ° }{ >statomito(K i ) loYse) stato°. to+ = ,, infinitaha il' sisistemase dicedimensione parametrilo stato a.distribuiti ilfinitalo dimensioneha parametri concentratii sistema dicese stato si a,lo si diconodimensionehanei sistemi nulla- memoria stato esenzastaticisistemi dinamicidimensioneha finito dise lo parla sistemisistato nullo enon ..memoriasenzasistemideiProprietà1) Additività: {S °)(ll (y> ) )llz 1Me( Y( ) )) y+° L> +o ..1 - -, 1 a>,=Sµ ( ) )(> yzz o o2) Omogeneità: ss fa scalare)mi ( ✗du) (=D ) yl )y> >. . . .Linearità3) (2)(1) +: il principio di degli' vale sovrapposizione ectelti: {S °✗) da✗ di) )(M2(ll 11 y) )M + 1 ,y> > + y ,. ° °. = . ." =, ee "☐=S(µ ) ( ,y>.z o,Stazionarietà4): s s) (( T ()µ µ T)( =D) yy> oo > ooÈ←• ' memoriaconsistemideiProprietà1) Additività: {s} }{ > lottatorealtà )mi ke yfstato tato- ., ,} s }{{ > Kal stato)to lo( lottatoKa yama stato - ,, s{ {} }( ) )to to( (Yz1.)=D l(µK U2 K2sez ++ (statoKe 'stato > il l stato+ Ye+, e'- 'tatotato tzto, , ,Omogeneità2): s { {{ } {} } }dklto(to)K ) ✗ 2kt l'Statoi. > XYix.seistato i. > Italiamistato =D fatoµ y -- -+, ,. ,.Linearità (2)(1)3) +: {s} }{ > Kilo )realtà )mi yfstato tato tato- ., ,} s }{{ > Kal stato)to lo( lottatoKa yama stato - ,, } s{ (lodi Itztjdlike ( Ita-12 Meto to ) U2 ') kz(=D • to, , , §{ di +4292l (Yedalla stato1.)l stato✗ 1k + '' tatoe , +Stazionarietà4): }← {}{ sei lotetto MI stato stato) ystato.•, , }}{ {MI ) K()( to YIstato=D tT statotse ° t. -tato- - . -, ,è iniziale toistantestazionariose il sistema mettere oposso> -lineare stazionariosistema ✓✓-10Mtylt) )- ✓ו sinceraylt) ))= ✓✗• • =L(f) ult )+y ✗✓t 1)sin ult( ))Lty = -sin sin( t))(t ( lle• (tye itya () ) Ma )); == sdalla (sin)t sin( sin )(t ) sindi( tµ )(( dadi ( )lld.) (dalla (t t)Lt ll+ ) (() ) U2+ ))=/ +> , ,, 1 i (t Lt)(t )Lt• Me° ) yz llz) 1=y =+ +, (dellealtadell 1 1( ()t ( )( dallaLt) +t )) t)✗+ -1 +1

Linearizzazione dei sistemi

SistemideiLinearizzazione linearesistema non: "discreto( tempoI i vettoreIR di statoper ))' kit E==: { IRM d'fi Ult ) vettore) . ingressoE1)t( Mit ))kit+se := , IRPh d'. uscita) ( vettore( t Eyct)) )ult)secty = :,Per tempol continuoI IR• )={ sei ÌectC- ult al)( sect))(t ott) )> = sect )= ,h (y ) Ult(t) sect il= .sistema lineare: Per I discreto' tempo )Z (={ A Buttkit ))1) Kit=+ + e lineariapplicazioni)(Ylt sett )) LtDel+= ePer continuotempo' te )IR ({ vi (f) Butta ))sect +=Y ButtiLt ) (tiCK += IRM" è( dicoppia IR lavorodettoke nei puntoC- seuna: ✗ .,f- (( T)ke Z )me see per -=,C- 0e IRI( T) (Me perke ==, istanti dici rimangoin glitutti tempodipartose lavoropuntoun per> 1° riscriverelo delsviluppo Taylorsfruttando possiamococainadi: f fine ) ) ( ufref (()( )Ueme me (KK ll ll)- + lleke= see+ke ) +- ...-, , , ,hlk hike uhhike• ) )( ( ll Ue( meme ) kemi K) )me re+ ++= -se ..-e -, , , ,per discreto> I tempo(E- = )fiale ) ( ufkit (fe)i Me ))Me (ll() tkit )Ue(meke )✗ kee)=-1 + ++ -. .-se -,,,hike hh ') )()(Me Ue Ue(i Ylt) kit )Re Mitke )Me ) (ke + )= + -1n -- .. .se ,,, { hikeYlti simboliIntroduciamo Ult)sect )(t Ue) (ti me)✓= ke = )=: ; ; -- - ,kflke.me/&ti-uflke,lle)Vlt)lfixe.uei--kesett 1) perchè> + = + inke lavorodi )puntounsonoGtt fineseflke nelsett Vltnel )) +-11 see = µ- , ,} tie Siti finereferee nei Vltnel( )) += n, ,B.)fineDefinendo A uflke.net' Me =: ;= se ,Et } (Bvlt(a t)ottengo sistema1)che ) lineare )+ -1=:hlke.me hikeYlt) hike> Nell Mehmet) )) ))= sett Uesee -1+ nse - -, ,Lthike uhlke.net± hikenel Ue) ) Viti++ se ,, { uhlke.nethikehike Ue) It ) viti) )Ylt Ue -1a se- ,," Lt uhlke.nethike Ue) ) viti(f) = +se , Pse hikeDefinendoi )( utile meD=me ): = ;, ,} sistema lineareotteniamo (C Dche Mit (vititi) ): = + =Dnell' sistema>' intorno approssimare= lavoropuntose diaimetto possomi unun non.lineareinlineare unoper continuo(I tempo )IR={ Il flke f)Lt uflke.melkltnelUe ()) )( ke Ue= Mit ))ke +)-1 se - -,,hike khlkeY uh)( t il= )Ike)me initmekit) )Ue)me see -1) + - -, ,,:} hikeDefinendo ( Yltt Miti) ))) mekit- UeMitke ) ii Vit= )=- -- -- ,§ ÌepieÌelt perchè è può() (tit ) ) si= = costanteunake )omettere- ' t-IR-D-ike.mesiamo nell' diintorno lavoroaiperche punto in o) =un→È }fine nf nfike.me(f) nel (tinel )(= Vitke )-1 +,,yÈÈ }h ( me uflke.me(t)ke tutti)=, +se ,}h uflke.me tuttiMe( (t ))keti=D ( += se ,• Definendo: FireBa kf ) meIke )=me ;= n ,,hike uhD=mec Ike= ) Ue )se ;, ,"{ } }( Ati sistema lineare(ti Buti (= + )}3ITL C ( ) Duet += )

Esempio 1

Esempio 1: { vi (1)( 3)(K 2)K nK= + -- -y Sinise Ram= ) +Punto' lavoroai me 0per =f ( 3)(K () 1) (2)K Kll K ll= +- - -,him Sinise KZM) +mi =, il lavoro risolvere' diPer calcolare punto oieuo: fine è( ilPerché continuosistema Tnel )tempo IR0= a =,( (1)ke ke 02) =-- sistemai punti lavorodi di questo sono: ( ke 10) 1see= =cona a,, ,( Meke ) =2 con 2=0 oo , .., .calcolo derivatele' parziali: f (1) -1(1) (1)( µ)( 2)+= zzese+ 3Kme se -2 µµke se += + +=- -se -,uflke.me -3> = sef) ( me cosike ) = 2km) +sese ,mh 2( seke me =),Punto lavorodi a1.: 1ke ne= o=;o., f h1ao 1,0 ) (Ca( 1,0 cos)= (e)== =;se se-. hi① Daf 10( =1,0 -2 1== ))= µ;a µ ,{ sei -2mse= -=D y costei= il+Punto Bdi lavoro2.: ke ne2 ob =;=,ab Bb Cb1 41 Dbi = =2)COSI= i-= ;{ vi se µ= -Di UN+cose 2)

Esempio 2

Esempio 2 }t 1)1) Ult( ) )( sectse ( )t+ +se += -y )t )( sect=supponiamo- ne = oflke.me perchè )IR( F-) see= ?li3 1)(se r-1 se+- 3ne 0se =- - 2 >e =D(ze +se- dila lavoroPrendo reale' IOsoluzionesolo punto 0=D ): ,ne; 00ke == {a f B e) Miti-11=1' (tf( +µ3k (0 K== =ne seke = ne> see+ ;= ] =se µ- >,, =,hike 1 nhcxe.meD= YLT )sett'= ioC =i )= )Uese , sistemaalsoluzioneDalla trovarePensiamo di chegenerale sistemasoluzione abbiaavere una > comeunsoluzione soluzionequellaEsempio tempoF- IRsoluzione in l continuogenerale )-: "ylti-coscti-cilt-C.ae arbitrariecostantiecaConce, Deriva costantitante levolte quante sono>diDefiniamo =yiit): )Yltalt { "etYo# l )cosaet=D )(f) Calylt cosa c.)== +yo + Ci"Y ett 2C +t < since )=Dsin ='2Cci @ @Lt /tiy ) + ( -= +- ,, a"" 4CetYzti cosa )4cal)(t Ce @)cosayz -= +-separo ine termini2: * "et [Do l )ci "cosa ' )(' Cosa ))4C92 l ++ 'i -= <t since)CzY Czet 2 @ -,Lai soluzione in* cieca quando: estet tuttiQuasiPerdet °=/atet tempi ti@za-est ha soluzione '_ SoZt Zt190 Zt cosa )ltci ecosa 2@) @ -= ° °= =3T since )ysince zezt et etet @Cz ,Y -,-, -+- ( ZCOSCTsin Y)C (f) -290+ +- ,= espressionesostituiscod- valore nell' diquesto yasince )cosa ye- ( yo) ++ -,yz 35in -1391( )t= cosa ) ZYO+ -35in (t)391+290 cosa+= )ya - ÌYLTijit Ìylt 35inch) ) ) cosa )= ++- iesistema' AreObiettivo rappresentare il -113Nnella forma =:Introduciamo>: } statitanti=D introducon . 5 quanti dellaiteratoKz mese= ycalcoliamoe ( )kilt ) Kait)settsi y.lt- Lt )(ka) ).lt) e)o== =sei ijltl-3y.lt +35in) Zylt )(f)' (f) cosa >= +-> +35in= 3k ( t ) cosce2k +)It ( )t )-> , +35in=L 3) (t2 COSCEKit ) ) )+-È ^ 0° ^ ' 135in )(ticoslt )+=jg ,K232, -Definiamo l' te /Rper comeoperatore :=L 202 ojltl Ict01(✗ )(f) t )☐ odlt(f) ) )== =;> applico segnaleoperatoreun a unsi ^ O° sei 135inch, )cosce )++=sei ,K232, - ^ Ote ° ^ "' 135inch )