Appunti completi Ottimizzazione di sistemi complessi

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Appunti completi Ottimizzazione di sistemi complessi basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Sciandrone, dell’università degli Studi di Firenze - …

Esame Optimazation of Complex System

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sciandrone Marco

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2020-2021

120 pagine

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Estratto del documento

Ottimizzazione di sistemi complessi

Prof. Marco Sciamonte

22 Giugno → Partita

Esame - 2 Parziali

I: Lunedì 20 Aprile
II: Martedì 8 Giugno
Solo Orale

Dato

min f(x)

x ∈ S

f : Rⁿ → R^p

Funzione obiettivo

S ⊆ R^m

Insieme ammissibile

Complessità

Eliminato "Elevato" → Metodo di Decomposizione

min {f₁(x), f₂(x), ... f_m(x)}

x ∈ S

Ottimizzazione multiobiettivo

Primo decisore → Secondo decisore

x ∈ R^p

y ∈ R^m

Decisore 1: g₁(x, y)

Decisore 2: f₂(x, y)

Giochi ed equilibri di Nash

Ottimizzazione sparsa

min f(x)

x ∈ X

|| x ||₀

|| x ||₀ = Norma 0 = n° di componenti diversi da 0 di x

Vincolo di sparsità

Programmazione matematica mista

Ottimizzazione di sistemi complessi

Prof. Marco Sciamanna

22 Giugno → Partita

Esame - 2 Parziali

I: Lunedì 20 Aprile
II: Martedì 9 Giugno

Dato

min f(x)

x ∈ S

f : Rⁿ → Rⁿ

S ⊆ R^m

Funzione obiettivo

Insieme ammissibile

Complessità

↑↑ "Elevato" → Metodi di Decomposizione

min { f₁(x), f₂(x), ... f_n(x) }

x ∈ S

→ Ottimizzazione multiobiettivo

Prima decisione x ∈ R^m

Seconda decisione y ∈ R^m

Decisione 1 g₁(x,y)

Decisione 2 f₂(x,y)

→ Giochi ed equilibri di Nash

→ Ottimizzazione sparsa

min f(x)

x ∈ X

|| x ||₀ = Norma 0 = n^o di componenti diversi da 0 di x

|| x ||₀ ≤ s

Vincolo di sparsità

Programmazione matematica mista

Definizioni

min f(x)

x ∈ X

Problema d'ottimizzazione

Risolvere un p.b. d'ottimizzazione significa trovare un

Minimo globale

∃ x*

x* ∈ X

f(x*) ≤ f(x) ∀ x ∈ X

Minimo locale

∃ x* ∈ X ∃ p > 0

B(x*,p) = {x ∈ ℝⁿ: ||x-x*|| < p}

f(x*) ≤ f(x) ∀ x ∈ X ∩ B(x*,p)

Considerare tra minimi locali e globali

Convessità di un insieme X

Convessità di una funzione su X

Insieme convesso

X ⊆ ℝⁿ è convesso se

∀ x,y ∈ X ⇒ (1-λ)x + λy ∈ X ∀ λ ∈ [0,1]

X = [x₁, x₂]

||x|| ≤ 1

Funzione convessa su insieme convesso X

f è convessa su X se

∀ x,y ∈ X ⇒ f((1-λ)x + λy) ≤ (1-λ)f(x) + λf(y) ∀ λ ∈ [0,1]

Prop. Corrispondenza di minimi locali e globali con convesso

X convesso

Ogni minimo locale

f convessa su X ⇒ è anche globale

Dato

f: ℝⁿ → ℝ

Vettore gradiente di f

∇ f = ^∂f(x)_∂x₁

Matrice Hessiana di f

^∂²f(x)_∂x₁

Esempio

f(x) = c x

∇f(x) = c

f′(x) = c → f′′(x)= 0

f(x) =

∇f(x) =

→ f(x) =

∇f(x) =

→ f′(x) =

f′′(x) =

→ Amxm

f(x) =

→ ∇f(x) =

∇²f(x) =

Risultati importanti sulla convessità

∇²f(x) = semidef. positiva

Esempio

f(x) = c xy^TA^TA y = ‖A y‖²

Caso di una variabile

f(x̄) = f'(x̄)(x-x̄)

f(x) ≥ f(x̄) + f'(x̄)(x-x̄)

X convesso

∀ x, y ∈ X, λ ∈ [0,1] ⇒ f(λx + (1-λ)y) ≤ (1-λ)f(x)+λ f(y)

Se X = Rⁿ ∀ x ∈ Rⁿ

f(y) ≥ f(x) + ∇f(x) (y-x)

Def. Direzione ammissibile

x̄ ∈ X, d ∈ Rⁿ

In x̄

Se ∃ t̄ > 0 t.c. x̄ + td ∈ X ∀ t ∈ [0, t̄]

X convesso

∈ X

x̄ = x + x̄ - x

⇒ λ x̄ = x̄ e

ammissibile in x̄ ∈ X

X convesso ⇒ x, y ∈ X

(1-λ) x + λx̄ ∈ X, ∀ λ ∈ [0,1]

x̄ + λ(x̄-x) ∈ X ∀ λ ∈ [0,1]

Def. Direzione di discesa

x̄ ∈ X, d ∈ Rⁿ

In x̄

Se ∃ t̄ > 0 t.c. f(x̄ + td) < f(x̄) ∀ t ∈ (0, t̄]

Prop. C.N. Ottimo

x̄ ∈ X

Se x̄ è minimo locale

∃ d che sia ammissibile e di discesa in x̄

Dim. OVVIA.

Prop. C.S. di discesa

Se ∇f(x)^Td < 0 ⇒ d è dir. discesa in x.

Def. Derivata direzionale

lim_t→0⁺ [f(x+td)-f(x)]/t

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