Appunti completi di Dinamica dei sistemi

Dinamica dei sistemi

Introduzione: dinamica e cinematica corpi rigidi

P = x(t) i + y(t) j

P = |P| e^iθ con |P| = √(x²(t) + y²(t)) θ = arctg y(t) x(t)

d/dtV = ẋ(t) i + ẏ(t) j

d/dta = ẍ(t) i + ÿ(t) j

P = |P| e^iθ

d/dtV = Ṗ e^iθ + P iθ e^iθ = Ṗ e^iθ + P θ e^i(θ+π/2)

d/dta = Ṗ e^iθ + Ṗ iθ e^iθ + P iθ e^iθ + P i θ e^iθ + P iθ e^iθ + P θ² e^iθ

Corpo rigido

La distanza tra i punti appartenenti a un corpo rigido non cambia mai.

Atto di moto traslatorio

Tutti i punti del corpo hanno la stessa velocità; il corpo non cambia orientamento.

Atto di moto rotatorio

Almeno un punto (anche non interno al corpo) ha velocità nulla. Tutti gli altri punti percorrono un arco di circonferenza come traiettoria.

Atto di moto rototraslatorio

Nessun punto ha velocità nulla. In ogni istante è possibile trasformarlo in un moto rotatorio individuando il centro di istantanea rotazione. La rotazione polare fornisce un'équipe anche visiva, tra velocità e traiettoria del punto P.

Re = A + AB = A + AB e^iθ

d/dt V_B = V_A + AB ^. i ^. e^iθ (velocità del punto B che rispetto al punto A)

V₀ = V_A + ω ∧ AB (i ∧ ω velocità angolare)

Teorema di Rivals per le velocità

Q₀ = Q_A + AB ^. i ^. θ^¨ i e^iθ + AB i² e^iθ

θ^¨ = ω (accelerazione angolare)

Q₀ = Q_A + ωQ ∧ AB + ω ∧ ω ∧ AB

Teorema di Rivals per le accelerazioni

V₀ = V_A + ω ∧ AB → se A = CIR allora V_A = 0 → V_B = ω ∧ AB = ω ∧ (B - CIR) (in generale Θ_A ≠ 0)

Vincoli

• Incastro (3 GDV)
• Carrello (1 GDV)
• Pattino (2 GDV)
• Cerniera (2 GDV)

(Le forze di vincolo (fai da mantenere di punto fermo in una direzione) ma devono essere per forza l'una opposta all'altra)

Problemi di statica

Presenza di vincoli tali da rimuovere i 3 g.d.l. al sistema.

È presente un vincolo ridondante, che non ha effetti nel sistema e non deve essere tenuto in considerazione.

Calcolare quanto valgono le reazioni vincolari quali forze mantengono il corpo fisso a Terra.

∑F_x = 0 (equivalente potrei utilizzare) 2F + N₂ = 0 N₂ = -2F

∑F_y = 0 F - N₁ = 0 N₁ = F

∑M = 0 C + F L/2 = 0 C = -F L/2

Principio di D'Alembert

Posso studiare la dinamica allo stesso modo di come studio la statica tenendo però conto anche delle forze d'inerzia (approccio differente da quello utilizzato a meccanica razionale dove si utilizzava l'energia del sistema).

x y Forza d'Inerzia mū¨x = ẋ·   = -mu¨q ∑F_j + mūa = 0

Equazione di equilibrio dinamico "Il contributo delle forze esterne applicate è opposto a quello delle forze d'inerzia del sistema".

x_i, ẋ, ẍ F_o, muk ẍ F_o noto e costante

Calcolare lo spostamento dopo s sec.? x(t+5s)

∑F_x = 0 → F_o - mūẍ = 0 → ẍ = F_o/m

Prendendo il p.to in come la costante di riferimento

ẋ = (F_o/m)t + c₁ x(0) = 0 ẋ(t) = (F_o/m)t x(t) = ∫ẋ dt = (F_o/m)t

V_o = θ_oR

Fo [Fo] = cost.? = θ(t) Fo⊥ alla traiettoria mi aspetto due accelerazioni:

a_c = θ̇²R a = θ̈R

ΣF⟂ = 0 F⟂ = mθ̈R ⇒ θ̈ = F_o / mR

θ̇(t = o ) = V_o / R

θ̇(t) = ∫θ̈ dt θ = (F_o / mR) t + C² = ^o

Estendiamo il discorso fatto nel principio di D'Alembert al corpo rigido

dF_In = dmQ forza d'inerzia infinitesima la distribuzione di forze ha effetto anche sulla rotazione del corpo, non solo sulla traslazione.

Asta cernierata in A (m,L) P ≡ __denota lineare ρ = m / L

dm = ρ dx = m / L dx

Accelerazione tangenziale __ a = θ̈ x t___ dF_In,T = - dm θ̈ x t = -μ x θ̈ x dx x t

Accelerazione centripeta Ac = θ̇²X μ dF_In,C = - dm θ̇² x μ = - mθ̇²x dx μ

Σ forze d'inerzia F_In,T