Appunti completi del corso "Metodi di calcolo delle strutture"

Modello di trave

Solido caratterizzato da una dimensione prevalente sulle altre due, ottenuto mediante estrusione con una figura che si muove ortogonalmente al proprio piano. Linea d'asse = linea di tutti i baricentri. Trave ad asse rettilineo: ottenuta dalla pura traslazione di una figura geometricamente invariante. Nelle applicazioni, le travi sono rappresentate schematicamente mediante la linea d'asse, senza spessore.

Analisi cinematica

Movimenti rigidi

Gli oggetti in genere si deformano, ma in prima analisi si assume che gli oggetti siano dei corpi rigidi. Quindi, gli oggetti sono soggetti a un "movimento rigido" se la distanza tra due punti materiali qualsiasi rimane costante nel cambio di configurazione. Questo cambio di configurazione si può sempre descrivere come un "avvitamento" intorno a un "asse di rotazione".

Movimenti piani

Noi analizzeremo i "movimenti piani", un movimento rigido in cui tutti gli spostamenti sono paralleli allo stesso piano. L'asse di rotazione è ortogonale a tale piano. Il punto di intersezione dell'asse di rotazione col piano è detto "centro di rotazione" del movimento rigido. Per descrivere un movimento piano sono necessarie 3 variabili, ovvero il solido è caratterizzato da 3 GdL:

• 2 traslazioni e una rotazione: up, vp, φ
• Le coordinate del centro di rotazione e la rotazione: Xc, Yc, φ

Un qualunque movimento rigido si può rappresentare come una rotazione attorno a un punto C del piano:

• Se C è un punto "proprio", il movimento è rotatorio
• Se C è un punto "improprio" (all'infinito), il movimento è traslatorio puro

Proprietà dei punti all'infinito

- Il punto improprio è 1 per ogni retta (non 2), perché ogni retta ha 1 direzione

- Ci sono infiniti punti all'infinito, perché c'è un punto all'infinito per ogni direzione

- Tutti i punti all'infinito giacciono su una retta chiamata "retta impropria"

Nel piano "proiettivo" due rette parallele all'infinito si incontrano.

Atto di moto

Se al posto del campo di spostamenti si ha un "campo di velocità" (campo di piccoli spostamenti), si parla di "atto di moto". In questo caso, il centro di rotazione prende il nome di "centro di istantanea rotazione". La velocità di un punto è tangente all'arco di circonferenza:

• Generalmente l'atto di moto rotatorio prevede dei campi di velocità circonferenziali.
• Se l'atto di moto è traslatorio, il campo di velocità sarà verticale ed uniforme.

Teorema di Chasles

Se sono noti i vettori velocità di due punti distinti, si può determinare la posizione del CIR dell'atto di moto piano del solido. Secondo la geometria proiettiva, due rette si incontrano sempre in un punto, che sia al finito o all'infinito. Se il CIR non esiste, allora non esiste neanche l'atto di moto rigido del solido, e tale solido è fisso (o si deforma).

Vincoli

Sono oggetti che limitano gli atti di moto dei solidi. I vincoli che considereremo sono rappresentati da modelli che mantengono gli effetti principali dei vincoli stessi, ma permettono di gestire in modo più efficace le analisi strutturali.

Ipotesi dei vincoli

• "Puntuali": cioè di dimensione nulla
• "Perfetti": assenza di tolleranze dimensionali e di usura
• "Lisci": senza attrito
• "Reversibili/bilateri": se permette/impedisce un atto di moto in un verso, lo permette/impedisce anche nel verso opposto
• "Olonomi": le equazioni dei vincoli sono di tipo algebrico, non differenziali
• Vincolo triplo: non esiste il CIR
• Vincolo doppio: il CIR è un punto preciso
• Vincolo semplice: il CIR si trova sull'asse del vincolo

Vincoli piani assoluti

• Incastro (vincolo triplo - 3 GdV) La presenza dell'incastro impedisce l'esistenza del CIR dell'asta 1
• Cerniera (vincolo doppio - 2 GdV) La cerniera impone al CIR dell'asta 1 di essere proprio nel punto A.
• Pattino (vincolo doppio - 2 GdV) Il pattino impone al CIR dell'asta di essere all'infinito in direzione ortogonale al piano di scorrimento.
• Manicotto (vincolo doppio - 2 GdV) È identico al pattino
• Carrello (vincolo semplice - 1 GdV) Dato che la velocità in A è sempre parallela al piano è scorrimento, secondo il teorema di Chasles il centro di istantanea rotazione dell'asta 1 si trova sull'asse del carrello.
• Bi-Pattino (vincolo semplice - 1 GdV) Dato che l'asta 1 può solo traslare, vuol dire che può "ruotare" attorno a un qualunque punto all'infinito, quindi il luogo dei punti a cui appartiene il CIR è l'asse del bi-pattino, che è la retta impropria.

CIRR

Il CIR assoluto dell'asta è il punto che descrive la rotazione dell'asta attorno a questo punto visto da un osservatore fisso. Se però l'osservatore non è fisso, allora il CIR diventa un "centro di istantanea rotazione relativo". Il CIR che descrive il movimento relativo è il CIRR di un'asta rispetto all'altra. Il CIRR è sempre unico, ed è sempre lo stesso.

Vincoli piani multipli

• Cerniera Assoluta Multipla (2n GdV) A è il CIR di tutte le aste. I GdL sono n (1 per ogni asta).
• Carrello Assoluto Multiplo (2n - 1 GdV) Tutti i CIR assoluti delle aste si trovano sull'asse del carrello. I GdL sono n (1 per ogni asta) +1 del carrello.
• Cerniera Relativa Multipla (2n - 2 GdV) I GdL sono n (1 per ogni asta) + 2 della cerniera che è libera. Siccome la cerniera ammette solo atti di moto relativo, A è CIRR per ogni coppia di asta. Quindi tutti i CIRR stanno in A.
• Carrello Relativo Multiplo (2n - 3 GdV) C'è un movimento relativo del blocco di n-1 aste, rispetto all'n-esima asta. I GdL sono n (1 per la rotazione di ogni asta) + 2 della cerniera in A (lungo x e y) + 1 dell'n-esima asta. Il CIRR deve essere sull'asse del carrello.

Equivalenze cinematiche

• Cerniera generalizzata = vincoli doppi, che dicono che il CIR deve stare in un punto preciso. Vale anche per CIR relativi tra due aste.
• Biella Cinematica: È un'asta con due cerniere (generalizzate).

Esempi:

• Si definisce "asse della biella" la retta passante per le due cerniere.

Equivalenza biella-carrello

Una biella "a terra" può essere sostituita da un carrello che ha l'asse coincidente con l'asse della biella.

Esempi:

• Nel caso di asse all'infinito, i due pattini si sostituiscono con un vincolo bipattino.

Equivalenza cerniera - 2 carrelli

Due carrelli "omologhi", cioè che governano lo stesso CIR, possono essere sostituiti da una cerniera nel punto di intersezione dell'asse dei due carrelli.

Esempi: Il punto d'incontro delle due rette è all'infinito, quindi si sostituiscono i due carrelli con un pattino (cerniera generalizzata).

Se i carrelli NON sono omologhi, cioè se governano CIR diversi, non possono essere sostituiti da una cerniera. Il carrello in A governa il CIR assoluto dell'asta 1, il carrello in B governa il CIRR tra l'asta 1 e l'asta 2. Il carrello in A governa il CIRR tra l'asta 1 e l'asta 2, il carrello in B governa il CIRR tra l'asta 2 e l'asta 3.

Analisi delle strutture elementari

Una struttura si definisce "labile" se almeno un'asta ammette un atto di moto. Se tutte le aste sono fisse, la struttura si definisce "non labile".

Asta con 2 cerniere

Trave cerniera-carrello: Se il CIR non esiste, l'asta è fissa, quindi la struttura è NON labile. Se invece si riesce a individuare un CIR, la struttura è labile, e ci sarà un atto di moto.

Trave su 3 o più appoggi

Se il CIR non esiste, l'asta è fissa, quindi la struttura è NON labile. Se invece si riesce a individuare un CIR, la struttura è labile, e ci sarà un atto di moto.

Arco a 3 cerniere

È una struttura composta da due aste, che devono essere vincolate a terra tramite una cerniera fissa, e vincolate tra di loro da una cerniera relativa. Un arco a 3 cerniere è composto da 2 bielle: L'arco a 3 cerniere è una struttura NON labile. Se però le 3 cerniere sono allineate, l'arco a 3 cerniere diventa una struttura labile: relazione tra le due velocità angolari:

Quadrilatero articolato

È una struttura composta da:

• 2 aste, ciascuna vincolata a terra da una cerniera
• 2 bielle che collegano le due aste. I due carrelli sono omologhi, perché governano entrambi il CIR relativo tra l'asta 1 e l'asta 2.

Abbiamo ottenuto un arco a 3 cerniere non allineate.

Anello chiuso iperstatico

È una struttura composta da 2 aste, vincolate tra loro da cerniere relative. Non esiste un CIR relativo, quindi questa struttura è NON labile. Le due aste quindi sono solidali, e per questo si possono collegare.

Anello chiuso isostatico

È una struttura composta da 3 aste, vincolate tra loro da cerniere relative. Ciascuna delle tre aste è un a biella. Sostituiamo l'asta 2 con un carrello. Non esiste un CIR relativo. A loro volta, le aste 1-3 e 2 formano un anello chiuso iperstatico: quindi l'asta 1-3 sono solidali. Quindi tutte le aste sono tra loro solidali, e la struttura è NON labile. Se però le cerniere sono allineate, la struttura è labile.

Atti di moto rigido vs movimento rigido

Prendiamo una struttura trave-cerniera-carrello: Dato che l'asse del carrello passa per la cerniera, la struttura è labile. Il punto B dovrebbe ruotare attorno ad A, però il carrello non si può distaccare dalla guida, si può muovere solo verticalmente. Ma allora il punto B non si muove. Questo è dovuto al fatto che si sta utilizzando il modello dei corpi rigidi. Vediamo cosa succederebbe in un laboratorio: Dato che il carrello si sposta, l'asta si allunga.

Allungamento dell'asta AB: Allungamento verticale: Per un'asta lunga 1 m:

• Δb = 1,5 mm (non provoca lo snervamento)
• uB = 54 mm, è tanto per un'asta lunga 1 m, è 1/20 della lunghezza. Le normative di solito accettano valori fino a 1/200.

Quando la deformazione è molto più grande del valore massimo, si dice che la struttura è un "collasso". Dato che il modello degli atti di moto prevede uno spostamento, mentre il modello del movimento rigido non prevede nessuno spostamento, e che in laboratorio si sperimenta uno spostamento, possiamo dire che: il modello dell'atto di moto descrive meglio la realtà rispetto al modello del movimento rigido. Il che è top, perché il movimento rigido richiede l'utilizzo della trigonometria, mentre la velocità nell'atto di moto ha un andamento lineare. Comunque dal punto di vista matematico per rotazioni molto piccole lo spostamento ΔB è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a uB, quindi l'allungamento arriva molto dopo rispetto al collasso.

Classificazione analisi cinematica

"Gradi di Libertà Potenziali": GdL che la struttura avrebbe in assenza di vincoli iperstatici. Le cerniere multiple a volte conviene trasformarle in cerniere semplici. In genere conviene a partire con l'analisi dalla parte di struttura più fissa a terra. L'arco a 3 cerniere è fisso, quindi possiamo considerare il punto P e il punto B come fissi. L'asta 3 è un'asta vincolata a terra da due cerniere. Le 3 cerniere non sono allineate, quindi anche quest'ultimo arco a 3 cerniere è NON labile. Quindi tutta la struttura è NON labile.

Analisi statica

Dal punto di vista statico, le strutture si valutano a partire dai 3 principi della dinamica di Newton:

• In assenza di forze esterne un corpo rimane in equilibrio (quiete o mru)
• L'accelerazione è proporzionale alla risultante delle forze applicate
• Principio di azione e reazione

L'analisi statica infatti è un caso particolare dell'analisi dinamica, in cui si pongono = 0 le accelerazioni. Equazioni di equilibrio: risultante delle forze = 0, risultante dei momenti = 0. In presenza di vincoli, il moto subisce delle limitazioni.

Dato che c'è 1 solo GdL, si può scrivere solo 1 equazione del moto, quindi 1 sola equazione di equilibrio, lungo la direzione del moto:

Anche qua c'è solo 1 GdL, quindi ci sarà 1 sola equazione di equilibrio: L'equilibrio deve essere fatto per forza attorno ad A, non si possono usare altri poli. Se ci sono 2 GdL, si possono scrivere 2 equazioni di equilibrio:

Se si facesse una combinazione lineare delle due equazioni, si otterrebbe un'equazione che sostituisce una delle due. Se i GdL sono indipendenti, allora anche le equazioni di equilibrio saranno indipendenti. Anche qua abbiamo 2 GdL, quindi 2 equazioni di equilibrio. I vincoli si "attivano" uno alla volta, quindi per il movimento φ1, agiranno anche F2 e W2:

In teoria possiamo scrivere una terza equazione, ma sarà la combinazione lineare delle altre due, perché dato che i GdL sono 2, le equazioni indipendenti sono 2. Questa terza equazione sarà l'equilibrio attorno a un polo che sta sulla retta che congiunge A e B, e questa equazione si va a sostituire a una delle due, non si va ad aggiungere. Per il caso precedente del carrello è la stessa cosa, perché è come se avessimo una rotazione attorno ad A, e una rotazione attorno a un punto all'infinito (la traslazione), quindi anche lì l'eventuale terza equazione è l'equilibrio alla rotazione attorno a un punto che sta sull'asse del carrello. Asta libera nel piano Formalmente si potrebbero scrivere infinite equazioni, perché ci sono infiniti atti di moto, però si possono scrivere solo 3 equazioni linearmente indipendenti:

Reazioni vincolari

I vincoli danno un contributo sia di tipo cinematica che di tipo statica. Un vincolo che impedisce un certo movimento, fornisce una forza o una coppia detta "reazione vincolare", corrispondente al movimento impedito.

Se si stacca il vincolo B, si osserva che il vincolo agisce sia con la struttura che con il terreno (azione-reazione). Se una struttura non si può muovere, non si possono scrivere equazioni di equilibrio. Una volta staccato il vincolo, la struttura si può muovere, in questo modo si introduce un atto di moto, quindi si possono scrivere delle equazioni di equilibrio.

Stacchiamo il carrello, bisogna però segnare la reazione vincolare corrispondente. Stacchiamo adesso anche la cerniera:

Avendo eliminato la cerniera, si sono introdotti due nuovi GdL, quindi due nuove equazioni di equilibrio:

Schema ad albero

Non è necessario calcolare tutte le reazioni vincolari, ma solo alcune. "Schema ad albero":

• Si tolgono tutti i vincoli a terra tranne uno.
• Non ci devono essere anelli chiusi, se ci sono, devono essere aperti staccando i vincoli.

Lo schema ad albero, non solo limita il numero di reazioni vincolari da calcolare, ma facilita la scrittura delle equazioni di equilibrio perché rende espliciti quali sono i movimenti permessi all'interno della strutta.

Analisi cinematica

NON esiste un CIR relativo tra le 2 aste. NON esiste un CIR assoluto di questo blocco. Grado di Labilità: numero di atti di moto (di meccanismi) presenti nella struttura.

Analisi statica

Bisogna calcolare le reazioni vincolari. Si hanno 6 GdV, quindi in teoria si hanno 6 reazioni vincolari. Cerchiamo però di ottenere uno schema ad albero:

• È equivalente staccare il carrello o la cerniera, però conviene staccare il carrello perché introduce una sola incognita, mentre la cerniera ne introdurrebbe due.
• Per aprire l'anello è equivalente staccare il carrello o la cerniera, però di nuovo conviene staccare il carrello, anche se sul carrello è applicata una forza esterna.

Per il principio di azione e reazione, per ogni vincolo ci sono due forze opposte, se il vincolo è a terra possiamo trascurare la forza che agisce sul terreno, però se il vincolo è relativo, bisogna mettere tutte e due le forze. Siamo quindi riusciti a "declassare" la struttura a uno "schema ad albero". Questo schema ha 2 incognite, quindi dovremo calcolare 2 reazioni vincolari. Queste sono sufficienti anche per tracciare i diagrammi delle azioni interne.

Determinazione delle equazioni di equilibrio

Cerchiamo le equazioni di equilibrio. I vincoli rimasti indicano quali sono i GdL, la struttura infatti si muove perché i vincoli rimasti permettono dei movimenti. Per studiare questi movimenti indipendenti, basta attivare uno alla volta i vincoli rimasti, e vedere qual è il movimento che permette. Studiamo gli atti di moto presenti:

Disattiviamo la cerniera in E: Equilibrio alla rotazione attorno ad A. Disattiviamo la cerniera in A: Equilibrio alla rotazione attorno ad E. Abbiamo quindi ottenuto le 2 equazioni di equilibrio in 2 incognite che stavamo cercando:

Verifica delle equazioni di equilibrio

Per verificare i risultati ottenuti, si utilizzano delle equazioni diverse da quelle scritte prima. Si possono usare delle ulteriori equazioni di equilibrio. Per verificare le equazioni, bisogna prima di tutto staccare i vincoli a terra e calcolare le rispettive reazioni vincolari. Nel nostro caso, quindi, stacchiamo anche la cerniera a terra, introducendo due nuove reazioni vincolari, quindi altre due incognite da determinare con due nuove equazioni. L'aver staccato la cerniera a terra permette l'attivazione di due nuovi movimenti, quindi si possono scrivere due nuove equazioni di equilibrio.