Appunti Analisi Matematica I

Name: Appunti Analisi Matematica I
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Author: CamyBomba

Revisionato il 26/06/2026

di CamyBomba

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Appunti di analisi matematica I.Teoremi, corollari, definizioni di tutto il programma.Dalle basi dell'analisi (numeri reali) fino alle equazioni differenziali.Appunti di analisi presi dal …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria i

Dal corso del Prof. Mazzi Luisa

Università Politecnico di Torino

A.A. 2021-2022

82 pagine

Appunto

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Estratto del documento

CAPITOLO 1 - Nozioni di Base

Teorema (Principio di induzione)

Sia n₀ ≥ 0 un intero e sia P(n) un predicato definito per ogni intero n ≥ n₀. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni:

P(n₀) è vero;
per ogni n ≥ n₀, se P(n) è vero allora P(n+1) è vero

=> P(n) è vero per ogni n ≥ n₀.

NUMERI REALI (\(\mathbb{R}\))

Teorema (Proprietà 2.1.1 - pag 11)

Se il numero p soddisfa p² = 2

=> p non è razionale.

Definizione (Definizione 1.2 - pag 15)

Siano a, b ∈ \(\mathbb{R}\) t.c. a ≤ b

Chiamiamo INTERVALLO CHIUSO di estremi a e b:

[a, b] = {x ∈ \(\mathbb{R}\): a ≤ x ≤ b}

Chiamiamo INTERVALLO APERTO di estremi a e b:

(a, b) = {x ∈ \(\mathbb{R}\): a < x < b}

Semi-aperto a destra: [a, b) = {x ∈ \(\mathbb{R}\): a ≤ x < b}
Semi-aperto a sinistra: (a, b] = {x ∈ \(\mathbb{R}\): a < x ≤ b}

[a, +∞) = {x ∈ \(\mathbb{R}\): x ≥ a}

(-∞, b] = {x ∈ \(\mathbb{R}\): x ≤ b}

CAPITOLO 1 - Nozioni di Base

Teorema (Principio di induzione)

Sia n₀ ≥ 0 un intero e sia P(n) un predicato definito per ogni intero n ≥ n₀. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni:

P(n₀) è vero;
per ogni n ≥ n₀, se P(n) è vero allora P(n+1) è vero

=> P(n) è vero per ogni n ≥ n₀.

NUMERI REALI (ℝ)

Teorema (Proprietà 2.1 - pag. 11)

Se il numero p soddisfa p² = 2 => p non è razionale

Definizione (Definizione 1.2 - pag. 15)

Siano a, b ∈ ℝ t.c. a ≤ b

Chiamiamo INTERVALLO CHIUSO di estremi a e b [ a, b ] = { x ∈ ℝ : a ≤ x ≤ b }
Chiamiamo INTERVALLO APERTO di estremi a e b ( a, b ) = { x ∈ ℝ : a < x < b }

Semi-aperto a destra: [ a, b ) = { x ∈ ℝ : a ≤ x < b }
Semi-aperto a sinistra: ( a, b ] = { x ∈ ℝ : a < x ≤ b }

[ a, +∞ ) = { x ∈ ℝ : x ≥ a }

( -∞, b ] = { x ∈ ℝ : x ≤ b }

Insiemi limitati

Definizione

A ⊆ R , A ≠ ∅
A è LIMITATO SUPERIORMENTE se

∃ M ∈ R : ∀ x ∈ A , x ≤ M

M è un MAGGIORANTE di A

Se b ∈ R , b ≥ M ∀ x ∈ A x ≤ M ≤ b ⇒ b è un maggiorante

[M, +∞) insieme dei maggioranti di A

A è LIMITATO INFERIORMENTE se

∃ m ∈ R : ∀ x ∈ A , x ≥ m

m è un MINORANTE di A

Se a ∈ R a ≤ m ∀ x ∈ A a ≤ m ≤ x ⇒ a è un minorante

(-∞, m] insieme dei minoranti di A

A è LIMITATO se è limitato inferiormente e superiormente

∃ m, M ∈ R : ∀ x ∈ A m ≤ x ≤ M

Insiemi illimitati

Definizione

A ⊆ R , A ≠ ∅
A è ILLIMITATO SUPERIORMENTE se non è limitato superiormente.

∀ M ∈ R ∃ x ∈ A : x > M

A è ILLIMITATO INFERIORMENTE se non è limitato inferiormente

∀ m ∈ R ∃ x ∈ A : x < m

Estremi superiore e inferiore

Definizione
- Sia A ⊂ ℝ superiormente limitato, si dice ESTREMO SUPERIORE di A (supA) il minore dei maggioranti di A
  1. ∀x∈A x ≤ s (s'è un maggiorante)
  2. ∀ε 0 ∃x∈A : s - ε < x < s
  s = estremo superiore
- Sia A ⊂ ℝ inferiormente limitato si dice ESTREMO INFERIORE di A (infA) il maggiore dei minoranti di A
  1. ∀x∈A x ≥ i (i'è un minorante)
  2. ∀ε 0 ∃x∈A : i < x < i + ε
  i = estremo inferiore

Massimo e minimo

Definizione
- Se A ⊂ ℝ limitato superiormente e s = supA ∈ A si dice che s è il MASSIMO di A
  - A ha massimo se ∃s∈A : ∀x∈A x ≤ s
- Se A &#

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